Parameter von Mustervektoren < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die nachstehenden Mustervektoren [mm] \vec{u_1}, \vec{u_2} \in \IR^3 [/mm] jeweils [mm] \alpha_1, \alpha_2 \in \IR [/mm] so, daß für den Vektor [mm] \vec{s} [/mm] := [mm] (1,1,2)^{tr} [/mm] der Ausdruck
[mm] f(\alpha_1, \alpha_2) [/mm] := [mm] |\vec{s} [/mm] - [mm] (\alpha_1, \vec{u_1} [/mm] + [mm] \alpha_2\vec{u_2})|^{2}
[/mm]
minimal wird. Ermitteln Sie anschließend für diese Werte den verbleibenden (in der Länge minimierten ) Restvektor [mm] \vec{r} [/mm] der Zerlegung
[mm] \vec{s} [/mm] = [mm] \alpha_1\vec{u_1} [/mm] + [mm] \alpha_2\vec{u_2} [/mm] + [mm] \vec{r}
[/mm]
und berechnen Sie [mm] \vec{r} [/mm] * [mm] \vec{u_1} [/mm] sowie [mm] \vec{r} [/mm] * [mm] \vec{u_2}. [/mm] Skizzieren Sie die jeweilige Situation !
a) [mm] \vec{u_1} [/mm] := [mm] (1,0,1)^{tr} \vec{u_2} [/mm] := [mm] (0,1,1)^{tr}
[/mm]
b) [mm] \vec{u_1} [/mm] := [mm] (1,0,0)^{tr} \vec{u_2} [/mm] := [mm] (1,0,1)^{tr} [/mm] |
Was sind Mustervektoren und was sind [mm] \alpha_1,\alpha_2 [/mm] bei den Mustervektoren u1 und u2.
Wie kann man den Vektor s für den Ausdruck f(...) minimal bestimmen.
Wie bestimmt man den Restvektor [mm] \vec [/mm] r der Zerlegung.
Welche Punkte muss ich abarbeiten oder wie muss ich vorgehen (Anleitung).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Di 04.10.2016 | | Autor: | chrisno |
> Was sind Mustervektoren
So wie ich das lese, kannst Du den Wortteil "Muster" einfach streichen.
Die Vektoren findest Du unter a) und b)
> und was sind [mm]\alpha_1,\alpha_2[/mm] bei
> den Mustervektoren u1 und u2.
Vorfaktoren
> Wie kann man den Vektor s für den Ausdruck f(...) minimal
> bestimmen.
Genauer lesen. Da steht für den Vektor ...
Du sollst ein Minimum von $ [mm] f(\alpha_1, \alpha_2) [/mm] $ finden.
Da denke ich an Ableitungen.
> Wie bestimmt man den Restvektor [mm]\vec[/mm] r der Zerlegung.
Dieser Teil kommt später.
> Welche Punkte muss ich abarbeiten oder wie muss ich
> vorgehen (Anleitung).
Schreibe $ [mm] f(\alpha_1, \alpha_2) [/mm] $ hin, mit allen Informationen aus dem Text. Dabei musst Du u1, u2 und s einsetzen.
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Also kann ich für u1 und u2 alle Werte aus dem Bereich [mm] \IR [/mm] einsetzen und [mm] \alpha_1,\alpha_2 [/mm] auch. Ist das korrekt ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Di 04.10.2016 | | Autor: | chrisno |
> Also kann ich für u1 und u2 alle Werte aus dem Bereich [mm]\IR[/mm]
> einsetzen und [mm]\alpha_1,\alpha_2[/mm] auch. Ist das korrekt ?
Nein. Die beiden Werte für [mm]\alpha_1,\alpha_2[/mm] sollen bestimmt werden, aus allen möglichen, die in [mm]\IR[/mm] sind.
Ich wiederhole mich: [mm] $\vec{u}_1$ [/mm] und [mm] $\vec{u}_2$ [/mm] sind angegeben. Es gibt zwei Teilaufgaben a) und b). Diese unterscheiden sich in den Werten für [mm] $\vec{u}_1$ [/mm] und [mm] $\vec{u}_2$.
