Parabel ohne Wertetab. zeichn < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | f(x): = [mm] x^2 [/mm] + 6
f(0) = 6
[mm] x^2 [/mm] ≥ 0 jetzt beide Seiten plus 6
[mm] x^2 [/mm] + 6 ≥ 6
f(x) ≥ 6 = f(0)
f(x) ≥ f (0) |
Diese 6 Zeilen, bzw. die letzte soll klar machen, dass die Fkt. nach oben geöffnet ist, bzw. auch Lage des Scheitelpunktes.
Kann mir jmd. erläuternde Sätze zu den jeweilen Zeilen schreiben?
Früher, wenn ich z.B. die x-Werte eines Schnittpunktes ausgerechnet hatte, schrieb ich in mein Heft: Und jetzt diesen x-Wert jetzt in die Ausgangs-Fkt. einsetzen, um an den y-Wert zu kommen. Für jemanden, der nicht geübt, der fragt sich sonst, wie jetzt
f(2) = [mm] 2^2 [/mm] +6*2 + 1 = 17 zustande kommt.
Erläuternder Satz: 17 ist die y-Koordinate des Schnittpkts.
Sonst hätte ich auch konkret Fragen dazu:
-Warum x=0 für f(0) = 6? Will man an den Schnittpkt. mit y-Achse kommen?
-Wenn [mm] x^2≥0, [/mm] dann weiß ich schon, dass Parabel nach oben geöffnet ist.
-Warum beide Seiten plus 6?
-Warum [mm] x^2≥0? [/mm] Woher kommt [mm] x^2≥0 [/mm] das?
Ich bleib mal dran u. schau in ca. ner halben Std. nochmal, ob sich jmd. findet, der od. die sich dieser Sache annimmt.
DANKE
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Hallo, du kennst die Funktion [mm] f(x)=x^{2}, [/mm] der Scheitelpunkt ist (0; 0), jetzt zu [mm] f(x)=x^{2}+6, [/mm] die 6 bewirkt eine Verschiebung um 6 Einheiten entlang der y-Achse nach oben, also ist der Scheitelpunkt (..., ...),
f(0) = [mm] 0^{2}+6=6 [/mm] also für x die Null einsetzen
die Parabel ist nach oben geöffnet, da der Faktor vor [mm] x^{2.} [/mm] gleich 1 ist, also positiv, wird eine Zahl, egal ob negatives oder positives Vorzeichen quadriert, so ist das Ergebnist natürlich wieder positiv, jetzt überlege dir warum [mm] x^{2}+6\ge [/mm] 6 ist, Hinweis: beginne mal mit der Null deine Überlegung,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mi 26.08.2009 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Steffi,
also, alles was du schreibst, weiß ich schon seit längerem,
- dass wenn der Öffnungs-Fakt. pos., dann Parabel nach oben geöffnet
- dass das absolute Glied, ganz re, immer der y-Achsenabschnitt ist
- dass der Scheitelpkt. aller reinquadrat. Fkt. immer irgendwo auf der y-Achse liegen. Anders: Fehlt einem Polynom 2.Grades das [mm] bx^1 [/mm] Produkt liegt der Scheitelpkt immer auf der y-Achse.
- dass wenn (bei reinquadrat. Fkt.) kein absolutes Glied da steht, dass es Null ist, bzw. dass der Scheitelpkt. dann im Ursprung (0/0) liegt.
Ich hätte schon, bevor ich meine Ausgangsfrage oben gestellt habe, allein vom Angucken der Fkt., ohne etw. Schriftliches, den Scheitelpkt. ausmachen können.
Interessant wird deine Antw. f. mich erst bei: "Jetzt überlege dir, warum
[mm] x^2 [/mm] + 6 ≥ 6 ist"
Das habe ich getan, aber ohne mit Null anzufangen: Meine Antw.: Das [mm] x^2 [/mm] + 6 ≥ 6 muss so sein, weil [mm] x^2 [/mm] keine neg. Zahl sein kann, sonst stimmt die Ungleichung nicht.
Bist du damit einverstanden, wenn wir die Ungleichungen der Reihe nach durchgehen?
