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Hi, folgende Aufgabe muss ich lösen
Gegeben sei die Matrix [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }, [/mm] die stochastisch ist.
Welche (normierten) Eigenvektoren zum Eigenwert 1 hat die Matrix
[mm] M=\bruch{1}{2}A+\bruch{1}{2n}e*e^{T}?
[/mm]
[mm] (ee^{T} [/mm] ist eine Matrix mit den Einträgen [mm] e_{ij}=1)
[/mm]
Weiter ist bekannt, dass M nur positive Einträge hat, dass zum betragsgrößten Eigenwert nur ein linear unabhängiger Eigenvektor existiert, der nur positive Komponenten hat und das M auch stochastisch ist.
(Die Aufgabe wurde im Zusammenhang des PageRanks von Google gestellt)
Meine Ideen bis jetzt: Da M stochastisch ist, ist der betragsgrößte Eigenwert ja 1, sodass gilt
1*x=M*x
[mm] \gdw x=\bruch{1}{2}A*x+\bruch{1}{2n}e*e^{T}*x
[/mm]
Weiter habe ich mir M "ausgeschrieben":
M= [mm] \bruch{1}{2}\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }+\bruch{1}{2n} \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }
[/mm]
Leider bringt mich das nicht weiter bzw. ich weiß nicht wie ich vorgehen muss. Kann mir bitte jemand helfen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Mi 04.01.2017 | | Autor: | hippias |
> Hi, folgende Aufgabe muss ich lösen
> Gegeben sei die Matrix [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 },[/mm]
> die stochastisch ist.
> Welche (normierten) Eigenvektoren zum Eigenwert 1 hat die
> Matrix
> [mm]M=\bruch{1}{2}A+\bruch{1}{2n}e*e^{T}?[/mm]
> [mm](ee^{T}[/mm] ist eine Matrix mit den Einträgen [mm]e_{ij}=1)[/mm]
>
> Weiter ist bekannt,
ist bekannt...?
> dass M nur positive Einträge hat, dass
> zum betragsgrößten Eigenwert nur ein linear unabhängiger
> Eigenvektor existiert, der nur positive Komponenten hat und
> das M auch stochastisch ist.
> (Die Aufgabe wurde im Zusammenhang des PageRanks von Google
> gestellt)
>
> Meine Ideen bis jetzt: Da M stochastisch ist, ist der
> betragsgrößte Eigenwert ja 1, sodass gilt
> 1*x=M*x
> [mm]\gdw x=\bruch{1}{2}A*x+\bruch{1}{2n}e*e^{T}*x[/mm]
>
> Weiter habe ich mir M "ausgeschrieben":
> M= [mm]\bruch{1}{2}\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }+\bruch{1}{2n} \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
>
Du berechnest den Eigenvektor ganz genau so, wie Du es sonst auch immer machst. Übrigens: was ist $n$? Welchen Wert muss $n$ haben, damit $M$ tatsächlich stochastisch ist?
> Leider bringt mich das nicht weiter bzw. ich weiß nicht
> wie ich vorgehen muss. Kann mir bitte jemand helfen?
>
> Gruß
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Vielen Dank!
Jetzt ist alles klar, bin nicht auf die Idee gekommen n zu bestimmen.
Gruß
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