[/mm]
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Ok dann setze ich für u1 u2 und s Werte in den Ausdruck [mm] f(\alpha_1,\alpha_2) [/mm] := ... ein. Für u1 und u2 kann ich dann Werte aus dem ganzen reelllen Bereich zwei Zahlen wählen ? Wenn ja, was kommt als nächstes. Muss ich dann rechts vom Gleichheitszeichen(das mit dem Betrag) alles ableiten ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Mi 05.10.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
2 mal wurde dir gesagt, dass u1 und u1 festliegen, sie sind angegeben. in a u1=(1,0,1) u2=(0,1,1) in b) dann 2 andere.die Faktoren vor u1 und u2 sollst du bestimmen, beliebig ist hier nichts.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Mi 05.10.2016 | | Autor: | fred97 |
In Aufgabenteil a) sind die Mustervektoren (ha,ha, ha, welcher Mustervollpfosten hat sich diese Bezeichnung ausgedacht ?)
gegeben durch
$ [mm] \vec{u_1} [/mm] := [mm] (1,0,1)^{tr}$ [/mm] und $ [mm] \vec{u_2} [/mm] := [mm] (0,1,1)^{tr} [/mm] $.
Ich würde nun (für beliebige $ [mm] \alpha_1, \alpha_2 \in \IR [/mm] $) den Ausdruck
$ [mm] f(\alpha_1, \alpha_2) [/mm] = [mm] |\vec{s} [/mm] - [mm] (\alpha_1, \vec{u_1} [/mm] + [mm] \alpha_2\vec{u_2})|^{2} [/mm] $
einfach mal ausrechnen und dann schauen, für welche [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] die Funktion $f$ ihren kleinsten Funktionswert annimmt.
Überzeuge Dich von
$ [mm] f(\alpha_1, \alpha_2) =(1-\alpha_1)^2+(1-\alpha_2)^2+(2-\alpha_1-\alpha_2)^2$.
[/mm]
Klar ist: $ [mm] f(\alpha_1, \alpha_2) \ge [/mm] 0$. Ich denke man sieht nun:
$ [mm] f(\alpha_1, \alpha_2) [/mm] = 0$ [mm] \gdw \alpha_1=\alpha_2=1.
[/mm]
Fazit: $f $ wird minimal für [mm] \alpha_1=\alpha_2=1.
[/mm]
Ableiten ist also nicht nötig (damit gehts natürlich auch).
$f(1,1)=0$ bedeutet anschaulich, dass der Punkt (1|1|2) auf der von [mm] \vec{u_1} [/mm] und [mm] \vec{u_2} [/mm] aufgesspannten Ebene liegt.
Bei b) gehen wir genauso vor. Hier ist
$ [mm] f(\alpha_1, \alpha_2) =1+(2-\alpha_2)^2+(1-\alpha_1-\alpha_2)^2 [/mm] $
Man sieht: es ist stets $ [mm] f(\alpha_1, \alpha_2) \ge [/mm] 1$. Nun finde Du [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] so, dass $ [mm] f(\alpha_1, \alpha_2) [/mm] = 1$ ist.
Für diese [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] wird $f$ minimal.
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Also ich habe das mal so gemacht:
[mm] f(\alpha_1, \alpha_2) [/mm] = [mm] |\vec{s} [/mm] - [mm] (\alpha_1*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \alpha_2*\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 })|^2
[/mm]
[mm] |\vec{s} [/mm] - [mm] \alpha_1 [/mm] - [mm] \alpha_1 [/mm] - [mm] \alpha_2 [/mm] - [mm] \alpha_2|^2
[/mm]
[mm] |\vec{s} [/mm] - [mm] 2\alpha_1 [/mm] - [mm] 2\alpha_2|^2
[/mm]
Ist das schon mal Richtig bis hierhin ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Mi 05.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe das mal so gemacht:
> [mm]f(\alpha_1, \alpha_2)[/mm] = [mm]|\vec{s}[/mm] - [mm](\alpha_1*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> + [mm]\alpha_2*\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 })|^2[/mm]
> [mm]|\vec{s}[/mm] - [mm]\alpha_1[/mm] -
> [mm]\alpha_1[/mm] - [mm]\alpha_2[/mm] - [mm]\alpha_2|^2[/mm]
> [mm]|\vec{s}[/mm] - [mm]2\alpha_1[/mm] - [mm]2\alpha_2|^2[/mm]
> Ist das schon mal Richtig bis hierhin ?
Nein, das ist völliger Unsinn !