Ich dachte, man kann mit
f(x): = [mm] x^2+ [/mm] 6
f(0) = 6
[mm] x^2 [/mm] ≥ 0
[mm] x^2 [/mm] + 6 ≥ 6
f(x) ≥ 6 = f(0)
f(x) ≥ f(0)
sich die Lage der Parabel erschließen (also, ohne unsere Vorkenntnisse, das, was du alles schreibst u. ich schon wußte)?
f(0) = 6
Es wird hiermit für mich noch nicht mal der Scheitelpkt. ausgerechnet, sondern nur der Schnittpkt. an der y-Achse. Nur mit meinen Vorkenntnissen weiß ich zufällig, dass der identisch ist mit dem Scheitelpkt. (0/6)
Oder liegt hier das Problem? Braucht man etwa alle Vorkenntnisse, um die Ungleichungen zu verstehen?
[mm] x^2 [/mm] ≥ 0 soll heißen: Öffnungsfaktor pos. – Parabel nach oben offen
Also fassen wir zus., was wir bisher haben:
a) y-Achs.abschnitt = Scheitelpkt. (0/0)
b) Parabel nach oben geöffnet, d.h. es liegt Tiefpkt/Min. vor.
Hier könnte man doch schon aufhören!? Mehr muss man doch nicht wissen!?!
c) Warum geht es hiermit [mm] x^2 [/mm] + 6 ≥ 6 weiter?
Warum wird hier auf beiden Seiten 6 addiert?
Was soll damit bezweckt werden.
Warum 6?
Für nochmalige Antw. herzlichen DANk im voraus. Aber heute muss ich Mathe-Feierabend machen. Also bis morgen!
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> Hallo Steffi,
> also, alles was du schreibst, weiß ich schon seit
> längerem,
> - dass wenn der Öffnungs-Fakt. pos., dann Parabel nach
> oben geöffnet
> - dass das absolute Glied, ganz re, immer der
> y-Achsenabschnitt ist
> - dass der Scheitelpkt. aller reinquadrat. Fkt. immer
> irgendwo auf der y-Achse liegen. Anders: Fehlt einem
> Polynom 2.Grades das [mm]bx^1[/mm] Produkt liegt der Scheitelpkt
> immer auf der y-Achse.
genau.. der bx term gibt ja auch an, mit welcher steigung die parabel die y-achse schneidet. ist b=0, so kann man sich die steigung 0 ja direkt vorstellen. und das geht bei ner parabel ja nur, wenn der scheitelpunkt auf der y-achse liegt.
> - dass wenn (bei reinquadrat. Fkt.) kein absolutes Glied
> da steht, dass es Null ist, bzw. dass der Scheitelpkt.
> dann im Ursprung (0/0) liegt.
ja bei reinquadratisch ohne absolutglied bleibt ja quasi auch nur [mm] a*x^2 [/mm] übrig, dass jedem punkt x=0 den wert y=0 liefert.
>
> Ich hätte schon, bevor ich meine Ausgangsfrage oben
> gestellt habe, allein vom Angucken der Fkt., ohne etw.
> Schriftliches, den Scheitelpkt. ausmachen können.
> Interessant wird deine Antw. f. mich erst bei: "Jetzt
> überlege dir, warum
> [mm]x^2[/mm] + 6 ≥ 6 ist"
> Das habe ich getan, aber ohne mit Null anzufangen: Meine
> Antw.: Das [mm]x^2[/mm] + 6 ≥ 6 muss so sein, weil [mm]x^2[/mm] keine neg.
> Zahl sein kann, sonst stimmt die Ungleichung nicht.
> Bist du damit einverstanden, wenn wir die Ungleichungen
> der Reihe nach durchgehen?
> Ich dachte, man kann mit
> f(x): = [mm]x^2+[/mm] 6
> f(0) = 6
> [mm]x^2[/mm] ≥ 0
> [mm]x^2[/mm] + 6 ≥ 6
> f(x) ≥ 6 = f(0)
> f(x) ≥ f(0)
> sich die Lage der Parabel erschließen (also, ohne unsere
> Vorkenntnisse, das, was du alles schreibst u. ich schon
> wußte)?
> f(0) = 6
> Es wird hiermit für mich noch nicht mal der Scheitelpkt.
> ausgerechnet, sondern nur der Schnittpkt. an der y-Achse.
> Nur mit meinen Vorkenntnissen weiß ich zufällig, dass der
> identisch ist mit dem Scheitelpkt. (0/6)
> Oder liegt hier das Problem? Braucht man etwa alle
> Vorkenntnisse, um die Ungleichungen zu verstehen?
die ungleichungen "helfen" evtl den wertebereich zu erkennen, aber sonst fehlt mir grad der sinn der ganzen übung?!
