Parabel berührt Kreis < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Der Kreis [mm] k:[(\bruch{17}{3}|0);5] [/mm] wird von einer Parabel in 1. Hauptlage in zwei Punkten berührt. Ermitteln Sie die Gleichung der Parabel. |
Wie komme ich auf diese Gleichung?
Die Parablen-Gleichung ist doch y²=2px.
Und dann hab ich noch die Kreisgleichung [mm] (x-\bruch{17}{3})²+y²=25.
[/mm]
Das sind zwar zwei Gleichungen aber drei Unbekannte. (x,y,p) - wie komme ich da auf die dritte Gleichung? Bzw. Wie komme ich auf p?
Vielen Dank im Vorraus,
Rebell der Sonne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 So 18.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Der Kreis [mm]k:[(\bruch{17}{3}|0);5][/mm] wird von einer Parabel in
> 1. Hauptlage in zwei Punkten berührt. Ermitteln Sie die
> Gleichung der Parabel.
> Wie komme ich auf diese Gleichung?
>
> Die Parablen-Gleichung ist doch y²=2px.
> Und dann hab ich noch die Kreisgleichung
> [mm](x-\bruch{17}{3})²+y²=25.[/mm]
>
> Das sind zwar zwei Gleichungen aber drei Unbekannte.
> (x,y,p) - wie komme ich da auf die dritte Gleichung? Bzw.
> Wie komme ich auf p?
Hallo,
eine Parabel hat doch mit einem Kreis nicht zwingend genau 2 gemeinsame Punkte. Das kann von 0 bis 4 gehen. In dieser speziellen Lage kann es nur 0, 2 oder 4 Lösungen geben.
Du kannst nun in der Kreisgleichung [mm] y^2 [/mm] durch 2px ersetzen und erhältst eine (quadratische) Gleichung mit der Variablen x und dem Parameter p. Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhältst du einen Term, der die Lösung(en) x in Abhängigkeit von p angibt. Der Parameter p muss nun so gewählt werden, dass du auf genau zwei Lösungen kommst.
Viele Grüße
Abakus
>
> Vielen Dank im Vorraus,
> Rebell der Sonne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 So 18.05.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
die Aufgabe gibt ja vor, dass es zwei Berührpunkte geben soll.
Wenn man die beiden Gleichungen
[mm] $y^2=p*x$
[/mm]
[mm] $y^2+\left(x- \bruch{17}{3}\right)^2=25 [/mm] $
ineinander einsetzt, erhält man p in Abhängigkeit von x, eine Gleichung mit zwei Unbekannten:
[mm] $p=\bruch{1}{x}*\left(-x^2+\bruch{34}{3}x-\bruch{64}{9}\right)$
[/mm]
Die zweite Gleichung erhält man aus der Bedingung, dass im Berührpunkt die beiden Ableitungen der Parabel und des Kreises gleich sein müssen:
[mm] $\bruch{p}{2*\wurzel{p*x}}=-\bruch{x-\bruch{17}{3}}{\wurzel{-x^2+\bruch{34}{3}x-\bruch{64}{9}}}$
[/mm]
Durch quadrieren un Ineinandereinsetzen erhält man
[mm] $-3*x^4+\bruch{68}{3}*x^3+\bruch{128}{9}*x^2-\bruch{4352}{27}*x+\bruch{4096}{81}=0$
[/mm]
mit 4 Lösungen, wovon nur eine im Intervall [mm] \left[\bruch{2}{3};\bruch{17}{3} \right] [/mm] liegt.
[mm] $x=\bruch{8}{3}$ [/mm] und p = 6 .
LG, Martinius
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