Parabel Strahl Schnittpunkt 3D < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:47 Do 17.06.2010 | | Autor: | enkei |
| Aufgabe | Parabel:
[mm] p_0 [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\z}, p_1 [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\z}, p_2 [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\z}
[/mm]
Strahl:
[mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \vec{o} [/mm] + t * [mm] \vec{d}
[/mm]
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Ich habe im 3D-Raum drei Punkte einer Parabel gegeben, sowie einen Strahl in Parameterform. Ich will nun den Schnittpunkt mit Parabel und Strahl berechnen. Im 2D Fall errechne ich mir anhand der 3 Punkte die Parabelgleichung, setze diese gleich mit der Strahlgleichung und wende z.B. die ABC-Formel an.
Wie mache ich das alles im 3D?
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Hallo enkei,
die Angaben reichen nicht.
Um einen Kegelschnitt im [mm] \IR^3 [/mm] eindeutig zu bestimmen, braucht man fünf Punkte.
Mit drei Punkten brauchst Du also zwei weitere Angaben. Eine davon liegt vor, es handelt sich um eine Parabel.
Fehlt also noch eine Angabe. Ist z.B. bekannt, wie sie ausgerichtet ist (also ihre Symmetrieachse), oder um welchen Faktor sie gegenüber einer Normalparabel gestaucht oder gedehnt ist?
Evtl. kann auch die Information, dass der Strahl die Parabel schneidet, hier helfen, sofern das ein sicheres Faktum ist.
In jedem Fall aber müssten die Angaben genauer sein als die bisher vorliegenden. Dass jeder der drei Punkte drei Koordinaten hat, ist im [mm] \IR^3 [/mm] ja klar, aber diese werden wohl kaum durch die gleichen drei Variablen x,y,z wiedergegeben - sonst wären die drei Punkte ja identisch.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Do 17.06.2010 | | Autor: | enkei |
Hallo reverend,
danke schonmal für die Antwort. Ich habe natürlich vergessen zu erwähnen, dass die Parabel und der Strahl in einer Ebene liegen. Also der Strahl geht durch den ersten und den dritten Punkt der Parabel. Die Ebene kann natürlich beliebig orientiert sein im Raum.
Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt?
Viele Grüße
enkei
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Hallo nochmal,
dann genügen die Angaben nicht, um die Parabel zu bestimmen.
Du brauchst mindestens eine weitere Information.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Do 17.06.2010 | | Autor: | enkei |
Naja, mehr Angaben/Annahmen habe ich nicht. Irgendwie muss das doch gehen?
Ich mein, wir haben die Parametrisierung des Strahls, 3 Punkte die auf der Parabel liegen und wir wissen, dass der Strahl und die Parabel in einer Ebene liegen.
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Hallo nochmal,
das habe ich ja alles verstanden. Es geht aber nicht.
Wenn Du nur einen Punkt hast, kannst Du ja auch keine Gerade bestimmen.
Wie gesagt, irgendeine zusätzliche Information ist nötig. Die Ebene wird ja durch die drei Punkte festgelegt, aber um die Lage der Parabel zu bestimmen, sind vier Punkte nötig, oder drei Punkte und die Hauptachse, oder der Scheitelpunkt und zwei weitere Punkte, oder...
So jedenfalls reicht es noch nicht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Do 17.06.2010 | | Autor: | enkei |
Und wenn wir annehmen, dass der dritte Punkte gleich dem Scheitelpunkt ist? Also wir hätten dann die beiden Punkte der Parabel, durch die auch der Strahl läuft und der dritte Punkt liegt in der Mitte der beiden Punkte und repräsentiert den Scheitelpunkt.
Würde es dann funktionieren und wenn ja wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Do 17.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da du weisst, dass die 3 Punkte in einer Ebene liegen , kannst du die Ebenengl. bestimmen durch die 3 Punkte.
dann projizierst du die Ebene z. Bsp auf die x-y Ebene, die punkte und den strahl auch, löst dort das bekannte Problem und projizierst zurück.
durch 3 Punkte in einer Ebene geht immer ne Parabel, schlimmstenfalls ne entartete
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Do 17.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo leduart, hallo enkei,
durch drei Punkte in einer Ebene gehen unendlich viele Parabeln - die dann entarten, wenn die Punkte auf einer Geraden liegen.
Ansonsten braucht man eine zusätzliche Information: ![[]](/images/popup.gif) hier wird z.B. vorausgesetzt, dass die Parabel die Form [mm] y=ax^2+bx+c [/mm] hat. Es ist damit das Koordinatensystem vorgegeben sowie sogar, welche Variablen von welcher abhängt.
Hätte die Parabel z.B. die Form [mm] x=dy^2+ey+f, [/mm] so würden die gleichen drei Punkte eine andere Parabel festlegen. Und wären die Koordinaten noch anders gelegen, z.B. um 30° gegen die kartesischen verdreht, so ergäbe sich wieder eine andere Kurve.
Deswegen genügen drei Punkte im Raum eben nicht zur vollständigen Bestimmung.
Zur Festlegung im Raum ist Wikipedia knapp, aber hilfreich: 5 Punkte sind nötig. Welche anderen Varianten denkbar sind, habe ich ja vorher schon dargelegt.
Wenn tatsächlich bekannt ist, dass einer der Punkte der Scheitelpunkt ist, dann genügen zwei weitere Punkte im Raum immer noch nicht, die Parabel eindeutig zu bestimmen!
Es bedürfte z.B. immer noch einer Information über die Richtung der Hauptachse, oder aber eines weiteren Punktes.
Grüße
reverend
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