> [mm]x^2[/mm] ≥ 0 soll heißen: Öffnungsfaktor pos. – Parabel
> nach oben offen
> Also fassen wir zus., was wir bisher haben:
> a) y-Achs.abschnitt = Scheitelpkt. (0/0)
> b) Parabel nach oben geöffnet, d.h. es liegt Tiefpkt/Min.
> vor.
> Hier könnte man doch schon aufhören!? Mehr muss man doch
> nicht wissen!?!
die ungleichung [mm] x^2\ge [/mm] 0 soll m.E. nur nochmal deutlich machen, dass ein quadrat nie negativ sein kann.
> c) Warum geht es hiermit [mm]x^2[/mm] + 6 ≥ 6 weiter?
> Warum wird hier auf beiden Seiten 6 addiert?
> Was soll damit bezweckt werden.
hier werden 6 addiert auf beiden seiten um zur ausgangsgleichung zu kommen [mm] (f(x)=x^2+6), [/mm] welche dann deutlich macht, dass der wertebereich [mm] \ge [/mm] 6 ist
> Warum 6?
> Für nochmalige Antw. herzlichen DANk im voraus. Aber
> heute muss ich Mathe-Feierabend machen. Also bis morgen!
>
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Tee
oder Fee?
DANKE an alle Mathe-Feen, die mir hier schon geholfen haben!
Du schreibst zu dem Satz: Fehlt einem Polynom 2.Grades der bx-Term, dann liegt der Scheitelpkt immer auf der y-Achse.
Zit.: „genau.. der bx term gibt ja auch an, mit welcher steigung die parabel die y-achse schneidet.“
Das habe ich nicht gewußt u. nun tagelang mit mir rumgeschleppt. Gestern bin ich endlich dazu gekommen, es an 3 Funktionen mal auszuprobieren. Und: Es klappt immer u. ich bin begeistert, wie das alles miteinander zusammenhängt. Das fasziniert mich richtig. Der Mensch, der das rausgefunden hat muss genial sein.
Vielen DANK f. diesen Tipp.
Weiter hast du geschrieben: „die ungleichung $ [mm] x^2\ge [/mm] $ 0 soll m.E. nur nochmal deutlich machen, dass ein quadrat nie negativ sein kann.“
Steffi schrieb: „Parabel ist nach oben geöffnet, da der Faktor vor [mm] x^2 [/mm] gleich 1 ist“ (also a=1)
Meine Frage: Ist die Aussage a=1 gleichbedeutend mit [mm] 1*x^2 [/mm] ≥0 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Mi 02.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
lies meine Antwort und sieh danach ob es jetzt klar ist.
Sonst frag noch mal,
Ich denk die anderen Antworten sind zwar richtig, aber zu ausfuehrlich, und bringen dich damit durcheinander.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Sa 03.10.2009 | | Autor: | Giraffe |
Hallo leduart,
100 Jahre später, aber ich habe es nicht vergessen.
Gestern habe ich deine Antw. "bearbeitet".
Es sind 7 Seiten geworden, mit sehr viel denken.
Ohne Wertetab., aber mit Ableitg.
(da wo Scheitel ist Ableitg. null)
Wie soll ich sonst an die Koordinaten des Scheitels
kommen, wenn ich die Scheitel-Pkt.-Form auch nicht
benutzen darf? So war es wahrscheinl. aber nicht
gedacht. Oder ist das der gewünschte Ansatz gewesen?
Sicher nicht.
Aber mit deiner Antw. habe ich wied. etw. mehr
verstanden, gleichzeitig bleiben noch Fragezeichen.
Ich kann nicht 7 Seiten hier rein stellen. D.h. ich werde
es nochmal 1-2 Tage liegen lassen u. dann nochmal ran-
gehen u. neu schauen, in der Hoffnung weiterzukommen.
Ganz vielen DANK für nochmal einen neuen Ansatz.
LG
Sabine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Do 15.10.2009 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Wie kann ich mit Hilfe von Ungleichungen entscheiden, ob die Fkt.
$ [mm] f(x)=-2x^2+3 [/mm] $
ein Min. oder Max. hat.
