(P,Q)=1<=>Kernf(P,Q) =0 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 So 09.04.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | c) Die Abbildung f= f(P,Q) von [mm] k[x]_m \times k[x]_n [/mm] nach [mm] k[x]_{m+n} [/mm]
mit (S,T) [mm] \mapsto [/mm] SQ + TP ist linear
d) Es gilt (P,Q) = 1 [mm] \gdw [/mm] Kernf(P,Q)=0
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Also Teil c habe ich schon kann also vorrausgesetzt werden.
die Richtung [mm] \Rightarrow [/mm] habe ich auch schon mir fehlt nur der Rückschritt
Habe als Ansatz bisher:
Kernf(P,Q) = 0 [mm] \gdw [/mm] f ist injektiv (da f linear) [mm] \gdw [/mm] f bijektiv (da [mm] dim(k[x]_m \times k[x]_n) [/mm] = [mm] dim(k[x]_{m+n}))
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] ! (S,T) mit SQ + TP =1 daraus würde ich jetzt gerne irgendwie folgern, dass der ggT von Q und P eins sein muss aber ich habe keine Ahnung wie
Habe schon den Tipp bekommen, dass man bei der Aufgabe irgendwo den Grad beachten muss und aufgabe 3a)= Zeige: Aus P|QR und (P,Q)=1 folgt P|R habe aber keine Ahnung wie ich das da benutzen kann...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 So 09.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo neli!
> c) Die Abbildung f= f(P,Q) von [mm]k[x]_m \times k[x]_n[/mm] nach
> [mm]k[x]_{m+n}[/mm]
> mit (S,T) [mm]\mapsto[/mm] SQ + TP ist linear
> d) Es gilt (P,Q) = 1 [mm]\gdw[/mm] Kernf(P,Q)=0
>
> Also Teil c habe ich schon kann also vorrausgesetzt
> werden.
> die Richtung [mm]\Rightarrow[/mm] habe ich auch schon mir fehlt nur
> der Rückschritt
> Habe als Ansatz bisher:
> Kernf(P,Q) = 0 [mm]\gdw[/mm] f ist injektiv (da f linear) [mm]\gdw[/mm] f
> bijektiv (da [mm]dim(k[x]_m \times k[x]_n)[/mm] = [mm]dim(k[x]_{m+n}))[/mm]
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] ! (S,T) mit SQ + TP =1
Bisher ist alles richtig.
> daraus würde
> ich jetzt gerne irgendwie folgern, dass der ggT von Q und P
> eins sein muss aber ich habe keine Ahnung wie
Mach es dochmal so: Offensichtlich ist $1$ ein Teiler von $P$ und $Q$. Sei $D$ ein Polynom, welches $Q$ und $P$ teilt. Dann teilt es auch $S Q$ und $T P$, also insbesondere auch $S Q + T P = 1$.
Damit erfuellt also $1$ die Definition von groesster gemeinsamer Teiler von $P$ und $Q$, also $(P, Q) = 1$!
> Habe schon den Tipp bekommen, dass man bei der Aufgabe
> irgendwo den Grad beachten muss und aufgabe 3a)= Zeige: Aus
> P|QR und (P,Q)=1 folgt P|R habe aber keine Ahnung wie ich
> das da benutzen kann...
Ich seh grad nicht was das hier bringen koennte...
LG Felix
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