Parallelisierbarkeit v. Man < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei M ein differenzierbare (C-unendlich) Mannigfaltigkeit der Dimension n
Zeige:
M ist parallelisierbar genau dann wenn TM zu M x [mm] \IR^{n} [/mm] difeomorph ist |
Hallo,
die Hinrichtung (=>) konnte ich zeigen, bei der Rückrichtung bin ich bislang aber gescheitert.
Ich vermute, dass fuer die Rueckrichtung ebenfalls vorrauszusetzen ist, dass ein Difeomorphismus f existiert, der M x [mm] \IR^{n} [/mm] in kanonischer Weise auf TM abbildet, d.h. dass f.a. (x,y) [mm] \in [/mm] M x [mm] \IR^{n} [/mm] gilt, dass f(x,y) [mm] \in T_{x} [/mm] M liegt (sonst sehe ich überhaupt nicht, wie die Vektorfelder definiert werden könnten)
Sofern dies erfüllt ist, wäre meine Idee, die Vektorfelder wie folgt zu definieren:
-Zu x [mm] \in [/mm] M fixiere eine Basis [mm] {v_{1x}, ... , v_{nx}} [/mm] von [mm] T_{x} [/mm] M
-Definiere [mm] X_{i}(x) [/mm] := [mm] f(x,f^{-1}(v_{ix}))
[/mm]
Die [mm] X_{i}(x) [/mm] bilden dann immer eine Basis, aber ich weiss nicht, wie man zeigen könnte, dass die [mm] X_{i} [/mm] auch differenzierbar sind.
Danke fuer alle Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem weiterem Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Do 13.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> die Hinrichtung (=>) konnte ich zeigen, bei der
> Rückrichtung bin ich bislang aber gescheitert.
Hehe, ich kenne obige Äquivalenz als Definition des Begriffs :)
> Ich vermute, dass fuer die Rueckrichtung ebenfalls
> vorrauszusetzen ist, dass ein Difeomorphismus f existiert,
> der M x [mm]\IR^{n}[/mm] in kanonischer Weise auf TM abbildet, d.h.
> dass f.a. (x,y) [mm]\in[/mm] M x [mm]\IR^{n}[/mm] gilt, dass f(x,y) [mm]\in T_{x}[/mm]
> M liegt (sonst sehe ich überhaupt nicht, wie die
> Vektorfelder definiert werden könnten)
Ja, es ist ein Vektorbündel-Isomorphismus gemeint (also ziemlich sicher, ich glaube sonst gibt es wohl Gegenbeispiele, aber da lege ich nicht die Hand ins Feuer)
> Sofern dies erfüllt ist, wäre meine Idee, die
> Vektorfelder wie folgt zu definieren:
> -Zu x [mm]\in[/mm] M fixiere eine Basis [mm]{v_{1x}, ... , v_{nx}}[/mm] von
> [mm]T_{x}[/mm] M
> -Definiere [mm]X_{i}(x)[/mm] := [mm]f(x,f^{-1}(v_{ix}))[/mm]
Und wieso hängt das ganze glatt von der Wahl von x ab? Vergiss das f und nehme an, der Tangentialraum "ist" [m]M\times \IR^n[/m].
> Die [mm]X_{i}(x)[/mm] bilden dann immer eine Basis, aber ich weiss
> nicht, wie man zeigen könnte, dass die [mm]X_{i}[/mm] auch
> differenzierbar sind.
Finde ich auch komsich, was du da machst. Jedenfalls ist zB [m]M\to M\times \IR^n,x\mapsto (x,e_1)[/m] ein glatter Schnitt ...
SEcki
|
|
|
| |
|
Hm, was genau ist ein Vektorbündel-Isomorphismus? Der Begriff ist in der Vorlesung nie gefallen (und Kategorientheorie kam auch nicht vor, falls das relevant ist).
Jedenfalls war bei uns eine parralelisierbare Mannigfaltigkeit als eine solche definiert, die der Dimension entsprechend viele ( global definierte) Vektorfelder zulässt, deren Bilder (f.a. x) in [mm] T_{x}M [/mm] unabhängig sind, d.h. f.a. x spannt [mm] {X_{1}(x), ... , X_{n}(x)} [/mm] den Tangentialraum [mm] T_{x}M [/mm] auf.
Und Vektorfelder waren als differenzierbare Abbildungen in das Tangentialbündel TM, wobei X(z) in [mm] T_{z} [/mm] M liegen soll (f.a. z [mm] \in [/mm] M), definiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Fr 14.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hm, was genau ist ein Vektorbündel-Isomorphismus? Der
> Begriff ist in der Vorlesung nie gefallen (und
> Kategorientheorie kam auch nicht vor, falls das relevant
> ist).
Schaue mal bei "Morphismen" ![[]](/images/popup.gif) in der englischen Wiki.
> Jedenfalls war bei uns eine parralelisierbare
> Mannigfaltigkeit als eine solche definiert, die der
> Dimension entsprechend viele ( global definierte)
> Vektorfelder zulässt,
Ja, war mir dann auch klar, wie ihr das definiert habt. Ich habe dir von der Trivialisierung ausgehend aber zu mindest mal ein Vektorfeld hingeschrieben, dass du leicht zu n verschiedenen Vf aufstocken kannst.
SEcki
|
|
|
| |
|
Ok, danke - jetzt kapier ichs - mir war nicht klar, dass man fuer Vektorbuendel-Isomorphismen fordert, dass sie lineare Abbildungen zw. den Tangentialräumen induzieren.
|
|
|
|