Das war ein Vorschlag/Aufg. v. Leduart. |
Ohne mich an dem 6 Zeiler zu Anfangs zu orientieren
hier mein Lösungsansatz:
Es bleibt dabei, dass eine quadrierte Zahl nie neg. sein kann.
mathematisch:
[mm] x^2 [/mm] ≥ 0
So und jetzt verbinde ich das [mm] x^2 [/mm] mit der vorangestellten -2.
D.h. (da das Ergebnis von [mm] x^2 [/mm] immer pos. ist)
wird hier eine pos. Zahl mit einer neg. multipliziert:
+ * - = -
mathematisch noch korrekter:
[mm] -2x^2[/mm] [mm] \le [/mm] 0
So, hier bin ich jetzt nun schon fertig. Denn es muss nichts weiter getan werden, wie oben bei der anderen Aufg.
Weil:
Allein aus der Aussage [mm] -2x^2[/mm] [mm] \le [/mm] 0 erkenne ich, dass die Fkt. einen HP hat. Und das ist völlig unabhängig davon, welchen Wert c, das absolute Glied hat, ob c=3 ist oder c=-3 oder c= 600.
Mit [mm] \le [/mm] 0 kann man sehen, dass alle Fkt.werte darunter liegen, also neg. sind.
Wenn c = 600 liegen auch alle darunter. Da ich für x endlos viele Zahlen einsetzen kann, geht das wieder nach unten. 600 ist dann dabei der höchste Punkt, aber das kann er ja auch bleiben, das hat keinen Einfluss auf [mm] -2x^2[/mm] [mm] \le [/mm] 0
Ich habe von Grenzwerten KEINE Ahnung, aber vllt. hat es doch damit etw. zu tun.
Bsp. c=600 u. Bsp x = 900^900
Wenn x gr. genug gewählt wird, dann ist c irgendwann so verschwindend gering. Deswegen hat das absolute Glied keinen Einfluss auf nach oben oder unten geöffnet.
Ich hoffe sehr, ich konnte mich verständlich ausdrücken. Und weiter hoffe ich, dass ich natürlich auch noch damit recht habe, denn dieser Ansatz ist ja noch kürzer als der von oben/bei der anderen Aufg..
Entweder schaue ich morgen od. die Tage nochmal.
Für Unterstützg. u. alle Antworten vielen DANK
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> Wie kann ich mit Hilfe von Ungleichungen entscheiden, ob
> die Fkt.
> [mm]f(x)=-2x^2+3[/mm]
> ein Min. oder Max. hat.
> Das war ein Vorschlag/Aufg. v. Leduart.
> Ohne mich an dem 6 Zeiler zu Anfangs zu orientieren
> hier mein Lösungsansatz:
> Es bleibt dabei, dass eine quadrierte Zahl nie neg. sein
> kann.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> mathematisch:
> [mm]x^2[/mm] ≥ 0
> So und jetzt verbinde ich das [mm]x^2[/mm] mit der vorangestellten
> -2.
> D.h. (da das Ergebnis von [mm]x^2[/mm] immer pos. ist)
> wird hier eine pos. Zahl mit einer neg. multipliziert:
> + * - = -
> mathematisch noch korrekter:
> [mm]-2x^2[/mm] [mm]\le[/mm] 0
> So, hier bin ich jetzt nun schon fertig. Denn es muss
> nichts weiter getan werden, wie oben bei der anderen Aufg.
> Weil:
> Allein aus der Aussage [mm]-2x^2[/mm] [mm]\le[/mm] 0 erkenne ich, dass die
> Fkt. einen HP hat. Und das ist völlig unabhängig davon,
> welchen Wert c, das absolute Glied hat, ob c=3 ist oder
> c=-3 oder c= 600.
> Mit [mm]\le[/mm] 0 kann man sehen, dass alle Fkt.werte darunter
> liegen, also neg. sind.
unter was? unter dem hochpunkt? oder unter der x-achse? das musst du schon konkreter ausdrücken.. grösser als der hochpunkt gehts bei parabeln nicht, aber über der x-achse liegen kann die parabel durchaus.
> Wenn c = 600 liegen auch alle darunter. Da ich für x
> endlos viele Zahlen einsetzen kann, geht das wieder nach
> unten. 600 ist dann dabei der höchste Punkt, aber das kann
> er ja auch bleiben, das hat keinen Einfluss auf [mm]-2x^2[/mm] [mm]\le[/mm]
> 0
> Ich habe von Grenzwerten KEINE Ahnung, aber vllt. hat es
> doch damit etw. zu tun.
