Parabelgleichung bestimmen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 So 08.11.2009 | | Autor: | la_vida |
| Aufgabe | | Eine Parabel 2. Grades hat an der Stelle 0 einen Hochpunkt und schneidet die 1. Achse an der Stelle 2. Mit den positiven Koordinatenachsen schließt die Parabel eine Fläche mit dem Inhalt 32 ein. Bestimme die Parabelgleichung. |
Also liebe Leute,
heute bin ich echt kein Mathegenie, deswegen schon wieder eine Frage.
Ich hänge gerade an obiger Aufgabe. Das ist ja im Grunde eine Steckbriefaufgabe und da hab ich mir jetzt schon ein paar Eigenschaften der Parabel rausgesucht:
Nullstellen: N1 (2/0); N2 (-2/0) (gut, das ist im Grunde ein und dieselbe Bedingung, glaub ich, also es kommt das Gleiche bei raus)
x=0 -> Hochpunkt
Dann erstmal die Funktion: [mm] f(x)=ax^2+bx+c
[/mm]
Da wir hier eine Symmetrie zur y-Achse haben, gibt es nur gerade Exponenten, also ist b null: [mm] f(x)=ax^2+c
[/mm]
Die 1. Ableitung habe ich auch direkt mal hergestellt: f'(x)=2ax
So, nun habe ich aus den Eigenschaften die Bedingungen und Gleichungen aufgestellt:
N(2/0) -> f(2)=0 -> 0=4a+c
x=0 (HP) -> f'(0)=0 -> 0=a
Na ja, und jetzt haben wir den Salat.. Jetzt ist irgendwie alles null und das kann ja wohl kaum sein :(
Was mache ich falsch?
Ich werde nie wieder eine Mathedoppelstunde krank sein, das schwöre ich..
Danke schonmal. Ohne dieses Forum wäre ich heute verloren.
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> Eine Parabel 2. Grades hat an der Stelle 0 einen Hochpunkt
> und schneidet die 1. Achse an der Stelle 2. Mit den
> positiven Koordinatenachsen schließt die Parabel eine
> Fläche mit dem Inhalt 32 ein. Bestimme die
> Parabelgleichung.
> Also liebe Leute,
> heute bin ich echt kein Mathegenie, deswegen schon wieder
> eine Frage.
> Ich hänge gerade an obiger Aufgabe. Das ist ja im Grunde
> eine Steckbriefaufgabe und da hab ich mir jetzt schon ein
> paar Eigenschaften der Parabel rausgesucht:
>
> Nullstellen: N1 (2/0); N2 (-2/0) (gut, das ist im Grunde
> ein und dieselbe Bedingung, glaub ich, also es kommt das
> Gleiche bei raus)
> x=0 -> Hochpunkt
>
> Dann erstmal die Funktion: [mm]f(x)=ax^2+bx+c[/mm]
> Da wir hier eine Symmetrie zur y-Achse haben, gibt es nur
> gerade Exponenten, also ist b null: [mm]f(x)=ax^2+c[/mm]
Wieso sollte dies gelten? Also für mich steht niergendwo, dass die Parabel eine Symmetrie besitzt, sondern nur, dass sie eine Parabel 2. Grades ist, was für mich zwar keinen Sinn ergibt, aber ich lese es als Polynom 2. Grades, bzw ok. ne Parabel 2. Grades und nicht etwa [mm] x^4, [/mm] nichtsdestotrotz ist auch [mm] x^2+x+1 [/mm] eine Parabel 2. grades, du kannst es ja in die Scheitelpunktsform überführen und hast dann halt nur ne Verschiebung mit dabei. Deswegen ist dein Ansatz mit Symmetrie falsch. Versuche es jetzt mit den gegebenen Bedingungen: 1. NST, 2. 1. Ableitung 0 an der Stelle 0, drittens, Integral, also Stammfunktion für 0 bis NST die Fläche 32
Anmerkung: Natürlich ergibt sich die Symmetrie später aus der Beachtung b=0, ok das ist korrekt, nur direkt annehmen darfst du es nicht
Also rechne mit a,b,c dann fällt durch den HP b weg und stell die Stammfunktion auf, damit hast du eine dritte Gleichung und kannst sie zusammen mit der Bedingung für die NST lösen!