In der Differenz [mm] $\vec{s}-2\alpha_1-2\alpha_2$ [/mm] ist [mm] \vec{s} [/mm] ein Vektor und [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] sind Zahlen !!!
Deinem math. Background entnehme ich, dass Du Student bist. Also hast Du Abitur.
Mit $ [mm] \vec{s} [/mm] = [mm] (1,1,2)^{tr} [/mm] $ berechne also, wie in der Schule, zunächst den Vektor
[mm]\vec{s}[/mm] - [mm](\alpha_1*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] + [mm]\alpha_2*\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 })[/mm]
in der Form
[mm] \vektor{x \\ y \\ z},
[/mm]
wobei x,y und z von [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] abhängen. Dann berechne, wieder wie in der Schule, die Länge dieses Vektors. Dann quadriere und Du solltest bekommen:
$ [mm] f(\alpha_1, \alpha_2) =(1-\alpha_1)^2+(1-\alpha_2)^2+(2-\alpha_1-\alpha_2)^2 [/mm] $.
Mach mal vor !
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In der Linearen Algebra tu ich mich meist sehr schwer.
Also ist [mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\z} [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] = [mm] \vektor{x_2\\y_2\\z_2} [/mm] ?
Der Vektor s ist doch auch gegeben.
Welchen Vektor soll ich berechnen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Mi 05.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> In der Linearen Algebra tu ich mich meist sehr schwer.
> Also ist [mm]\alpha_1[/mm] = [mm]\vektor{x \\ y \\z}[/mm] und [mm]\alpha_2[/mm] =
> [mm]\vektor{x_2\\y_2\\z_2}[/mm] ?
Ich komme mir verarscht vor ! Obiges ist doch blanker Unsinn ! [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] sind Zahlen !
> Der Vektor s ist doch auch gegeben.
Mach Sachen ! Wie oft noch ?
$ [mm] \vec{s} [/mm] = [mm] (1,1,2)^{tr} [/mm] $
> Welchen Vektor soll ich berechnen ?
Nochmal: den:
$ [mm] \vec{s} [/mm] $ - $ [mm] (\alpha_1\cdot{}\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ + $ [mm] \alpha_2\cdot{}\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 }) [/mm] $
>
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Wenn ich [mm] \alpha_1 [/mm] mit [mm] \vec{u_1} [/mm] multipliziere müsste dann da nicht
[mm] -\alpha_1 -0\alpha_1 [/mm] - [mm] \alpha_1
[/mm]
Du sagst ja ständig das [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] Zahlen sind, dann könnte ich doch laut Text zwei beliebige Zahlen aus ganz [mm] \IR [/mm] wählen oder etwa nicht ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Mi 05.10.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Wenn ich [mm]\alpha_1[/mm] mit [mm]\vec{u_1}[/mm] multipliziere müsste dann
> da nicht
> [mm]-\alpha_1 -0\alpha_1[/mm] - [mm]\alpha_1[/mm]
> Du sagst ja ständig das [mm]\alpha_1[/mm] und [mm]\alpha_2[/mm] Zahlen
> sind, dann könnte ich doch laut Text zwei beliebige Zahlen
> aus ganz [mm]\IR[/mm] wählen oder etwa nicht ?
Also bei mir ist [mm] $\alpha_1 \cdot \vektor{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{\alpha_1 \\ 0 \\ \alpha_1}$.
[/mm]
Nun mache du weiter!
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Da ja s der Vektor für 1,1,2 ist
habe ich nun stehen.
[mm] |\vektor{1 - \alpha_1 + 0 \\ 1 - 0 - \alpha_2 \\ 2 - \alpha_1 + \alpha_2}|^2 [/mm]
Was mach ich als nächstes ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Mi 05.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Da ja s der Vektor für 1,1,2 ist
> habe ich nun stehen.
> [mm]|\vektor{1 - \alpha_1 + 0 \\ 1 - 0 - \alpha_2 \\ 2 - \alpha_1 + \alpha_2}|^2[/mm]
Das stimmt nicht ganz ! Richtig: [mm] \vektor{1 - \alpha_1 + 0 \\ 1 - 0 - \alpha_2 \\ 2 - \alpha_1 - \alpha_2}
[/mm]
> Was mach ich als nächstes ?
