Parallele Gerade an Parabel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für für die gegebene Parabeltangente parallel [orthogonal] zu der gegeben Geraden den Berührungspunkt in Normalform an.
y=x²
y=0,5x-2 |
Hallo,
also ich komme mit der obigen Aufgabe nicht ganz zurecht.
Ich habe mir schon überlegt:
- die Gerade wird quasi an der y-achse verschoben, da sie parallel ist muss die Steigung m=0,5 sein!
- ich habe mir das schon an einer skizze veranschaulicht..
aber ich bin mir trotzdem nicht sicher, wie ich das jetzt umsetzen soll..also wie ich den berührpunkt finden soll... und wie ich dann daraus die normalform machen soll?
Ich würde mich über hilfe freuen!
Viele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Sa 28.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dazu musst du zuerst mal die Parallelen Geraden aufstellen.
Du weisst, dass sie die Steigung 0,5 haben
Also haben die Parallelen Geraden
die Form g(x)=0,5x+n
Jetzt suchst du den Berührpunkt mit der Parabel f(x)=x²
Dazu setze diese beiden erstmal gleich.
Also x²=0,5x+n
[mm] \gdw x²-\bruch{1}{2}x-n=0
[/mm]
Mit der P-Q-Formel erhältst du jetzt zwei Lösungen.
[mm] x_{1;2}=\bruch{1}{4}\pm\wurzel{\bruch{1}{16}+n}
[/mm]
Jetzt sollst du aber den Berührpunkt ermitteln, d.h. die Gerade und die Parabel sollen nur einen Schnittpunkt haben.
Also muss der Term unter der Wurzel 0 ergeben, also
[mm] \bruch{1}{16}+n=0
[/mm]
Daraus kannst du jetzt dein n berechnen.
Das heisst, du hast jetzt für deinen Berührpunkt
[mm] x_{B}=\bruch{1}{4}\pm\wurzel{0}=...
[/mm]
Das heisst, der Berührpunkt hat die Koordinaten
[mm] (x_{B};f(x_{B})
[/mm]
Marius
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Hallo!
Danke schonmal für die Antwort!
> Hallo
>
> Dazu musst du zuerst mal die Parallelen Geraden
> aufstellen.
>
> Du weisst, dass sie die Steigung 0,5 haben
>
> Also haben die Parallelen Geraden
> die Form g(x)=0,5x+n
>
> Jetzt suchst du den Berührpunkt mit der Parabel f(x)=x²
>
> Dazu setze diese beiden erstmal gleich.
>
> Also x²=0,5x+n
> [mm]\gdw x²-\bruch{1}{2}x-n=0[/mm]
> Mit der P-Q-Formel erhältst du
> jetzt zwei Lösungen.
>
> [mm]x_{1;2}=\bruch{1}{4}\pm\wurzel{\bruch{1}{16}+n}[/mm]
>
> Jetzt sollst du aber den Berührpunkt ermitteln, d.h. die
> Gerade und die Parabel sollen nur einen Schnittpunkt
> haben.
Ich bin genau bis hier mitgekommen! Ich hab vergessen, warum der Term unter der Wurzel =0 sein muss, wenn es einen Schnittpunkt geben muss..warum ist das so?
> Also muss der Term unter der Wurzel 0 ergeben, also
> [mm]\bruch{1}{16}+n=0[/mm]
> Daraus kannst du jetzt dein n berechnen.
>
n= [mm] \bruch{-1}{16}
[/mm]
> Das heisst, du hast jetzt für deinen Berührpunkt
>
> [mm]x_{B}=\bruch{1}{4}\pm\wurzel{0}=...[/mm]
>
> Das heisst, der Berührpunkt hat die Koordinaten
> [mm](x_{B};f(x_{B})[/mm]
>
>Berührpunkt [mm] B(\bruch{1}{4}|\bruch{1}{16}
[/mm]
Das habe ich auch nicht verstanden..warum sind jezt diese beiden Punkte die Berührpunkte geworden??
und muss ich die jetzt einsetzen, damit ich die normalform der gleichung rauskriege??
bei orthogonalen geraden verfahre ich analog mit der orthogonalen steigung?
viele grüße
informacao
> Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Informacao |
Keiner da..der mir helfen mag :-( bei mir hängts grad hier an diesem Teil an meinem weiteren Arbeiten..und Voranschreiten..
Viele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
nur mal nicht so ungeduldig 
> Hallo!
>
> Danke schonmal für die Antwort!
>
>
>
> > Hallo
> >
> > Dazu musst du zuerst mal die Parallelen Geraden
> > aufstellen.
> >
> > Du weisst, dass sie die Steigung 0,5 haben
> >
> > Also haben die Parallelen Geraden
> > die Form g(x)=0,5x+n
> >
> > Jetzt suchst du den Berührpunkt mit der Parabel f(x)=x²
> >
> > Dazu setze diese beiden erstmal gleich.
> >
> > Also x²=0,5x+n
> > [mm]\gdw x²-\bruch{1}{2}x-n=0[/mm]
> > Mit der P-Q-Formel
> erhältst du
> > jetzt zwei Lösungen.
> >
> > [mm]x_{1;2}=\bruch{1}{4}\pm\wurzel{\bruch{1}{16}+n}[/mm]
> >
> > Jetzt sollst du aber den Berührpunkt ermitteln, d.h. die
> > Gerade und die Parabel sollen nur einen Schnittpunkt
> > haben.
>
> Ich bin genau bis hier mitgekommen! Ich hab vergessen,
> warum der Term unter der Wurzel =0 sein muss, wenn es einen
> Schnittpunkt geben muss..warum ist das so?
mit zwei Schnittpunkten hättest du eine SEKANTE und keine TANGENTE, deshalb muss unter der Wurzel eine "0" stehen.