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> Die 1. Ableitung habe ich auch direkt mal hergestellt:
> f'(x)=2ax
>
> So, nun habe ich aus den Eigenschaften die Bedingungen und
> Gleichungen aufgestellt:
>
> N(2/0) -> f(2)=0 -> 0=4a+c
> x=0 (HP) -> f'(0)=0 -> 0=a
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> Na ja, und jetzt haben wir den Salat.. Jetzt ist irgendwie
> alles null und das kann ja wohl kaum sein :(
> Was mache ich falsch?
>
> Ich werde nie wieder eine Mathedoppelstunde krank sein, das
> schwöre ich..
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> Danke schonmal. Ohne dieses Forum wäre ich heute verloren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 So 08.11.2009 | | Autor: | la_vida |
Danke für deine Antwort!
> Wieso sollte dies gelten? Also für mich steht niergendwo,
> dass die Parabel eine Symmetrie besitzt, sondern nur, dass
> sie eine Parabel 2. Grades ist, was für mich zwar keinen
> Sinn ergibt, aber ich lese es als Polynom 2. Grades, bzw
> ok. ne Parabel 2. Grades und nicht etwa [mm]x^4,[/mm]
> nichtsdestotrotz ist auch [mm]x^2+x+1[/mm] eine Parabel 2. grades,
> du kannst es ja in die Scheitelpunktsform überführen und
> hast dann halt nur ne Verschiebung mit dabei. Deswegen ist
> dein Ansatz mit Symmetrie falsch.
Ich kam darauf, weil der Hochpunkt ja sozusagen auf der y-Achse liegt und dann müsste die Parabel doch symmetrisch sein.
> Versuche es jetzt mit den
> gegebenen Bedingungen: 1. NST, 2. 1. Ableitung 0 an der
> Stelle 0, drittens, Integral, also Stammfunktion für 0 bis
> NST die Fläche 32
Leider habe ich keine Ahnung, wie ich die dritte Bedingung umsetzen soll. Also, wie soll ich da eine Gleichung draus machen?
> Anmerkung: Natürlich ergibt sich die Symmetrie später aus
> der Beachtung b=0, ok das ist korrekt, nur direkt annehmen
> darfst du es nicht
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 So 08.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast doch schon die beiden Schnittstellen von f mit der x-Achse gegeben, nämlich 0 und 2.
Also gilt:
[mm] \integral_{0}^{2}\left(ax^{3}+bx^{2}+cx+d\right)dx=32
[/mm]
[mm] \gdw \left[F(x)\right]_{0}^{2}=32
[/mm]
[mm] \gdw \left[F(2)-F(0)\right]=32
[/mm]
Und das ist deine noch fehlende Bedingung. F(x) müsstest du allerdings noch bestimmen, aber das sollte ja kein Problem sein 
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 So 08.11.2009 | | Autor: | la_vida |
Danke, ich habs jetzt :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 So 08.11.2009 | | Autor: | Adamantin |
das ist natürlich korrekt, wie ich eben festgestellt habe, hatte an [mm] x^3 [/mm] gedacht, wo das nicht mehr funktioniert, aber bei einer Parabel bewirkt der Term bx ja nur eine Verschiebung, keine Veränderung des Graphen, [mm] x^2 [/mm] hat immer nur einen hoch oder Tiefpunkt und die sind symmterisch, also von daher kannst du auch mit [mm] ax^2+c [/mm] rechnen, ändert nichts daran, dass du die dritte Bedingung in Form von F(x) brauchst ^^
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