Hab ich doch schon alles gesagt ! Wir haben also
$ [mm] \vec{s} [/mm] $ - $ [mm] (\alpha_1\cdot{}\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ + $ [mm] \alpha_2\cdot{}\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 })= \vektor{1 - \alpha_1 \\ 1 - \alpha_2 \\ 2 - \alpha_1 - \alpha_2}$
[/mm]
Berechne das Quadrat der Länge dieses Vektors, also
$ | [mm] \vektor{1 - \alpha_1 \\ 1 - \alpha_2 \\ 2 - \alpha_1 - \alpha_2}|^2$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Mi 05.10.2016 | | Autor: | Chris84 |
> > Da ja s der Vektor für 1,1,2 ist
> > habe ich nun stehen.
> > [mm]|\vektor{1 - \alpha_1 + 0 \\ 1 - 0 - \alpha_2 \\ 2 - \alpha_1 + \alpha_2}|^2[/mm]
>
> Das stimmt nicht ganz ! Richtig: [mm]\vektor{1 - \alpha_1 + 0 \\ 1 - 0 - \alpha_2 \\ 2 - \alpha_1 - \alpha_2}[/mm]
>
> > Was mach ich als nächstes ?
>
> Hab ich doch schon alles gesagt ! Wir haben also
>
> [mm]\vec{s}[/mm] - [mm](\alpha_1\cdot{}\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] +
> [mm]\alpha_2\cdot{}\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 })= \vektor{1 - \alpha_1 \\ 1 - \alpha_2 \\ 2 - \alpha_1 - \alpha_2}[/mm]
>
> Berechne das Quadrat der Länge dieses Vektors, also
>
> [mm]| \vektor{1 - \alpha_1 \\ 1 - \alpha_2 \\ 2 - \alpha_1 - \alpha_2}|^2[/mm]
>
> FRED
Ich helfe nochmal ein wenig mehr, falls FREDs Antwort noch nicht reicht :)
Denk dran, dass
$ [mm] |\vektor{1 - \alpha_1 \\ 1 - \alpha_2 \\ 2 - \alpha_1 - \alpha_2}|^2 [/mm] = [mm] \vektor{1 - \alpha_1 \\ 1 - \alpha_2 \\ 2 - \alpha_1 - \alpha_2} \cdot \vektor{1 - \alpha_1 \\ 1 - \alpha_2 \\ 2 - \alpha_1 - \alpha_2}$,
[/mm]
wobei [mm] $\cdot$ [/mm] das Skalarprodukt zweier Vektoren bezeichnet.
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Habe ich gerade nochmals auf Wikipedia gefunden, wie man das mit dem Betrag zum Quadrat bei Vektoren berechnet. Jetzt komm ich auch auf hatte vorhin ein Vorzeichenfehler gehabt.
[mm] (1-\alpha_1)^2 [/mm] + [mm] (1-\alpha_2)^2 [/mm] + [mm] (2-\alpha_1-\alpha_2)^2
[/mm]
Um [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] zu bestimmen muss ich nur jeweils die 1 auf die andere Seite bringen und mal minus 1 rechnen, dann komm ich auf das mit dem [mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] \alpha_2 [/mm] = 1 stimmts ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Mi 05.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Habe ich gerade nochmals auf Wikipedia gefunden, wie man
> das mit dem Betrag zum Quadrat bei Vektoren berechnet.
> Jetzt komm ich auch auf hatte vorhin ein Vorzeichenfehler
> gehabt.
> [mm](1-\alpha_1)^2[/mm] + [mm](1+\alpha_2)^2[/mm] + [mm](2-\alpha_1-\alpha_2)^2[/mm]
Wieder ein Fehler !
Richtig: [mm](1-\alpha_1)^2[/mm] + [mm](1-\alpha_2)^2[/mm] + [mm](2-\alpha_1-\alpha_2)^2[/mm]
> Um [mm]\alpha_1[/mm] und [mm]\alpha_2[/mm] zu bestimmen muss ich nur jeweils
> die 1 auf die andere Seite bringen und mal minus 1 rechnen,
> dann komm ich auf das mit dem [mm]\alpha_1[/mm] = [mm]\alpha_2[/mm] = 1
> stimmts ?
Das ist unglaublich !!! Willst Du uns für dumm verkaufen ? Liest Du , was man Dir schreibt ?
