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| Aufgabe | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{(x²+2x+3)^{3}}}
[/mm]
Repetitorium, S.289 , Bsp.13.16 c) |
Hallo !
Ich frage mich wie ich die Stammfunktion zu diesem Integral finde. ( Und was wäre, wenn im Zähler x² stünde oder der [mm] Nenner^{5} [/mm] ? )
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{X²}} [/mm] = [mm] \bruch{2ax+b}{\Delta X}+\bruch{2a}{ \Delta}*\integral_{}^{}{\bruch{dx}{X}}
[/mm]
Ist dieser Ansatz sinvoll ?Wenn ja, wie mache ich weiter, da diese Formel nur für X² gilt ?
Fragen über Fragen...ich danke trotzdem schonmal :)
Frage 2 :
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{(1+x²)^{2}}} [/mm] wie komme ich auf diese Stammfunktion ?
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also:
das zweite Integral würde ich mit einer substitution mit
[mm] x=i*\sin [/mm] t versuchen wobei i die Imaginäre einheit darstellt!
Bei der ersten würde ich genauso vorgehen nachdem ich die quadtatische Gleichung in die Form [mm] au^2+b [/mm] gebracht habe(mit substitution).
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Hallo,
wenn ich in meiner Formelsammlung nachschaue, dann steht da drin:
[mm] $\integral \bruch{1}{(a^2+x^2)^2}\;dx [/mm] = [mm] \bruch{x}{2*a^2*(a^2+x^2)}+\bruch{1}{2a^3}*arctan\left(\bruch{x}{a}\right)$
[/mm]
[mm] $\integral \bruch{1}{X^n}\;dx [/mm] = [mm] \bruch{2ax+b}{(n-1)\Delta X^{n-1}}+\bruch{2(2n-3)a}{(n-1)\Delta}*\integral \bruch{1}{X^{n-1}}\;dx$ [/mm]
mit $X = [mm] (ax^2+bx+c)$ [/mm] und [mm] $\Delta [/mm] = [mm] 4ac-b^2$
[/mm]
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Sa 09.02.2008 | | Autor: | MacChevap |
Danke Martinius, die zweite "erweiterte" Formel hilft mir weiter !
Kann einer noch, was zu
$ [mm] \integral \bruch{1}{(a^2+x^2)^2}\;dx [/mm] = [mm] \bruch{x}{2\cdot{}a^2\cdot{}(a^2+x^2)}+\bruch{1}{2a^3}\cdot{}arctan\left(\bruch{x}{a}\right) [/mm] $ sagen ?
Es geht darum, dass ich demnächst ne Klausur schreibe und ich auf solche Dinge ohne Formelsammlung kommen muss :/ . Falls da jemand weiß, wie man sich das herleiten kann, sei er recht herzlich eingeladen sein Wissen zu teilen mit mir/uns ;)
Ciao
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Sa 09.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
das einzige ,was mir dazu einfällt ist:
[mm] \bruch{1}{a^2*(1+(x/a)^2)} [/mm] kann man mit [mm] x/a=\tan(z), dx/a=(1+\tan^2z)dz [/mm] lösen.
daher kommt der artan. auf den ersten Teil komm ich nicht.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 So 10.02.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dt}{(1+t^2)^2}}
[/mm]
kann man wie folgt berechnen.
Durch partielle Integration folgt
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dt}{(1+t^2)}}=\bruch{t}{1+t^2}-\integral_{}^{}{\left(\bruch{d}{dt}\bruch{1}{(1+t^2)}\right)t dt}
[/mm]
und
[mm] \bruch{d}{dt}\bruch{1}{(1+t^2)}=\bruch{-2t}{(1+t^2)^2}
[/mm]
also
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dt}{(1+t^2)}}=\bruch{t}{1+t^2}+2\integral_{}^{}{\bruch{t^2}{(1+t^2)^2} dt}
[/mm]
wegen
[mm] \bruch{t^2}{(1+t^2)^2}=\bruch{1}{(1+t^2)}-\bruch{1}{(1+t^2)^2}
[/mm]
folgt
[mm] 2\integral_{}^{}{\bruch{dt}{(1+t^2)^2}}=\bruch{t}{1+t^2}+\integral_{}^{}{\bruch{dt}{(1+t^2)}}
[/mm]
also
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dt}{(1+t^2)^2}}=\bruch{1}{2}*\bruch{t}{1+t^2}+\bruch{1}{2}*arctan(t)
[/mm]
Für das Integral
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{(a^2+x^2)^2}} [/mm] ergibt sich damit mit der Transformation [mm] t=\bruch{x}{a}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{(a^2+x^2)^2}}=\bruch{1}{a^3}\integral_{}^{}{\bruch{dt}{(1+t^2)^2}}=\bruch{1}{a^3}\left(\bruch{1}{2}*\bruch{ax}{a^2+x^2}+\bruch{1}{2}*arctan(\bruch{x}{a})\right)
[/mm]
mfg ullim
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