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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Fr 23.12.2005 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Werte von t, für die der Graph [mm] f_{t}(x)=(x^2+t)e^{-tx^2} [/mm] drei Extrempunkte besitzt. |
Hallo.
Mit der Aufgabenstellung habe ich weniger Probleme. Das Vorgehen ist ja eigentlich leicht, man bildet die Ableitung
f'(x) = [mm] e^{-tx^2}(-2x^3t-2xt^{2}+2x)
[/mm]
Dann das ganze auflösen.
0 = [mm] -2x^3t-2xt^{2}+2x
[/mm]
0 = x [mm] (-2xt-2t^{2}+2)
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = 0
Für die beiden weiteren Nullstellen der ersten Ableitung setze ich den Term der Klammer gleich Null
[mm] 0=-2x^2t-2t^{2}+2 [/mm] // geteilt durch -2, geteilt durch t (für t /not= 0)
0= [mm] x^2+t- \bruch{1}{t}
[/mm]
[mm] x_{2,3}= \bruch{t}{2} \pm \wurzel{\bruch{t^2}{4}+\bruch{1}{t}}
[/mm]
Nun betrachte ich die Diskriminante, wenn die größer Null ist, gibt es zwei weitere Nullstellen
0 < [mm] \bruch{t^2}{4}+\bruch{1}{t} [/mm] // mal t
0 < [mm] \bruch{t^3}{4}+1 [/mm] // minus 1, mal 4
[mm] -4
[mm] \wurzel[3]{-4} [/mm] < t
Irgendwie ist hier etwas falsch gelaufen. Evtl. habe ich mich mit dem größer kleiner vertan? Vorher blöde verrechnet?
Ich wünsche Euch schon jetzt ein frohes Fest!
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Fr 23.12.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Phoney,
> Bestimmen Sie alle Werte von t, für die der Graph
> [mm]f_{t}(x)=(x^2+t)e^{-tx^2}[/mm] drei Extrempunkte besitzt.
> Hallo.
> Mit der Aufgabenstellung habe ich weniger Probleme. Das
> Vorgehen ist ja eigentlich leicht, man bildet die
> Ableitung
> f'(x) = [mm]e^{-tx^2}(-2x^3t-2xt^{2}+2x)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann das ganze auflösen.
> 0 = [mm]-2x^3t-2xt^{2}+2x[/mm]
> 0 = x [mm](-2xt-2t^{2}+2)[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] = 0
Auch
>
> Für die beiden weiteren Nullstellen der ersten Ableitung
> setze ich den Term der Klammer gleich Null
>
> [mm]0=-2x^2t-2t^{2}+2[/mm] // geteilt durch -2, geteilt durch t (für
> t /not= 0)
> 0= [mm]x^2+t- \bruch{1}{t}[/mm]
Bis hierhin ist alles
>
> [mm]x_{2,3}= \bruch{t}{2} \pm \wurzel{\bruch{t^2}{4}+\bruch{1}{t}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Gleichung
0= [mm]x^2+t- \bruch{1}{t}[/mm]
ist eine rein quadratische Gleichung. Damit gilt
[mm] x^2 = \bruch{1}{t}\ -\ t [/mm]
[mm] x_{2,3} = \pm \wurzel{\bruch{1}{t}\ -\ t} [/mm]
So nun versuch's alleine weiter. Aber achte darauf, dass du beim Multiplizieren mit t eine Fallunterscheidung machen musst.
>
> Nun betrachte ich die Diskriminante, wenn die größer Null
> ist, gibt es zwei weitere Nullstellen
>
> 0 < [mm]\bruch{t^2}{4}+\bruch{1}{t}[/mm] // mal t
Hier müsstest du eine Fallunterscheidung t>0 bzw. t<0 machen.
>
> 0 < [mm]\bruch{t^3}{4}+1[/mm] // minus 1, mal 4
>
> [mm]-4
>
> [mm]\wurzel[3]{-4}[/mm] < t
>
>
> Irgendwie ist hier etwas falsch gelaufen. Evtl. habe ich
> mich mit dem größer kleiner vertan? Vorher blöde
> verrechnet?
>
>
> Ich wünsche Euch schon jetzt ein frohes Fest!
Danke. Das wünsche ich dir auch.
Gruß
Sigrid
>
> Grüße Phoney
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Fr 23.12.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo. Danke für die Antwort.
> Die Gleichung
>
> 0= [mm]x^2+t- \bruch{1}{t}[/mm]
>
> ist eine rein quadratische Gleichung. Damit gilt
>
> [mm]x^2 = \bruch{1}{t}\ -\ t[/mm]
>
> [mm]x_{2,3} = \pm \wurzel{\bruch{1}{t}\ -\ t} [/mm]
>
> So nun versuch's alleine weiter. Aber achte darauf, dass du
> beim Multiplizieren mit t eine Fallunterscheidung machen
> musst.
Och manno, ich kriegs nicht hin :-(
Also, ich kriege zwei Lösungen, wenn die Diskriminante größer null ist.
[mm] \bruch{1}{t}\ [/mm] -\ t >0
Und wo soll man dann da eine Fallunterscheidung machen?
Fall für t > 0
[mm] \bruch{1}{t}\ [/mm] -\ t >0 // mal t
[mm] 1-t^2 [/mm] > 0
[mm] t^2 [/mm] > 1
t = [mm] \pm1
[/mm]
Fall für t < 0
[mm] \bruch{1}{-t}\ [/mm] -\ (-t) >0
[mm] -\bruch{1}{t}\ [/mm] +\ t >0 // mal t
[mm] 1-t^2 [/mm] > 0
Irgendwie mache ich immer etwas falsch.
Ändert sich bei der Fallunterscheidung etwa das "größer als" 0 Zeichen. Oder wo ist da das Problem?
Grüße Phoney
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Fr 23.12.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo. Vielen dank.
Die Ungleichung war mörderisch.
Um auf das Ergebnis zu kommen, hätte ich alternativ auch eine Kurvendiskussion zu -t+ [mm] \bruch{1}{t} [/mm] machen können.
> Daraus ergibt sich [mm]-1 \ < \ t \ < \ +1[/mm] .
>
>
> Es gilt aber in diesem Fall der Fallunterscheidung: [mm]t \ > \ 0[/mm]
> .
>
> Daher ergibt sich für diesen Fall 1 folgende Lösung: [mm]0 \ < \ t \ < \ +1[/mm]
>
>
> Schaffst Du damit nun den 2. Fall mit [mm]t \ < \ 0[/mm] ?
Ich betrachte
-1 < t <+1
für t<0 ergibt sich
-t < -1
Oh, da fällt mir gerade auf, dass in meinem vorherigen Frageartikel bei den Formeln "layout" Fehler drin sind. Das tut mir leid -> also noch mal danke fürs beantworten eines "schlecht" geschriebenen Artikels.
Grüße Phoney.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Fr 23.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Johann!
> Ich betrachte
> -1 < t <+1
Aus der 2. Fallbetrachtung solltest Du aber erhalten haben:
$1 \ < \ [mm] t^2$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $1 \ < \ |t|$
[mm] $\gdw$ [/mm] $t \ < \ -1$ oder $t \ > \ +1$
Nun diese beiden Mengen mit der Menge $t \ < \ 0$ schneiden.
Gruß
Loddar
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