Parallele Ebenen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Mo 10.05.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Die Affinen Räume X,Y aus [mm] \IR^3 [/mm] sind gegeben durch
X= p + [mm] \IR \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \IR \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] und
Y= q + [mm] \IR \vektor{2 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] \IR \vektor{1 \\ -2 \\ -1}.
[/mm]
Zeigen Sie: X || Y |
Hallo.
In meinem Skript dazu heißt es: Zu zeigen ist, dass T(X)+T(Y)=T(X), denn dann ist T(Y) [mm] \subset [/mm] T(X) und somit X || Y.
Nun geht es so weiter:
Bestimme eine Basis von T(X). Dazu werden die Richtungsvektoren von X in die Zeilen einer Matrix A geschrieben:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 } [/mm] -> EZU -> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 }.
[/mm]
Damit sind [mm] v_1= \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] v_2 '=\vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] eine Basis von T(X), da T(X)=ZR(A)=ZR(A').
Wie es dann weitergeht,kapier ich schon. Ich kapier auch, dass [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2' [/mm] eine Basis von ZR(A) ist.
Aber ich versteh nicht, wieso ich die Vektoren hier in die Zeilen der Matrix schreiben muss??? Normalerweise schreibt man doch die Vektoren immer in die Spalten der Matrix, wenn man z.B. die lineare Unabhängigkeit zeigen muss. Wäre dies hier nicht möglich? Und warum ist T(X)=ZR(A)? Gibt es nicht eine andere Möglichkeit die Parallelität der beiden Ebenen zu zeigen?
Grüße, Marina
|
|
| |
|
> Die Affinen Räume X,Y aus [mm]\IR^3[/mm] sind gegeben durch
> X= p + [mm]\IR \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\IR \vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> und
> Y= q + [mm]\IR \vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm] + [mm]\IR \vektor{1 \\ -2 \\ -1}.[/mm]
>
> Zeigen Sie: X || Y
> Hallo.
>
> In meinem Skript dazu heißt es: Zu zeigen ist, dass
> T(X)+T(Y)=T(X), denn dann ist T(Y) [mm]\subset[/mm] T(X) und somit X
> || Y.
> Nun geht es so weiter:
> Bestimme eine Basis von T(X). Dazu werden die
> Richtungsvektoren von X in die Zeilen einer Matrix A
> geschrieben:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 }[/mm] -> EZU -> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 }.[/mm]
>
> Damit sind [mm]v_1= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]v_2 '=\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> eine Basis von T(X), da T(X)=ZR(A)=ZR(A').
> Wie es dann weitergeht,kapier ich schon. Ich kapier auch,
> dass [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2'[/mm] eine Basis von ZR(A) ist.
> Aber ich versteh nicht, wieso ich die Vektoren hier in die
> Zeilen der Matrix schreiben muss??? Normalerweise schreibt
> man doch die Vektoren immer in die Spalten der Matrix, wenn
> man z.B. die lineare Unabhängigkeit zeigen muss. Wäre
> dies hier nicht möglich?
Hallo,
es gibt mehrere Möglichkeiten, sowas zu machen.
Es geht hier ja weniger daraum, daß die beiden Vektoren linear unabhängig sind (das sieht man sofort), sondern eher darum, daß festgehalten wird, daß der Raum T(X) von [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\2\\1} [/mm] aufgespannt wird.
Und ich rate mal, daß dann gezeigt wird, daß man T(Y) mit denselben beiden Vektoren aufspannen kann, die Räume also gleich sind.
> Gibt es
> nicht eine andere Möglichkeit die Parallelität der beiden
> Ebenen zu zeigen?
Vielleicht gefällt Dir dieses besser:
stelle die beiden Vektoren von T(X) und die von T(Y) als Spalten in eine Matrix,
welche Du auf ZSF bringst.
Du wirst feststellen:
der Rang der Matrix ist 2, die führenden Zeilenelemente stehen in der 1. und 2. Spalte.
Also spannen der 1. und 2. der eingesetzen Vektoren den Raum T(X)+T(Y) auf. Also ist [mm] T(Y)\subseteq [/mm] T(X), und weil die dim von T(Y) offensichtlich =2 ist, sind die beiden VRe gleich.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mo 10.05.2010 | | Autor: | lubalu |
> > Die Affinen Räume X,Y aus [mm]\IR^3[/mm] sind gegeben durch
> > X= p + [mm]\IR \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\IR \vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> > und
> > Y= q + [mm]\IR \vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm] + [mm]\IR \vektor{1 \\ -2 \\ -1}.[/mm]
>
> >
> > Zeigen Sie: X || Y
> > Hallo.
> >
> > In meinem Skript dazu heißt es: Zu zeigen ist, dass
> > T(X)+T(Y)=T(X), denn dann ist T(Y) [mm]\subset[/mm] T(X) und somit X
> > || Y.