> Bsp. c=600 u. Bsp x = 900^900
> Wenn x gr. genug gewählt wird, dann ist c irgendwann so
> verschwindend gering. Deswegen hat das absolute Glied
> keinen Einfluss auf nach oben oder unten geöffnet.
das hat es sowieso nicht, da das absolutglied NUR den schnittpunkt mit der y-achse beeinflusst.
> Ich hoffe sehr, ich konnte mich verständlich ausdrücken.
> Und weiter hoffe ich, dass ich natürlich auch noch damit
> recht habe, denn dieser Ansatz ist ja noch kürzer als der
> von oben/bei der anderen Aufg..
> Entweder schaue ich morgen od. die Tage nochmal.
> Für Unterstützg. u. alle Antworten vielen DANK
wozu das mit den ungleichungen eigentlich? bei quadratischen funktionen erkennt man am koeffizienten vor [mm] x^2 [/mm] in welche richtung die parabel geöffnet ist:
[mm] a*x^2+bx+c
[/mm]
a:gibt stauchung und öffnungsrichtung an..
wenn a negativ: nach unten geöffnet, somit MUSS die parabel ja ein globales maximum haben.. welcher wenn b=0 ist, bei x=0 und y=c ist.
wenn a positiv: nach oben geöffnet, somit MUSS die parabel ein globales minimum haben... welcher wenn b=0 ist, bei x=0 und y=c ist.
b: gibt dir die steigung der parabel im schnittpunkt der y-achse an
c: gibt den schnittpunkt mit der y-achse an
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Giraffe |
Nabend,
ich bin die Fragende u. schrieb:
Mit $ [mm] \le [/mm] $ 0 kann man sehen, dass alle Fkt.werte darunter liegen,
also neg. sind. Folglich handelt es sich um einen Hochpkt.
Fencheltee antwortete darauf:
Unter was? Unter dem Hochpunkt? Oder unter der x-Achse?
Das musst du schon konkreter ausdrücken..
Hier meine Antw.:
Bist du sicher?
Ich meine nein, muss ich nicht. Denn es war doch NUR danach gefragt, ob Fkt. HP oder TP hat. Wo genau der Scheitel liegt ist für die Beantwortg. nicht wichtig.
Konkret: Läge er oberhalb der x-Achse u. ich kriege mit den Ungleichungen raus, dass alle Fkt.werte (oder fast alle) neg. sind, dann weiß ich sie ist nach unten geöffnet, d.h. hat HP.
Läge Scheitel auf x-Achse, gibt es NUR neg. Fkt.werte, außer den einen einzigen (dopp.Nullst.)
Aber egal, wenn Fkt.werte neg., dann Maximun.
Fertig.
Oder etwa nicht?
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Hallo, du hast die Funktion [mm] f(x)=ax^{2}+b [/mm] betrachten wir die Fälle:
1.
a>0 Parabel ist nach oben geöffnet, Scheitelpunkt ist Minimum
1.1.
a>0 und b>0 Scheitelpunkt liegt oberhalb der x-Achse
es gibt nur positive Funktionswerte, keine Nullstelle
1.2.
a>0 und b=0 Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse
doppelte Nullstelle
1.3.
a>0 und b<0 Scheitelpunkt leigt unterhalb der x-Achse
es gibt negative und positive Funktionswerte
zwei Nullstellen
2.
a<0 Parabel ist nach unten geöffnet, Scheitelpunkt ist Maximum
2.1.
a<0 und b>0 Scheitelpunkt liegt oberhalb der x-Achse
es gibt negative und positive Funktionswerte
zwei Nullstellen
2.2.
a<0 und b=0 Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse
doppelte Nullstelle
2.3.
a<0 und b<0 Scheitelpunkt leigt unterhalb der x-Achse
keine Nullstelle
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Fr 16.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Giraffe. mit deinem Argument [mm] -2x^2\le0 [/mm] und "dann liegt alles drunter"
musst du doch genauer sein, naemlich schreiben worunter.
