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PageRank Vektoriter. Ei.vektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Mi 04.01.2017
Autor: Schmetterling99

Hi, folgende Aufgabe muss ich lösen
Gegeben sei die Matrix [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }, [/mm] die stochastisch ist.
Welche (normierten) Eigenvektoren zum Eigenwert 1 hat die Matrix
[mm] M=\bruch{1}{2}A+\bruch{1}{2n}e*e^{T}? [/mm]
[mm] (ee^{T} [/mm] ist eine Matrix mit den Einträgen [mm] e_{ij}=1) [/mm]

Weiter ist bekannt, dass M nur positive Einträge hat, dass zum betragsgrößten Eigenwert nur ein linear unabhängiger Eigenvektor existiert, der nur positive Komponenten hat und das M auch stochastisch ist.
(Die Aufgabe wurde im Zusammenhang des PageRanks von Google gestellt)

Meine Ideen bis jetzt: Da M stochastisch ist, ist der betragsgrößte Eigenwert ja 1, sodass gilt
1*x=M*x
[mm] \gdw x=\bruch{1}{2}A*x+\bruch{1}{2n}e*e^{T}*x [/mm]

Weiter habe ich mir M "ausgeschrieben":
M= [mm] \bruch{1}{2}\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }+\bruch{1}{2n} \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 } [/mm]

Leider bringt mich das nicht weiter bzw. ich weiß nicht wie ich vorgehen muss. Kann mir bitte jemand helfen?

Gruß

        
Bezug
PageRank Vektoriter. Ei.vektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:54 Mi 04.01.2017
Autor: hippias


> Hi, folgende Aufgabe muss ich lösen
>  Gegeben sei die Matrix [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 },[/mm]
> die stochastisch ist.
> Welche (normierten) Eigenvektoren zum Eigenwert 1 hat die
> Matrix
> [mm]M=\bruch{1}{2}A+\bruch{1}{2n}e*e^{T}?[/mm]
>  [mm](ee^{T}[/mm] ist eine Matrix mit den Einträgen [mm]e_{ij}=1)[/mm]
>  
> Weiter ist bekannt,

ist bekannt...?

> dass M nur positive Einträge hat, dass
> zum betragsgrößten Eigenwert nur ein linear unabhängiger
> Eigenvektor existiert, der nur positive Komponenten hat und
> das M auch stochastisch ist.
> (Die Aufgabe wurde im Zusammenhang des PageRanks von Google
> gestellt)
>  
> Meine Ideen bis jetzt: Da M stochastisch ist, ist der
> betragsgrößte Eigenwert ja 1, sodass gilt
>  1*x=M*x
>  [mm]\gdw x=\bruch{1}{2}A*x+\bruch{1}{2n}e*e^{T}*x[/mm]
>  
> Weiter habe ich mir M "ausgeschrieben":
>  M= [mm]\bruch{1}{2}\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }+\bruch{1}{2n} \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
>  

Du berechnest den Eigenvektor ganz genau so, wie Du es sonst auch immer machst. Übrigens: was ist $n$? Welchen Wert muss $n$ haben, damit $M$ tatsächlich stochastisch ist?

> Leider bringt mich das nicht weiter bzw. ich weiß nicht
> wie ich vorgehen muss. Kann mir bitte jemand helfen?
>  
> Gruß


Bezug
                
Bezug
PageRank Vektoriter. Ei.vektor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:50 Mi 04.01.2017
Autor: Schmetterling99

Vielen Dank!
Jetzt ist alles klar, bin nicht auf die Idee gekommen n zu bestimmen.

Gruß

Bezug
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