Das hab ich Dir oben geschrieben:
$ [mm] f(\alpha_1, \alpha_2) =(1-\alpha_1)^2+(1-\alpha_2)^2+(2-\alpha_1-\alpha_2)^2 [/mm] $.
Klar ist: $ [mm] f(\alpha_1, \alpha_2) \ge [/mm] 0 $. Ich denke man sieht nun:
$ [mm] f(\alpha_1, \alpha_2) [/mm] = 0 $ $ [mm] \gdw \alpha_1=\alpha_2=1. [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Mi 05.10.2016 | | Autor: | Chris84 |
> > Habe ich gerade nochmals auf Wikipedia gefunden, wie man
> > das mit dem Betrag zum Quadrat bei Vektoren berechnet.
> > Jetzt komm ich auch auf hatte vorhin ein Vorzeichenfehler
> > gehabt.
> > [mm](1-\alpha_1)^2[/mm] + [mm](1+\alpha_2)^2[/mm] + [mm](2-\alpha_1-\alpha_2)^2[/mm]
>
> Wieder ein Fehler !
>
> Richtig: [mm](1-\alpha_1)^2[/mm] + [mm](1-\alpha_2)^2[/mm] +
> [mm](2-\alpha_1-\alpha_2)^2[/mm]
>
>
>
> > Um [mm]\alpha_1[/mm] und [mm]\alpha_2[/mm] zu bestimmen muss ich nur jeweils
> > die 1 auf die andere Seite bringen und mal minus 1 rechnen,
> > dann komm ich auf das mit dem [mm]\alpha_1[/mm] = [mm]\alpha_2[/mm] = 1
> > stimmts ?
>
> Das ist unglaublich !!! Willst Du uns für dumm verkaufen ?
> Liest Du , was man Dir schreibt ?
>
> Das hab ich Dir oben geschrieben:
>
>
>
> [mm]f(\alpha_1, \alpha_2) =(1-\alpha_1)^2+(1-\alpha_2)^2+(2-\alpha_1-\alpha_2)^2 [/mm].
>
> Klar ist: [mm]f(\alpha_1, \alpha_2) \ge 0 [/mm]. Ich denke man
> sieht nun:
>
> [mm]f(\alpha_1, \alpha_2) = 0[/mm] [mm]\gdw \alpha_1=\alpha_2=1.[/mm]
>
>
>
>
Ich gebe auch nochmal meinen Senf dazu ^^
Falls man das, was FRED geschrieben hat, nicht sofort erkennt (weil man z.B. kein semianalytisches Auge hat ^^), kann man auch den Standardweg gehen, der da lautet:
1. $f$ nach [mm] $a\lpha_1$ [/mm] und nach [mm] $\alpha_2$ [/mm] ableiten. (Das ergibt zwei verschiedene Ableitungen!)
2. Jede der beiden Ableitungen gleich null setzen (Minimum berechnen). Das gibt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
3. Gleichungssystem mit bekannten Mitteln loesen!
Koennte auch ganz praktisch sein fuer b) (da b) ja schon von a) - wenn auch nur geringfuegig - abweicht!)
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Ich lese alles was ihr schreibt und für dumm verkaufen will ich hier ganz sicher niemanden, wie ich bereits geschrieben habe fällt mir lineare Algebra sehr schwer und deswegen bin ich ja auch hier um von euch Hilfe zu bekommen. Was ist das für ein Umgangston ? Bleib doch sachlich.
[mm] f(\alpha_1,\alpha_2) [/mm] >= 0 ist mir klar ja, aber allein aus dieser Aussage komme ich doch auch nicht auf [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] = 1
Ich bin hiervon ausgegangen:
[mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] sind doch 1 wegen [mm] (1-\alpha_1)^2 [/mm] + [mm] (1-\alpha_2)^2
[/mm]
Ich kann doch gedanklich - [mm] \alpha_1 [/mm] = -1 <=> [mm] \alpha_1 [/mm] = 1 berechnen.
Das selbe würde ich für [mm] \alpha_2 [/mm] auch machen und dann käme ich doch auf [mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] \alpha_2 [/mm] = 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Mi 05.10.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Ich lese alles was ihr schreibt und für dumm verkaufen
> will ich hier ganz sicher niemanden, wie ich bereits
> geschrieben habe fällt mir lineare Algebra sehr schwer und
> deswegen bin ich ja auch hier um von euch Hilfe zu
> bekommen. Was ist das für ein Umgangston ? Bleib doch
> sachlich.