> > Also muss der Term unter der Wurzel 0 ergeben, also
> > [mm]\bruch{1}{16}+n=0[/mm]
> > Daraus kannst du jetzt dein n berechnen.
> >
> n= [mm]\bruch{-1}{16}[/mm]
> > Das heisst, du hast jetzt für deinen Berührpunkt
> >
> > [mm]x_{B}=\bruch{1}{4}\pm\wurzel{0}=...[/mm]
> >
> > Das heisst, der Berührpunkt hat die Koordinaten
> > [mm](x_{B};f(x_{B})[/mm]
> >
> >Berührpunkt [mm]B(\bruch{1}{4}|\bruch{1}{16}[/mm]
>
> Das habe ich auch nicht verstanden..warum sind jezt diese
> beiden Punkte die Berührpunkte geworden??
es ist nur ein Punkt mit [mm] x=\bruch{1}{4} [/mm] und [mm] y=x^2=\bruch{1}{16}
[/mm]
> und muss ich die jetzt einsetzen, damit ich die normalform
> der gleichung rauskriege??
genau, in y=m*x+n
> bei orthogonalen geraden verfahre ich analog mit der
> orthogonalen steigung?
ja ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Herby
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Hi!
Danke so teils, teils ist mir das klar..aber ich verstehe nicht, wie es zu der 1/4 als anderer schnittpunkt kommt...ich verstehe schon, wie man auf die zahl an sich kommt..aber ich kapier nicht, warum das dann die eine koordinate vom berührpunkt ist??? könnt ihr mir helfen?
Viele Grüße
Informacao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
warte mal auf Brinkis Antwort vielleicht wird es dann klarer
Liebe Grüße
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Herby |
So, nun nochmal ich 
> Hi!
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> Danke so teils, teils ist mir das klar..aber ich verstehe
> nicht, wie es zu der 1/4 als anderer schnittpunkt
> kommt...ich verstehe schon, wie man auf die zahl an sich
> kommt..aber ich kapier nicht, warum das dann die eine
> koordinate vom berührpunkt ist??? könnt ihr mir helfen?
wenn du die Parabel und die Tangente gleichsetzt, dann erhältst du eine quadratische Funktion.
der Wert 1/4 ergibt sich aus der p-q-Formel, denn es sind doch [mm] x_{1,2}=...
[/mm]
deine x-Werte, also [mm] x_1 [/mm] bzw. [mm] x_2 [/mm] je eine der Koordinaten - verstanden?
ist die Wurzel dann "0" fallen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] zusammen zu x
und weil y=x² ist (deine Parabel nämlich), ist y=1/16
somit lautet der Berührpunkt [mm] B=\left(\bruch{1}{4};\bruch{1}{16}\right)
[/mm]
war das deine Frage, oder hab ich das immer noch nicht richtig aufgefasst?
Liebe Grüße
Herby
> Viele Grüße
> Informacao
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Hi!
Danke für die Antwort..
aber mir ist vollkommen unklar, warum 1/4 der wert an der x-stelle ist...?!
Verstehe ich einfach nicht...vielleicht denke ich ein bisschen kompliziert..mir ist schon klar, woher die 1/16 kommen..
aber ist das dann immer so? wenn ich so eine aufgabe habe, ist dann das, was "vor" der wurzel steht immer der entsprechende x-wert???
Ich hoffe, ihr habt noch nerven ;)
Viele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
nein, nicht nur der Wert, der vor der Wurzel steht, ist der x-Wert, sondern der [mm] \text{gesamte} [/mm] Term - ich mach da mal 'ne Klammer drum
[mm] x_1=\left[-\bruch{p}{2}\red{+}\wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q}\right]
[/mm]
[mm] x_2=\left[-\bruch{p}{2}\red{-}\wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q}\right]
[/mm]
und da bei unserer Aufgabe die Wurzel "0" ist, ist [mm] x_1=x_2=-\bruch{p}{2}\pm \wurzel{0}=\bruch{1}{4} [/mm] ein Sonderfall
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Informacao |
aaaaaaahcsooooo!!
jetzt ist es auch mir klar
Viele lieben dank!!
Das hat mir geholfen!
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Brinki |
Hallo Informacao,
Du suchst einen x-Wert bei dem der y-Wert auf der Geraden gleich dem der Parabel an dieser Stelle ist. Wenn du dir eine Skizze machst, erkennst du sofort, dass es durch Überlagerung einer Parabel mit einer Geraden entweder 2, genau 1 oder gar keinen Schnittpunkt geben kann.
In deinem Fall ist genau ein Schnittpunkt gesucht. Beim Gleichsetzten der Funktionsterme hast du [mm] $y-Wert_{Parabel}=y-Wert_{Gerade}$ [/mm] an der Stelle x gefordert.
Durch "Aufräumen" für die p-q-Formel wird daraus (praktisch) die Forderung [mm] $y-Wert_{Parabel}-y-Wert_{Gerade}=0$ [/mm] Wir können hier mit Hilfe unserer Formel das x finden. Wir wissen, dass es nur eine Lösung geben darf, also muss die Wurzel 0 sein.
(Wäre die Wurzel kleiner 0, hätten wir keine Lösung, die Gerade ginge an der Parabel vorbei und wäre eine Passante. Bei einer positiven Wurzel in der p-q-Formel träfe die Gerade die Parabel in zwei PUnkten und wäre somit eine Sekante.)
Klar?
Grüße
Brinki
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