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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mo 02.06.2008 | | Autor: | paul87 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Ebene E: 4x-2y+4z+15=0.
Geben Sie die Gleichungen der beiden Ebenen E1 und E2 an, die zu E parallel sind und von E den Abstand 3 besitzen. |
Also ich weis das die beiden Ebenen als Normalenvektor ein Vielfaches des Normalenvektors der gegebenen Ebene haben müssen. Nur finde ich keine Ansatz für den Abstand. Die Formel zur Berechnung des Abstandes habe ich.
Vielen Dank für eure Hilfe...
MfG
paul
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> Gegeben sei die Ebene E: 4x-2y+4z+15=0.
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> Geben Sie die Gleichungen der beiden Ebenen E1 und E2 an,
> die zu E parallel sind und von E den Abstand 3 besitzen.
> Also ich weis das die beiden Ebenen als Normalenvektor ein
> Vielfaches des Normalenvektors der gegebenen Ebene haben
> müssen.
Nein: müssen nicht. Genauer: da die beiden Ebenen [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] zu $E$ parallel sind, müssen ihre Normalenvektoren parallel zum Normalenvektor von $E$ sein. Die einfachste Lösung ist hier für [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] denselben Normalenvektor zu verwenden wie für $E$.
> Nur finde ich keine Ansatz für den Abstand. Die
> Formel zur Berechnung des Abstandes habe ich.
Du kannst also den folgenden Ansatz für [mm] $E_1$ [/mm] bzw. [mm] $E_2$ [/mm] machen:
[mm]E_{1,2}:\; 4x-2y+4z+d=0.[/mm]
Da $E$ von diesen beiden Ebenen der Abstand $3$ haben soll, muss jeder Punkt von $E$ den Abstand $3$ von diesen Ebenen haben. Bestimme also zunächst die Koordinaten eines Punktes von $E$ und setze dessen Koordinaten in Deine Abstandsformel (aus: Hesseform der Ebenengleichung) für den obigen Ansatz für [mm] $E_{1,2}$ [/mm] ein. Bestimme dann daraus die beiden möglichen Werte von $d$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mo 02.06.2008 | | Autor: | paul87 |
und dann einfach in die gleicung einsetzen oder erst pumkte bestimmen und dann einsetzen? danke für die schnelle antwort.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Somebody |
> und dann einfach in die gleicung einsetzen oder erst pumkte
> bestimmen und dann einsetzen?
Du brauchst nur die Koordinaten eines einzigen Punktes von $E$ zu bestimmen. Setze etwa in der Ebenengleichung von $E$ zwei Koordinaten auf $0$, z.B. $y=z=0$. Dann muss offenbar [mm] $x=-\frac{15}{4}$ [/mm] sein. Somit ist der Punkt [mm] $P(-15/4|0|0)\in [/mm] E$. Damit dieser Punkt $P$ von [mm] $E_{1,2}$ [/mm] den Abstand $3$ hat, muss gelten (Hesse):
[mm]\frac{|4\cdot\left(-\frac{15}{4}\right)-2\cdot 0+4\cdot 0+d|}{\sqrt{4^2+(-2)^2+4^2}}=3[/mm]
Löse diese Betragsgleichung nach $d$ auf (2 Lösungen).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mo 02.06.2008 | | Autor: | paul87 |
cool danke. jetzt sehe ich es auch.
schönen tag noch :)
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