>
> [mm]f(\alpha_1,\alpha_2)[/mm] >= 0 ist mir klar ja, aber allein aus
> dieser Aussage komme ich doch auch nicht auf [mm]\alpha_1[/mm] und
> [mm]\alpha_2[/mm] = 1
> Ich bin hiervon ausgegangen:
> [mm]\alpha_1[/mm] und [mm]\alpha_2[/mm] sind doch 1 wegen [mm](1-\alpha_1)^2[/mm] +
> [mm](1-\alpha_2)^2[/mm]
> Ich kann doch gedanklich - [mm]\alpha_1[/mm] = -1 <=> [mm]\alpha_1[/mm] = 1
> berechnen.
> Das selbe würde ich für [mm]\alpha_2[/mm] auch machen und dann
> käme ich doch auf [mm]\alpha_1[/mm] = [mm]\alpha_2[/mm] = 1
>
Huhu,
das ist genau das, was ich befuerchtet habe. Naemlich, dass man/du das eben nicht sofort siehst.
Habe dir weiter oben eine Bedienungsanleitung geschrieben, wie du (bei jeder solcher Aufgaben) die Parameter [mm] $\alpha_1$ [/mm] und [mm] $\alpha_2$ [/mm] findest.
Btw: Sicher, dass die Aufgabe zur Algebra und nicht zur mehrdimensionalen Analysis gehoert!? :)
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Das mit dem ableiten sehe ich zum Beispiel im Text nicht direkt auf Anhieb, da mir das mit dem minimal nichts gesagt hat aber wenn es zur mehrdimenionalen Analysis gehört dann stimme ich dir auf jeden Fall zu.
Ist denn mein letzter Schritt richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Mi 05.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Das mit dem ableiten sehe ich zum Beispiel im Text nicht
> direkt auf Anhieb, da mir das mit dem minimal nichts gesagt
> hat aber wenn es zur mehrdimenionalen Analysis gehört dann
> stimme ich dir auf jeden Fall zu.
> Ist denn mein letzter Schritt richtig ?
Welcher ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Mi 05.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich lese alles was ihr schreibt
..... das sah bislang völlig anders aus ...
> und für dumm verkaufen
> will ich hier ganz sicher niemanden,
..... auch das sah bislang völlig anders aus ...
> wie ich bereits
> geschrieben habe fällt mir lineare Algebra sehr schwer
Deine "Probleme" haben damit nichts zu tun. Du nimmst nichts von dem, was man Dir sagt an. Das fing schon gestern an.
Dass Vektoren und Zahlen i.a. verschiedene Objekte sind, sollte Dir bekannt sein.
Wie lange hat es z.B. gedauert bis Dir klar wurde, dass $ [mm] \vec{u_1}, \vec{u_2} \in \IR^3 [/mm] $ konkrete Vektoren sind ?
> und
> deswegen bin ich ja auch hier um von euch Hilfe zu
> bekommen.
> Was ist das für ein Umgangston ?
Meiner !
> Bleib doch sachlich.
Nicht immer. Ich hab Dir sachliche und gewinnbringende Antworten massenhaft gegeben. Wenn Du das aber nicht umsetzt, sondern in die Mülltonne trittst, packe ich meinen Wortschatz aus, und der ist gewaltig !
>
> [mm]f(\alpha_1,\alpha_2)[/mm] >= 0 ist mir klar ja, aber allein aus
> dieser Aussage komme ich doch auch nicht auf [mm]\alpha_1[/mm] und
> [mm]\alpha_2[/mm] = 1
> Ich bin hiervon ausgegangen:
> [mm]\alpha_1[/mm] und [mm]\alpha_2[/mm] sind doch 1 wegen [mm](1-\alpha_1)^2[/mm] +
> [mm](1-\alpha_2)^2[/mm]
Das verstehe wer will !
> Ich kann doch gedanklich - [mm]\alpha_1[/mm] = -1 <=> [mm]\alpha_1[/mm] = 1
> berechnen.
Hä ?
> Das selbe würde ich für [mm]\alpha_2[/mm] auch machen und dann
> käme ich doch auf [mm]\alpha_1[/mm] = [mm]\alpha_2[/mm] = 1
Mit Mathematik hat das nichts zu tun !