> > Nun geht es so weiter:
> > Bestimme eine Basis von T(X). Dazu werden die
> > Richtungsvektoren von X in die Zeilen einer Matrix A
> > geschrieben:
> > [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 }[/mm] -> EZU -> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 }.[/mm]
>
> >
> > Damit sind [mm]v_1= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]v_2 '=\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> > eine Basis von T(X), da T(X)=ZR(A)=ZR(A').
> > Wie es dann weitergeht,kapier ich schon. Ich kapier
> auch,
> > dass [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2'[/mm] eine Basis von ZR(A) ist.
> > Aber ich versteh nicht, wieso ich die Vektoren hier in die
> > Zeilen der Matrix schreiben muss??? Normalerweise schreibt
> > man doch die Vektoren immer in die Spalten der Matrix, wenn
> > man z.B. die lineare Unabhängigkeit zeigen muss. Wäre
> > dies hier nicht möglich?
>
> Hallo,
>
> es gibt mehrere Möglichkeiten, sowas zu machen.
>
> Es geht hier ja weniger daraum, daß die beiden Vektoren
> linear unabhängig sind (das sieht man sofort), sondern
> eher darum, daß festgehalten wird, daß der Raum T(X) von
> [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] und [mm]\vektor{0\\2\\1}[/mm] aufgespannt wird.
> Und ich rate mal, daß dann gezeigt wird, daß man T(Y)
> mit denselben beiden Vektoren aufspannen kann, die Räume
> also gleich sind.
Es wird im Anschluss gezeigt, dass [mm] span(v_1,v_2') [/mm] (=T(X)) = [mm] span(v_1,v_2',w_1,w_2) [/mm] (=T(X)+T(Y)) ist. Dazu werden [mm] v_1,v_2',w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] in die Zeilen einer Matrix B geschrieben. In ZSF (B') sieht man dann, dass [mm] span(v_1,v_2',w_1,w_2) [/mm] wieder von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2' [/mm] aufgespannt wird.
Also ist T(X)+T(Y)=ZR(B)=ZR(B')=T(X).
Was ich aber immer noch nicht verstehe ist, warum z.B. [mm] span(v_1,v_2')=ZR(A)? [/mm] Bisher habe ich bei span immer die Vektoren in Spalten geschrieben. Aber nur, weil die Fragestellung war, ob die Vektoren lin. unabh. sind, oder? Und das zeigt man mit den Spalten.
>
> > Gibt es
> > nicht eine andere Möglichkeit die Parallelität der beiden
> > Ebenen zu zeigen?
>
> Vielleicht gefällt Dir dieses besser:
>
> stelle die beiden Vektoren von T(X) und die von T(Y) als
> Spalten in eine Matrix,
> welche Du auf ZSF bringst.
> Du wirst feststellen:
> der Rang der Matrix ist 2, die führenden Zeilenelemente
> stehen in der 1. und 2. Spalte.
> Also spannen der 1. und 2. der eingesetzen Vektoren den
> Raum T(X)+T(Y) auf. Also ist [mm]T(Y)\subseteq[/mm] T(X),
Ja,das habe ich eben auch versucht. Ist dann T(X)=SR(A) mit [mm] A=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 0 & 1 }. [/mm] Wenn ich A auf ZSF bringe, sehe ich, dass die Spalten von A Basis von SR(A)=T(X) sind. Betrachte ich nun die Matrix [mm] B=(v_1, v_2, w_1, w_2) [/mm] (Vektoren in Spalten schreiben), also T(X)+T(Y), so sehe ich nach EZU in der ZSF, dass wieder [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] Basis von T(X)+T(Y)=SR(B) sind und somit haben T(X)+T(Y) und T(X) die selbe Basis. Kann ich dann schon sagen, dass die beiden Räume gleich sind? Oder brauche ich dann noch die Dimension?
und weil
> die dim von T(Y) offensichtlich =2 ist, sind die beiden VRe
> gleich.
>
> Gruß v. Angela
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Mo 10.05.2010 | | Autor: | lubalu |
Keine Ideen oder Antworten?
|
|
|
| |
|
> > > Die Affinen Räume X,Y aus [mm]\IR^3[/mm] sind gegeben durch
> > > X= p + [mm]\IR \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\IR \vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> > > und
> > > Y= q + [mm]\IR \vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm] + [mm]\IR \vektor{1 \\ -2 \\ -1}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Zeigen Sie: X || Y
> > > Hallo.
> > >
> > > In meinem Skript dazu heißt es: Zu zeigen ist, dass
> > > T(X)+T(Y)=T(X), denn dann ist T(Y) [mm]\subset[/mm] T(X) und somit X
> > > || Y.
> > > Nun geht es so weiter:
> > > Bestimme eine Basis von T(X). Dazu werden die
> > > Richtungsvektoren von X in die Zeilen einer Matrix A
> > > geschrieben:
> > > [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 }[/mm] -> EZU -> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 }.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Damit sind [mm]v_1= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]v_2 '=\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> > > eine Basis von T(X), da T(X)=ZR(A)=ZR(A').
