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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Sa 02.10.2010 | | Autor: | jeada |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemein Lösung der PDG
[mm] u_{x}+(y+2z)u_{y}+zu_{z}=0 [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe diese PDG gelöst, bin mir aber sehr unsicher ob meine Lösung okay ist. Da ich in 2 Wochen Prüfung habe, würde ich gerne wissen ob meine Vorgehensweise stimmt. Ich danke im Vorraus!
Zunächst bestimme ich [mm] \dot{x},\ \dot{y} [/mm] und [mm] \dot{z}
[/mm]
[mm] \dot{x}=1,\ \dot{y}=y+2z,\ \dot{z}=z
[/mm]
Nun setze ich [mm] \bruch{dz}{dt}=z [/mm] mit [mm] \bruch{dx}{dt}=1 [/mm] gleich und erhalte [mm] \bruch{dz}{z}=dx [/mm] und weiter [mm] x=\ln{z}+C_{1}.
[/mm]
Das gleiche mache ich für [mm] \dot{y} [/mm] und erhalte [mm] \bruch{dy}{y+2z}=dx [/mm] und weiter [mm] x=\ln{y+2z}+C_{2}.
[/mm]
Nach betrachten von x=x, stimmt diese Gleichung nur wenn z = y + 2z, also z = -y stimmt.
Nun setz ich [mm] \bruch{dz}{dt}=z [/mm] und [mm] \bruch{dy}{dt}=y+2z [/mm] gleich und erhalte [mm] \bruch{dy}{dz}=2+\bruch{y}{z}, [/mm] nach einsetzen von z = -y erhalte ich für diese DGL die Lösung: [mm] y=z+C_{3}.
[/mm]
Erstes Integral: [mm] \phi(x,y,z)=x-ln{z}
[/mm]
Zweites Integral: [mm] \phi(x,y,z)=y-z
[/mm]
[mm] u(x,y,z)=F(x-\ln{z},z-y) [/mm] mit F als einer beliebig stetig differenzierbaren Funktion F in zwei Variablen als allgemeine Lösung.
Kann das stimmen?
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Hallo jeada,
> Bestimmen Sie die allgemein Lösung der PDG
> [mm]u_{x}+(y+2z)u_{y}+zu_{z}=0[/mm]
> Hallo,
> ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe diese PDG gelöst, bin mir aber sehr unsicher ob
> meine Lösung okay ist. Da ich in 2 Wochen Prüfung habe,
> würde ich gerne wissen ob meine Vorgehensweise stimmt. Ich
> danke im Vorraus!
>
> Zunächst bestimme ich [mm]\dot{x},\ \dot{y}[/mm] und [mm]\dot{z}[/mm]
> [mm]\dot{x}=1,\ \dot{y}=y+2z,\ \dot{z}=z[/mm]
>
> Nun setze ich [mm]\bruch{dz}{dt}=z[/mm] mit [mm]\bruch{dx}{dt}=1[/mm] gleich
> und erhalte [mm]\bruch{dz}{z}=dx[/mm] und weiter [mm]x=\ln{z}+C_{1}.[/mm]
> Das gleiche mache ich für [mm]\dot{y}[/mm] und erhalte
> [mm]\bruch{dy}{y+2z}=dx[/mm] und weiter [mm]x=\ln{y+2z}+C_{2}.[/mm]
>
> Nach betrachten von x=x, stimmt diese Gleichung nur wenn z
> = y + 2z, also z = -y stimmt.
>
> Nun setz ich [mm]\bruch{dz}{dt}=z[/mm] und [mm]\bruch{dy}{dt}=y+2z[/mm]
> gleich und erhalte [mm]\bruch{dy}{dz}=2+\bruch{y}{z},[/mm] nach
> einsetzen von z = -y erhalte ich für diese DGL die
> Lösung: [mm]y=z+C_{3}.[/mm]
Hier musst Du die DGL
[mm]\bruch{dy}{dz}=2+\bruch{y}{z}[/mm]
lösen, ohne irgendetwas einzusetzen.
>
> Erstes Integral: [mm]\phi(x,y,z)=x-ln{z}[/mm]
> Zweites Integral: [mm]\phi(x,y,z)=y-z[/mm]
>
> [mm]u(x,y,z)=F(x-\ln{z},z-y)[/mm] mit F als einer beliebig stetig
> differenzierbaren Funktion F in zwei Variablen als
> allgemeine Lösung.
>
> Kann das stimmen?
Erstes Integral stimmt, das zweite leider nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Sa 02.10.2010 | | Autor: | jeada |
Hallo MathePower,
ich hab mich nicht mehr an die Variation der Konstanten erinnert und lange versucht diese DGL mit Trennung der Variablen zu lösen.
Meine Lösung für das zweite Integral ist nun [mm] \phi(x,y,z)=\bruch{y}{z}-2\ln{z}
[/mm]
somit ist [mm] u(x,y,z)=F(x-\ln{z},\bruch{y}{z}-2\ln{z})
[/mm]
Stimmt das?
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Hallo jeada,
> Hallo MathePower,
> ich hab mich nicht mehr an die Variation der Konstanten
> erinnert und lange versucht diese DGL mit Trennung der
> Variablen zu lösen.
>
> Meine Lösung für das zweite Integral ist nun
> [mm]\phi(x,y,z)=\bruch{y}{z}-2\ln{z}[/mm]
>
> somit ist [mm]u(x,y,z)=F(x-\ln{z},\bruch{y}{z}-2\ln{z})[/mm]
>
> Stimmt das?
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Sa 02.10.2010 | | Autor: | jeada |
Ich danke dir sehr für die Hilfe! :)
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