Parallelität + Orthogonalität < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Sa 03.04.2010 | | Autor: | LiliMa |
| Aufgabe | | Für welche Werte von t ist die Gerade [mm] g_{t}=\vektor{2+t \\ 1 \\ 1+t}+r*\vektor{1+t \\ 1-t \\ t} [/mm] parallel / orthogonal zu E: 2x1 + x3 - 3 = 0? |
Hi Leute,
mit der orthogonalität habe ich keine Probleme. Da habe ich einfach den Richtungsvektor der Geraden mit dem normalen Vektor der Ebene Multipliziert und gleich null Gesetzt und nach t aufgelöst. Das gibt für [mm] t=-\bruch{2}{3}
[/mm]
Aber wie weise ich die parallelität nach?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Sa 03.04.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn die Gerade parallel zur Ebenen sein soll, steht sie senkrecht zum Normalenvektor der Ebene.
Also musst du hier das t bestimmen, für dass das Skalarprodukt aus den Normalenvektor der Ebene und dem Richtugsvektor der Geraden Null ergibt.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Sa 03.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo LiliMa!
Du hast hier dasjenige $t_$ berechnet, für welches $g_$ und $E_$ parallel sind.
Für die Orthogonalität mussen Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene linear abhängig sind.
Also: für welches $t_$ ist [mm] $\vektor{1+t\\1-t\\t}$ [/mm] ein Vielfaches von [mm] $\vektor{2\\0\\1}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Sa 03.04.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
eine andere Variante für die Orthogonalität ist folgende:
[mm] <\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}>=|x|*|y|*cos(\alpha)
[/mm]
wobei [mm] \alpha [/mm] der Winkel zwischen den Vektoren [mm] \overrightarrow{x} [/mm] und [mm] \overrightarrow{y} [/mm] ist. Die Vektoren sind
parallel, wenn [mm] \alpha=0 [/mm] gilt, also [mm] cos(\alpha)=1.
[/mm]
Damit ergibt sich [mm] <\vektor{1+t \\ 1-t \\ t},\vektor{2 \\ 0 \\ 1}>=\wurzel{5}*\wurzel{(1+t)^2+(1-t)^2+t^2} [/mm] also
[mm] 2+3*t=\wurzel{5}*\wurzel{2+3*t^2}
[/mm]
und das nach t auflösen.
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