> > > Wie es dann weitergeht,kapier ich schon. Ich kapier
> > auch,
> > > dass [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2'[/mm] eine Basis von ZR(A) ist.
> > > Aber ich versteh nicht, wieso ich die Vektoren hier in die
> > > Zeilen der Matrix schreiben muss??? Normalerweise schreibt
> > > man doch die Vektoren immer in die Spalten der Matrix, wenn
> > > man z.B. die lineare Unabhängigkeit zeigen muss. Wäre
> > > dies hier nicht möglich?
> >
> > Hallo,
> >
> > es gibt mehrere Möglichkeiten, sowas zu machen.
> >
> > Es geht hier ja weniger daraum, daß die beiden Vektoren
> > linear unabhängig sind (das sieht man sofort), sondern
> > eher darum, daß festgehalten wird, daß der Raum T(X) von
> > [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] und [mm]\vektor{0\\2\\1}[/mm] aufgespannt wird.
> > Und ich rate mal, daß dann gezeigt wird, daß man T(Y)
> > mit denselben beiden Vektoren aufspannen kann, die Räume
> > also gleich sind.
> Es wird im Anschluss gezeigt, dass [mm]span(v_1,v_2')[/mm] (=T(X))
> = [mm]span(v_1,v_2',w_1,w_2)[/mm] (=T(X)+T(Y)) ist. Dazu werden
> [mm]v_1,v_2',w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] in die Zeilen einer Matrix B
> geschrieben. In ZSF (B') sieht man dann, dass
> [mm]span(v_1,v_2',w_1,w_2)[/mm] wieder von [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2'[/mm] aufgespannt
> wird.
> Also ist T(X)+T(Y)=ZR(B)=ZR(B')=T(X).
> Was ich aber immer noch nicht verstehe ist, warum z.B.
> [mm]span(v_1,v_2')=ZR(A)?[/mm]
Hallo,
man legt die Vektoren [mm] v_1, v_2 [/mm] in Zeilen, weil man mit Zeilenumformungen normalerweise besser rechnen kann.
Man hat das einfach öfter geübt.
Danach richtet man die verbleibenden Zeilen wieder auf und hat eine Basis des Raumes, welcher von den eingesetzten Vektoren aufgespannt wird.
das Schöne an diesem Verfahren ist, daß einem erstens die Basis zwanglos entgegenpurzelt und man nichts mehr denken muß.
Zweitens ist - wenn man es so weit treibt - die reduzierte ZSF eindeutig, so daß man an der reduzierten Zeilenstufenform sofort ablesen kann, ob zwei Unterräume gleich sind oder nicht. Man vergleicht einfach die beiden red. ZSFen.
Den Rang kann man so natürlich auch ablesen, denn es ist generell Zeilenrang = Spaltenrang.
> Bisher habe ich bei span immer die
> Vektoren in Spalten geschrieben. Aber nur, weil die
> Fragestellung war, ob die Vektoren lin. unabh. sind, oder?
> Und das zeigt man mit den Spalten.
Man kann das mit den Spalten zeigen - aber auch, wenn man die Vektoren in Zeilen legt.
Es ist egal, wie man es macht.
Ich selbst arbeite aus verschiedenen Gründen fast immer mit den Spalten, aber das Ablesen der Basen ist hier etwas schwieriger.
> >
> > > Gibt es
> > > nicht eine andere Möglichkeit die Parallelität der beiden
> > > Ebenen zu zeigen?
> >
> > Vielleicht gefällt Dir dieses besser:
> >
> > stelle die beiden Vektoren von T(X) und die von T(Y) als
> > Spalten in eine Matrix,
> > welche Du auf ZSF bringst.
> > Du wirst feststellen:
> > der Rang der Matrix ist 2, die führenden
> Zeilenelemente
> > stehen in der 1. und 2. Spalte.
> > Also spannen der 1. und 2. der eingesetzen Vektoren den
> > Raum T(X)+T(Y) auf. Also ist [mm]T(Y)\subseteq[/mm] T(X),
> Ja,das habe ich eben auch versucht. Ist dann T(X)=SR(A) mit
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 0 & 1 }.[/mm] Wenn ich A auf ZSF
> bringe, sehe ich, dass die Spalten von A Basis von
> SR(A)=T(X) sind. Betrachte ich nun die Matrix [mm]B=(v_1, v_2, w_1, w_2)[/mm]
> (Vektoren in Spalten schreiben), also T(X)+T(Y), so sehe
> ich nach EZU in der ZSF, dass wieder [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] Basis von
> T(X)+T(Y)=SR(B) sind und somit haben T(X)+T(Y) und T(X) die
> selbe Basis.
Genau.
> Kann ich dann schon sagen, dass die beiden
> Räume gleich sind? Oder brauche ich dann noch die
> Dimension?
Ja. Es könnte ja sein, daß T(Y) ein UR der Dimension 1 ist. Dann wäre er sicher nicht =T(X).
Gruß v. Angela
|
|
|
|
