Paare (x,y) = {{x},{x,y}} ? < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:03 Di 13.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | $\ (x,y) = [mm] \{ \{x\}, \{x,y\}\} [/mm] $ |
Hallo,
die obige Gleichung wurde heute an die Tafel geschrieben, um Zahlenpaare wie $\ (x,y) $ eindeutig durch die Mengenschreibweise zu definieren. Dabei ging es um das kartesische Produkt zweier Mengen.
Aber was soll die rechte Seite? Ich komm nicht dahinter. Ich sehe das in der Form zugegebenermaßen auch zum ersten mal.
Würde mich freuen, wenn mich jemand aufklärt.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:40 Di 13.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo ChopSuey
> [mm]\ (x,y) = \{ \{x\}, \{x,y\}\}[/mm]
>
> die obige Gleichung wurde heute an die Tafel geschrieben,
> um Zahlenpaare wie [mm]\ (x,y)[/mm] eindeutig durch die
> Mengenschreibweise zu definieren. Dabei ging es um das
> kartesische Produkt zweier Mengen.
Ja.
> Aber was soll die rechte Seite? Ich komm nicht dahinter.
> Ich sehe das in der Form zugegebenermaßen auch zum ersten
> mal.
Normalerweise sieht man das auch nur einmal, und ab dann benutzt man immer die Schreibweise $(a, b)$. Irgendwie muss man $(a, b)$ ja definieren, und da man als Grundaxiome meist nur die Axiome der Mengenlehre voraussetzt, muss man etwas mit ihnen machen. Und mit denen laesst sich einfach zeigen, dass man zu Mengen $x, y$ (die Grundobjekte in der Mengenlehre sind immer Mengen) die Menge [mm] $\{ \{ x \}, \{ x, y \} \}$ [/mm] konstruieren laesst.
Die Definition oben macht Sinn: damit gilt $(x, y) = (a, b)$ genau dann, wenn $x = a$ und $y = b$ ist. Dies sollte man sich ueberlegen:
Wenn $(x, y) = (a, b)$ ist, also [mm] $\{ \{ x \}, \{ x, y \} \} [/mm] = [mm] \{ \{ a \}, \{ a, b \} \}$, [/mm] dann ist [mm] $\{ x \}$ [/mm] ein Element der zweiten Menge. Da [mm] $\{ x \}$ [/mm] genau ein Element enthaelt, muss [mm] $\{ x \} [/mm] = [mm] \{ a \}$ [/mm] sein: daraus folgt aber $a = x$. Damit muss [mm] $\{ x, y \} [/mm] = [mm] \{ a, b \}$ [/mm] sein. Ist $x = y$, so ist [mm] $\{ x, y \}$ [/mm] einelementig und ebenso [mm] $\{ a, b \}$, [/mm] also folgt $b = a = x = y$. Ist $x [mm] \neq [/mm] y$, so ist [mm] $\{ b \} [/mm] = [mm] \{ a, b \} \setminus \{ a \} [/mm] = [mm] \{ x, y \} \setminus \{ x \} [/mm] = [mm] \{ y \}$, [/mm] womit $y = b$ ist.
Ich hoffe das hilft dir weiter...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:04 Di 13.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Felix,
vielen Dank für Deine ausführliche Erklärung.
Hab's sofort verstanden.
Tolle Sache!
Grüße
ChopSuey
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