Also [mm] -2x^2\le [/mm] 0 ; Gleichheit nur fuer x=0
daraus [mm] -2x^2+a\le [/mm] a ; Gleichheit nur fuer x=0
d.h. alle Punkte der fkt [mm] f(x)=-2x^2+a [/mm] liegen unterhalb von a.Damit liegt bei x=0 also f(x)=a ein Hoch oder Scheitelpunkt der Funktion.
Und danach verlierst du zu viele Worte.
Was ich geschrieben habe reicht aus. da ich ne allgemeine Zahl a genommen habe brauchts jetzt auch keine Beispiele mehr.
Das Verhalten fuer grosse x hat nur damit zu tun, dass es keine weitern Minima oder maxima gibt, weil [mm] x^2 [/mm] ja immer groesser wir, je groesser x.
So dann zeig mal wo der Scheitel von x
[mm] f(x)=2x^2 [/mm] -8x+8 liegen muss.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Giraffe |
Hallo leduart,
danke f. deine Antw. u. die interessante Aufg.stellg.:
Hat Fkt. f(x): = [mm] 2x^2-8x+8 [/mm] Min. od. Max. - Löse mit Ungleichungen!
f(0): = 8
Die Aufstellg. dieser Gleichg. (wie bei den beiden anderen Fkt.) ist hier wenig wertvoll.
Ich muss nur beantworten, ob Fkt. Min. od. Max. hat.
Dazu kann ich die Fkt. beliebig in der Waagerechten nach li od. re verschieben u. die richtige Antw., ob HP od. TP wird IMMER diesselbe Antw. bleiben, egal, wie weit Fkt. nach re verschob. wurde.
Deswegen ist die 8 völlig unerhebl.
Hier ist es Quatsch zu sagen, alle Fkt.werte liegen über od. unter 8.
Das
f(0): = 8
so anzugehen
macht nur bei reinquadrat. Fkt. Sinn.
Also knöpfe ich mir die 3 Summanden der Fkt. einzelnd vor u. versuche sie mit >0 oder <0 zu verbinden.
Mit der 8x will das aber nicht gelingen.
8x < 0 gilt f. neg. x
8x > 0 gilt f. pos. x
Und noch der Fall zwisch. pos. u. neg., d.h. wenn x=0, dann 0=0
Ich kann hier also überhaupt nicht entscheid., ob die meisten Fkt.werte pos. od. neg. sind.
Bei [mm] 2x^2 [/mm] habe ich mir überlegt, dass der Öffnungsfaktor auch unwichtig ist, um zu entscheiden, ob Min. od. Max.. Wichtig ist nur die Lage des Scheitels. Folglich
[mm] 2x^2 [/mm] > 0
[mm] x^2 [/mm] > 0
Schließlich habe ich versucht beide zus. zu betrachen: f(x): = [mm] x^2 [/mm] + 8 x
u. mich gefragt, ob [mm] x^2 [/mm] + 8 x >0 oder [mm] x^2 [/mm] + 8 x <0
Ich komme nur durch Probieren zu einer Antw.
Nämlich je größer x desto größer ist [mm] x^2 [/mm] im Vgl. zu 8x. D.h. mehrheitlich sind die Fkt.werte pos. u. d.h. es liegt ein TP vor.
Macht nicht die 8x das Verschieben in der Waagerechten? Dann wären auch die 8x für die Antw., ob Min. od. Max. unwichtig.
Also reduziert sich die Frage auf die Fkt. f(x): = [mm] x^2
[/mm]
Und
[mm] x^2[/mm] [mm] \ge [/mm] 0
Damit liegen alle Fkt.werte über der Null u. damit hat diese abgespeckte Fkt. einen Tiefpkt.,
ebenso wie f(x): = [mm] 2x^2-8x+8 [/mm] auch TP hat.
Du sagtest, dass es wichtig ist, ab wo genau die Fkt.werte nach oben oder unten gehen. Also, bei dieser Fkt. liegt der Scheitel etw. unterhalb der x-Achse (das sind die paar neg. Fkt.werte), alle anderen sind darüber. Oder immer noch zu ungenau?
Ich bin mit dem Lösungsansatz jedoch nicht zufrieden, aber immerhin besser als nix. Durch Probieren bin ich drauf gekommen, dass es nur wenige Fkt.werte gibt, die neg. sind, die meisten sind pos. Dann weiß ich, es gibt einen TP. Aber die Probiererei gefällt mir nicht. Aber besser kann ich es noch nicht. Vllt. kannst du mir einen Anstoß geben? Die erste Zeile/Gleichg./Ungleichg. u.
kann denken, rauchen u. versuchen weiterzumachen? Geht das?
mfg
Sabine
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> Hallo leduart,
>
> danke f. deine Antw. u. die interessante Aufg.stellg.:
> Hat Fkt. f(x): = [mm]2x^2-8x+8[/mm] Min. od. Max. - Löse mit
> Ungleichungen!
