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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:10 Sa 12.04.2008 | | Autor: | oli_k |
| Aufgabe | http://www.abiturloesung.de/abi_pdf/07_lk_inf_a2.pdf
Letzte Seite, 2.a)
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Hallo,
habe dazu eine allgemeine Frage:
Warum ist der Flächeninhalt unter dem Grafen nur 1/3 der Gesamtfläche, das Volumen aber 1/2 des Gesamtvolumens? Das erscheint mir unlogisch, schliesslich kann ich doch einfach eine Diagonale ziehen und dabei ist der Graf stets unter dieser - Warum ist das nicht auf das Volumen übertragbar?
Rechnerisch:
[mm] \integral_{0}^{R}{Hx^2/R^2 dx}=HR/3, [/mm] aber
[mm] \integral_{0}^{H}{yR^2/H dy}=\pi*HR^2/2
[/mm]
Das bekomme ich einfach nicht in den Kopf...
Ich komme darauf, da ich dachte, die Aufgabe wäre damit gelöst, die Flächen zu vergleichen, da die doch eigentlich proportional zum Volumen sein müssten. Warum sind sie das nicht?
Desweiteren: Kann man aus der Schnittfläche eines Kegels überhaupt irgendwie das Volumen berechnen? Wenn ja, wie?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:54 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Die Fläche unter der Parabel beträgt insgesamt [mm] \bruch{2}{3} [/mm] der Fläche des Rechtecks! Das erstmal am Anfang :)
Aber zum eigentlichen Problem: Wie du dir selber gezeigt hast, kann man den Flächeninhalt nicht so einfach auf das Volumen übertragen.
Das Verhältnis Querschnittfläche:Rotationsvolumen ist nämlich bei jedem Körper anders.
Beim rotierenden Quadrat (Seitenlänge a) erhält man [mm] \bruch{A}{V}=\bruch{a²}{\pi*a³}=\bruch{1}{\pi*a}, [/mm] beim rotierenden Dreieck (Grundseite=Höhe=a) ist es dagegen [mm] \bruch{A}{V}=\bruch{\bruch{1}{2}a²}{\bruch{1}{3}*\pi*a³}=\bruch{3}{2*\pi*a}.
[/mm]
Das würde dann auch unter anderem heißen: Sind die Querschnittsflächen gleich groß, müssen die Volumina nicht gleich groß sein.
Bildlich könnte ich mir das so vorstellen: (mal wieder um auf deine Parabel zurück zu kommen): Die Parabel nimmt [mm] \bruch{2}{3} [/mm] des Rechtecks ein.
Wenn die Fläche der Parabel in der Ebene schon kleiner ist, so wirkt sich das im Raum dann noch mehr aus, da man ja um das Volumen zu erhalten, immer noch mit einer Zahl multipliziert (hier bei der Parabel nicht so gut zu beschreiben, aber du weißt ja, dass beim Volumen immer 3 Maße vorkommen, auch wenn diese alle gleich sind, wie z.B. beim Kugelvolumen).
Auf den Punkt gebracht:
Die Fläche eines Körpers ist kleiner -> die Maße des Körpers sind kleiner.
Im Raum multipliziert man, um das Rotationsvolumen der kleinen, rotierenden Fläche zu bekommen, mit einem weiteren Maß, das ja, wie schon festgestellt, kleiner ist als das der großen Fläche. Damit unterliegt der kleine Körper dem Großen ja noch mehr ;)
Kann man sich auch wieder am Beispiel Quadrat/Dreieck klar machen:
[mm] A_Q=a²
[/mm]
[mm] A_D=\bruch{1}{2}a²
[/mm]
[mm] \bruch{A_D}{A_Q}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] V_Q=\pi*a³
[/mm]
[mm] V_D=\bruch{1}{3}*\pi*a³
[/mm]
[mm] \bruch{V_D}{V_Q}=\bruch{1}{3} [/mm] -> Im Raum ist die Maßzahl des Volumens noch kleiner geworden, als die Maßzahlen des Flächeninhalts in der Ebene.
In der Ebene war eine Fläche halb so groß, wie die andere, im Raum ist der Rotationskörper nur noch ein Drittel so groß, wie der andere.
So bla bla bla, ich hoffe, dass es einigermaßen verständlich und hilfreich war :) Wenn nicht, sei mir nicht böse, bin sehr müde... Gute Nacht!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:02 Sa 12.04.2008 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
mal abgesehen davon, dass beim Volumen von Dreieck/Quadrat das [mm] \pi [/mm] nix zu suchen hat ;) - Du gehst da von ner anderen Seite dran als ich glaub ich... So seh ich das ein, aber jetzt denkt mal folgendermassen:
Denkt euch das Bild des Rechtecks, das von einer Parabel 1:2 getrennt wird. Dieses Bild wird ja rotiert und es entsteht ein Volumen mit 1:1. Wenn ich das Volumen jetzt aber in unendlich viele Querschnitte unterteile, die aneinandergesetzt werden, dann müsste das Verhältnis doch stets gleich bleiben, da doch n*1/n*2 immer noch 1/2 ist... Ich hoffe, ihr versteht, was ich meine!
Vielen Dank
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Ich glaub' zu verstehen, was dir nicht in den Kopf will. Du fragst: Warum ist das Volumen eines Rotationskörpers nicht einfach proportional zu seiner Querschnittsfläche?
Dass dies nicht so ist, wird sofort klar, wenn du dir zwei verschieden grosse Ringe vorstellst, die aus derselben Sorte Draht (z.B. mit Drahtdurchmesser 2mm) geformt sind. Für den einen Ring nimmst du zum Beispiel 10 cm Draht, für den anderen 30 cm. Die zu rotierende Querschnittsfläche ist für beide Ringe gleich, nämlich Q = [mm] \pi [/mm] * (1 [mm] mm)^2. [/mm] Das Volumen des grösseren Ringes ist dann 3 mal grösser als das Volumen des kleineren.
Das Volumen, das von einem kleinen Stücklein der Querschnittsfläche bei der Rotation erzeugt wird, ist proportional zu seinem Flächeninhalt, aber auch noch proportional zum Weg (Kreisumfang), den es bei der Rotation zurücklegt!
Das Volumen, das von einem Flächenstück beim Rotieren erzeugt wird, ist also sehr davon abhängig, um welche Achse es gedreht wird.
Für Kegel und andere Rotationskörper gibt es also kein Rezept, aus der Querschnittsfläche allein das Volumen zu berechnen. Man muss die Form berücksichtigen; die Integralrechnung ist hier der angemessene Weg.
Lieben Gruss Al-Ch.
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