Wir haben:
$ [mm] f(\alpha_1, \alpha_2) =(1-\alpha_1)^2+(1-\alpha_2)^2+(2-\alpha_1-\alpha_2)^2 \ge [/mm] 0$
Preisfrage (zu gewinnen gibts nix): sind u,v,w reelle Zahlen und ist
[mm] u^2+v^2+w^2=0,
[/mm]
was folgt für u,v und w ?
Wenn Du die Preisfrage richtig beantwortet hast, sollte Dir klar sein für welche [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] gilt: [mm] f(\alpha_1, \alpha_2)=0.
[/mm]
>
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Fred
Ich erkläre dir meinen Gedankengang. Mir ist es egal wie es andere Rechnen oder wie du es rechnest, es muss für mich verständlich sein. Wenn jeder bei jedem Abguckt hat es der eine verstanden und der Rest nicht.
Das was ich vorhin gesagt hatte war die Scheitelpunktform. Natürlich hätte ich mit zusammenfassen und der pq Formel die 1 herausgefunden aber warum die Mühe machen wenn man mit umstellen in der Scheitelpunktform auf das gesuchte kommt.
Naja Danke trotzdem
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Mi 05.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Fred
> Ich erkläre dir meinen Gedankengang. Mir ist es egal wie
> es andere Rechnen oder wie du es rechnest, es muss für
> mich verständlich sein. Wenn jeder bei jedem Abguckt hat
> es der eine verstanden und der Rest nicht.
>
> Das was ich vorhin gesagt hatte war die Scheitelpunktform.
> Natürlich hätte ich mit zusammenfassen und der pq Formel
> die 1 herausgefunden aber warum die Mühe machen wenn man
> mit umstellen in der Scheitelpunktform auf das gesuchte
> kommt.
Ich hab keine Ahnung, wie Du hier die pq-Formel und/oder die Scheitelpunktform verwenden willst. f ist eine Funktion von 2 (!) Variablen !
>
> Naja Danke trotzdem
>
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Ich weiss das f eine Funktion mit mehreren Variablen ist.
Jedoch bin ich folgendermaßen vorgegangen:
[mm] (1-\alpha_1)^2 [/mm] + [mm] (1-\alpha_2)^2 [/mm] + [mm] (2-\alpha_1-\alpha_2)^2 [/mm] = 0
setze, um die Nullstellen von [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] zu bestimmen brauche ich nicht zwangsläufig die Ausdrücke zum Quadrat zusammen zu fassen. Ich kann entweder durch Einsetzen herausfinden welche Zahl für [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] eignet, damit die Linke Seite gleich der Rechten Seite wird oder ich kann auch die jeweiligen Ausdrücke in den Klammern nach den jeweiligen [mm] \alphas [/mm] umformen damit ich dann [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] erhalte. Nach welcher Rechnung hast du alpha 1 und alpha 2 bestimmt ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Mi 05.10.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast eine Summe von 3 Quadraten, d.h. du weisst der Ausdreuck ist >>=0
schön ist es, wenn alle 3 Quadrate 0 wären. dann ist der Ausdruck 0
Jier hast du Glück, wenn du die ersten 2 Quadrate =0 setzt ist zufällig auch das dritte 0. (im Allgemeinen ist das nicht der Fall. also probierst du wo [mm] 1-\alpha_1=0 [/mm] (du suchst NICHT die Nullstellen von [mm] \\alpha_1, [/mm] ebenso wo [mm] 1-\alpha_2=0 [/mm] ist, und schließlich stellst du fest dass dann auch die dritte Klammer 0 ist. Wenn sie das nicht wäre, würde es dir nicht helfen, dass die ersten 2 Null sind.
Das was du schreibst hat aber ja nichts mehr mit Schwierigkeiten in lin. Alg. zu tun
wenn du etwa schreibst "um die Nullstellen von $ [mm] \alpha_1 [/mm] $ und $ [mm] \alpha_2 [/mm] $ "
und nochmal es ist hier "zufällig" alle drei Klammern 0, eigentlich suchst du ja nicht f=0 sondern das Min von f.
