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Forum "Schul-Analysis" - Parabeln - Scheitelpunkt
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Parabeln - Scheitelpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 So 22.08.2004
Autor: Disap

Servus,
Ich habe die Funktionsgleichung: 2x² - 8x + 6 gegeben. Die Aufgabenstellung ist folgende: Zeichnen Sie den Graphen in ein Diagramm ein.  Das soll mit Hilfenahme der Scheitelpunktsform oder der Differenzialrechnung gemacht werden.
Nach langem überlegen bin ich darauf gekommen, dass die Scheitelpunktsform    die Scheitelgleichung sein soll, also         a(x-xs)² + c
Da würde ich mal gerne wissen, ob ich mich irre und was dann die Differenzialrechnung ist. Vor allem, wie komme ich auf diese "Scheitelpunktsform" per Rechnung?
Den Scheitelpunkt habe ich auch schon ausgerechnet und komme auf den Punkt S(4 || -2 ).
Man soll hierbei jedoch den maximalen Punkt bestimmen, kann man das auch beweisen, dass es der höchste Punkt ist? (z.B. durch zweite Ableitung, was aber bei der quadratischen Funktionsgleichung kaum geht)

Bitte weist mich auf (eventuelle) Fehler hin. Dankeschön!


Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

        
Bezug
Parabeln - Scheitelpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 So 22.08.2004
Autor: Hanno

Hi.
Also zu der Herleitung der Scheitelpunktsform möchte ich nicht viele Worte verlieren, ich glaube nämlich, einen guten Link gefunden zu haben:
[]http://www.haw-hamburg.de/~schramm/lehre/mathe/ma_1/maple/html/ganzrational17.html

Hilft dir der?

Gruß,
Hanno

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Parabeln - Scheitelpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 So 22.08.2004
Autor: Disap

Nein, das hilft mir nicht, weil ich das schon vermutet habe! Aber Danke!
Meine Fragen:
- was ist die Differenzialrechnung?
- Wie kann man beweisen, dass der Scheitelpunkt ein Maximum oder Minumum ist? Zweite Ableitung geht bei einer quadratischen Funktion wohl nicht? (denn in diese müsste man doch den ganzen Punkt einsetzen, oder?)

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Bezug
Parabeln - Scheitelpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:29 So 22.08.2004
Autor: Fermat2k4

Hi,

sicherlich kann man eine Funktion zweiten Grades auch zwei mal differenzieren! Bsp: f(x)= [mm] 4*x^{2}+3*x+2 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x)= 8*x+3
[mm] \Rightarrow [/mm] f''(x)= 8

Gruss  Alex


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Parabeln - Scheitelpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 Mo 23.08.2004
Autor: Paulus

Hallo Disap

also: die Differentialrechnung hast du ja gerade angewendet: 1. Ableitung bilden, Null setzen und nach x auflösen.

Eine Funktion ableiten heisst auch: die Funktion differenzieren.

Somit: immer, wenn du eine Funktion aufgrund ihren Ableitung(en) analysierst, bedienst du dich der Differentialrechnung.

Wenn die 2. Ableitung der Funktion an der Stelle, wo die erste Ableitung Null ist, grösser als Null ist, dann handelt es sich um ein Minimum. Wenn die 2. Ableitung dort aber kleiner als Null ist, dann ist dort ein Maximum.

Auf deine Funktion angewendet:

$y = [mm] 2x^{2}-8x+6$ [/mm]
$y'=4x-8$
$y''=4$

Hier sieht man, dass die 2. Ableitung überall $>0$ ist, somit kann sie nur ein Minimum annehmen! Um dieses zu finden, setzt man ja die 1. Ableitung gleich Null:

$4x-8=0$

Das heisst: die Funktion nimmt bei $x=2$ ein Minimum an.

Um den Scheitelpunkt zu bestimmen, setzt du also einfach diesen Wert bei der Funktion ein:
[mm] $y=2*2^{2}-8*2+6=-2$ [/mm]

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten $(2,-2)$

Um die Scheitelpunktgleichung davon zu erhalten, kannst du genau so vorgehen, wie das im Link von m00xi beschrieben ist. Dann erhältst du:

[mm] $y+2=(x-2)^2$ [/mm]

Mit lieben Grüssen

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