>
> f(0): = 8
> Die Aufstellg. dieser Gleichg. (wie bei den beiden anderen
> Fkt.) ist hier wenig wertvoll.
> Ich muss nur beantworten, ob Fkt. Min. od. Max. hat.
> Dazu kann ich die Fkt. beliebig in der Waagerechten nach
> li od. re verschieben u. die richtige Antw., ob HP od. TP
> wird IMMER diesselbe Antw. bleiben, egal, wie weit Fkt.
> nach re verschob. wurde.
> Deswegen ist die 8 völlig unerhebl.
> Hier ist es Quatsch zu sagen, alle Fkt.werte liegen über
> od. unter 8.
> Das
> f(0): = 8
> so anzugehen
> macht nur bei reinquadrat. Fkt. Sinn.
>
> Also knöpfe ich mir die 3 Summanden der Fkt. einzelnd vor
> u. versuche sie mit >0 oder <0 zu verbinden.
naja einzel-betrachtung macht hier wirklich keinen sinn
> Mit der 8x will das aber nicht gelingen.
> 8x < 0 gilt f. neg. x
> 8x > 0 gilt f. pos. x
> Und noch der Fall zwisch. pos. u. neg., d.h. wenn x=0,
> dann 0=0
> Ich kann hier also überhaupt nicht entscheid., ob die
> meisten Fkt.werte pos. od. neg. sind.
> Bei [mm]2x^2[/mm] habe ich mir überlegt, dass der Öffnungsfaktor
> auch unwichtig ist, um zu entscheiden, ob Min. od. Max..
das thema mit dem vorfaktor von [mm] x^2 [/mm] wurde ja nun schon einige male runtergebetet...
> Wichtig ist nur die Lage des Scheitels. Folglich
> [mm]2x^2[/mm] > 0
> [mm]x^2[/mm] > 0
>
> Schließlich habe ich versucht beide zus. zu betrachen:
> f(x): = [mm]x^2[/mm] + 8 x
> u. mich gefragt, ob [mm]x^2[/mm] + 8 x >0 oder [mm]x^2[/mm] + 8 x <0
> Ich komme nur durch Probieren zu einer Antw.
> Nämlich je größer x desto größer ist [mm]x^2[/mm] im Vgl. zu
> 8x. D.h. mehrheitlich sind die Fkt.werte pos. u. d.h. es
> liegt ein TP vor.
also bei mir ist kein einziger wert dieser funktion negativ?
>
> Macht nicht die 8x das Verschieben in der Waagerechten?
nicht nur
> Dann wären auch die 8x für die Antw., ob Min. od. Max.
> unwichtig.
siehe oben
> Also reduziert sich die Frage auf die Fkt. f(x): = [mm]x^2[/mm]
> Und
> [mm]x^2[/mm] [mm]\ge[/mm] 0
> Damit liegen alle Fkt.werte über der Null u. damit hat
> diese abgespeckte Fkt. einen Tiefpkt.,
> ebenso wie f(x): = [mm]2x^2-8x+8[/mm] auch TP hat.
dass [mm] x^2 [/mm] nur positive funktionswerte hat, ist ja einleuchtend, reicht aber nicht aus um auf die funktion [mm] 2x^2-8x+8 [/mm] zu schließen, dass diese auch nur rein positive werte hätte.
zu empfehlen:
https://matheraum.de/wissen/Scheitelpunktform
dazu auch noch ein beispiel:
[mm] 2*x^2-12x+8
[/mm]
(lösung zum überprüfen: S(3;-10))
>
> Du sagtest, dass es wichtig ist, ab wo genau die Fkt.werte
> nach oben oder unten gehen. Also, bei dieser Fkt. liegt der
> Scheitel etw. unterhalb der x-Achse (das sind die paar neg.
