Parallelen, Mittelpunkt,... < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mo 30.10.2006 | | Autor: | ruya |
| Aufgabe | Gegeben sei ein nichtentartetes Dreieck mit Seiten a,b,c und ein Punkt P0 auf a. Die Parallele zu c durch P0 schneide b in P1, die Parallele zu a durch P1 schneide in ?2 und die Parallele zu b durch P2 schneide a in P3.
Zeigen Sie, dass genau dann P3=P0 gilt, wenn P0 der Mittelpunkt von a ist. |
Hi leute,
zuerst muss man sich doch den begriff nichtentartetes dreieck erklären. es ist ein normales dreieck, das ist mir bewusst.
ich weiß leider nicht wie ich zeigen soll, dass genau dann P3=P0 gilt, wenn P0 der Mittelpunkt von a ist. wie muss ich an diese aufgabe ran gehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Di 31.10.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo ruya
Bezeichne mit S den Schnittpunkt von [mm] $P_1P_0$ [/mm] und [mm] $P_2P_3$.
[/mm]
Dann ist [mm] $AP_2SP_1$ [/mm] ein Parallelogramm. Variiert man den Punkt
[mm] $P_0$ [/mm] auf a, so variiert S auf einer Gerade. Es ist nicht schwer zu
zeigen, dass diese Gerade a halbiert.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Di 31.10.2006 | | Autor: | ruya |
hi moudi,
danke für den tipp. ich hab mir ne skizze gemacht, es ist anschaulicher geworden. jedoch weiß ich immer noch nicht so recht wie ich es zeigen soll. was ist denn damit gemeint?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Do 02.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo ruya
Für verschiedene "Startpunkte" [mm] $P_0$ [/mm] erhält man verschiedene Punkte S wie oben beschrieben. Die verschiedenen Parallelogramme [mm] $AP_2SP_1$ [/mm] enstehen auseinander durch eine zentrische Streckung mit Zentrum A. Weil sich bei einer zentrischen Streckung die Punkte auf einer Gerade durch das Streckungszentrum bewegen, variiert S auf einer Gerade durch A. Ist [mm] $P_0=C$, [/mm] so ist [mm] $P_3=B$ [/mm] und die Diagonale AS halbiert im Parallelogramm ABSC die Strecke BC.
Es ist klar, dass nur dann [mm] $P_3=P_0$ [/mm] ist, wenn diese Punkte zugleich mit S zusammenfallen, d.h. wenn S auf BC liegt. Dies ist nur dann der Fall, wenn S die Mitte von BC ist.
mfG Moudi
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