> Fkt.werte), alle anderen sind darüber. Oder immer noch zu
> ungenau?
zu ungenau und falsch!
hier noch zum abschluss eine skizze der von leduart gestellten aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich bin mit dem Lösungsansatz jedoch nicht zufrieden, aber
> immerhin besser als nix. Durch Probieren bin ich drauf
> gekommen, dass es nur wenige Fkt.werte gibt, die neg. sind,
> die meisten sind pos. Dann weiß ich, es gibt einen TP.
> Aber die Probiererei gefällt mir nicht. Aber besser kann
> ich es noch nicht. Vllt. kannst du mir einen Anstoß geben?
> Die erste Zeile/Gleichg./Ungleichg. u.
> kann denken, rauchen u. versuchen weiterzumachen? Geht
> das?
> mfg
> Sabine
mfg tee
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Giraffe |
<also bei mir ist kein einziger wert dieser funktion negativ?
Du hast ja auch mit
f(x): = [mm] 2x^2-8x+8
[/mm]
gerechnet
u. ich mit
f(x):= [mm] x^2-8x
[/mm]
dann z.B.
f(1):= -7
Ausgangsfkt. c=8
abgespeckte Fkt. c=0
Hat eine Verschiebg. in Vertikaler zur Folge u. damit
Verschiebg. des Scheitels um 8 Einheiten.
Ich meine immer noch, dass auch das keinen Einfluss hat, ob Fkt. Min. od. Max. hat.
Aber wenn leduart sagt: Doch, muss genau sein, dann darf c wohl doch nicht weggelassen werden.
Wie löst man denn nun die Aufg. mit Ungleichungen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mo 19.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Giraffe
[mm] f(x)=2x^2-8x+8
[/mm]
1. du hast recht, allerdings falsch aufgeschrieben, auf die +8 kommts nicht an, wenn es nur darum geht ob Min oder Max und nicht wo, denn die +8 schiebt nur die fkt um 8 nach oben.
2. Du kannst natuerlich zuerst [mm] f/2=x^2-4x+4 [/mm] betrachten und dann sagen dass f nur an jeder Stelle doppelt so gross ist wie f/2, min bleibt also Min.
jetzt gibt es 2 Moeglichkeiten:
die bessere ist quadratische Ergaenzung: ich verzuch die fkt so umzuschreiben, dass da Steht
[mm] f(x)=a*(x+b)^2+c
[/mm]
Dann das Argument wie vorher, [mm] (x+b)^2 [/mm] ist immer groesser oder gleich 0, (0 da wo x+b=0 also x=-b)
wenn a> 0) also auch [mm] a(x+b)^2\ge [/mm] 0
Damit ist f(x) ueberall grosser als c, hat also ein Minimum bzw Scheitel bei (b,c)
jetzt schreib ich f(x) um in [mm] f(x)=a*(x^2+2bx+b^2)+c=a(x^2+2bx)+ab^2+c
[/mm]
und vergleiche mit meiner fkt [mm] f(x)=2*(x^2-4x)+8
[/mm]
ich seh direkt a=2 2b=-4, b=-2 und [mm] a*b^2+c=8 [/mm] also 2*4+c =8 also c=0
ich kann also schreiben [mm] :f(x)=2(x-2)^2 [/mm] und das ist ueberall >0 ausser bei x=2 da ist es 0.
Was ich gemacht hab ist "quadratische Ergaenzung. Hattet ihr das schon?
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mi 02.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> f(x): = [mm]x^2[/mm] + 6
> f(0) = 6
> [mm]x^2[/mm] ≥ 0
Hier wird nur gesagt, dass das Quadrat einer Zahl immer groesser oder gleich 0 ist.
>jetzt beide Seiten plus 6
> [mm]x^2[/mm] + 6 ≥ 6
> f(x) ≥ 6 = f(0)
hier wird jetzt gesagt, dass die Funktion immer groesser (oder gleich) dem Wert bei x=0 ist.
> f(x) ≥ f (0)
> Diese 6 Zeilen, bzw. die letzte soll klar machen, dass die
Als Scheitelpunkt bezeichnet man den tiefsten (oder hoechsten ) Punkt einer Parabel. deine kette zeigt, dass f(0) der tiefste Punkt, also Scheitel ist, alle anderen Funktionswerte sind groesser also nach oben geoeffnet.
Versuchs doch mal mit [mm] f(x)=-2x^2+3
[/mm]
wo ist der Scheitel, wierum geoeffnet ohne Wertetabelle.
Gruss leduart
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