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Mi 05.10.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo
> Du hast eine Summe von 3 Quadraten, d.h. du weisst der
> Ausdreuck ist >>=0
> schön ist es, wenn alle 3 Quadrate 0 wären. dann ist der
> Ausdruck 0
> Jier hast du Glück, wenn du die ersten 2 Quadrate =0
> setzt ist zufällig auch das dritte 0. (im Allgemeinen ist
> das nicht der Fall. also probierst du wo [mm]1-\alpha_1=0[/mm] (du
> suchst NICHT die Nullstellen von [mm]\\alpha_1,[/mm] ebenso wo
> [mm]1-\alpha_2=0[/mm] ist, und schließlich stellst du fest dass
> dann auch die dritte Klammer 0 ist. Wenn sie das nicht
> wäre, würde es dir nicht helfen, dass die ersten 2 Null
> sind.
> Das was du schreibst hat aber ja nichts mehr mit
> Schwierigkeiten in lin. Alg. zu tun
> wenn du etwa schreibst "um die Nullstellen von [mm]\alpha_1[/mm]
> und [mm]\alpha_2[/mm] "
> und nochmal es ist hier "zufällig" alle drei Klammern 0,
> eigentlich suchst du ja nicht f=0 sondern das Min von f.
> Gruß leduart
>
Nun Leduart hat ja schon einiges geschrieben, insbesondere, dass nicht $f=0$, sondern das Minimum von $f$ gesucht ist, was hier zufaelligerweise mit $f=0$ identisch ist.
Ueberhaupt ist die Vorgehensweise bis jetzt aufgebaut, dass [mm] $f\ge [/mm] 0$ ist usw.
Nochmal der Vollstaendigkeit halber der Weg mittels Differentialrechnung (der immer gelingen sollte, auch wenn $f$ nicht so nette Eigenschaften besitzt...):
Es sei also [mm] $f(\alpha_1,\alpha_2) [/mm] = [mm] (1-\alpha_1)^2+(1-\alpha_2)^2+(2-\alpha_1-\alpha_2)^2$. [/mm] Um das Minimum zu bestimmen, bilde man die Ableitungen von $f$ nach [mm] $\alpha_1$ [/mm] und nach [mm] $\alpha_2$:
[/mm]
[mm] $\frac{\partial f}{\partial\alpha_1} [/mm] = [mm] 2\cdot(\alpha_1-1)+2\cdot(\alpha_1+\alpha_2-2) [/mm] = [mm] 4\alpha_1+2\alpha_2-6$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial f}{\partial\alpha_2} [/mm] = [mm] 2\cdot(\alpha_2-1)+2\cdot(\alpha_1+\alpha_2-2) [/mm] = [mm] 2\alpha_1+4\alpha_2-6$
[/mm]
Um das Minimum von $f$ zu bestimmen, muessen die Ableitungen null ergeben, also
[mm] $4\alpha_1+2\alpha_2-6=0
[/mm]
[mm] 2\alpha_1+4\alpha_2-6=0$
[/mm]
Das ist nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten (8. Klasse). Das sollte mit den ueblichen Methoden (z.B. Additionsverfahren, Gauss, Determinanten,...) zu loesen sein und die Loesung ist in der Tat
[mm] $\alpha_1=\alpha_2=1$
[/mm]
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Jetzt habe ich das mit dem minimal richtig verstanden.
Also ist es ein Zufall das die Ableitung und anschliessend das Additionsverfahren oder Gauss Verfahren, dass selbe ergibt wie wenn ich die Funktion gleich 0 setze.
Durch herumprobieren oder eben mit viel Übung sieht man es dann halt.
Danke dir Chris das ist mal kompetent :).
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> [mm]|\vektor{1 - \alpha_1 + 0 \\ 1 - 0 - \alpha_2 \\ 2 - \alpha_1 + \alpha_2}|^2[/mm]
besser dargestellt, mit angepassten Absolutstrichen:
$ [mm] \left| \vektor{1 - \alpha_1 + 0 \\ 1 - 0 - \alpha_2 \\ 2 - \alpha_1 + \alpha_2}\right|^2$ [/mm]
Analog kann man mit weiteren Arten von Syntaxelementen umgehen
(z.B. Floor - Funktion)
Geeignete Hilfe dazu findet man bei http://detexify.kirelabs.org/classify.html
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Mi 05.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich [mm]\alpha_1[/mm] mit [mm]\vec{u_1}[/mm] multipliziere müsste dann
> da nicht
> [mm]-\alpha_1 -0\alpha_1[/mm] - [mm]\alpha_1[/mm]
Was [mm] \alpha_1*\vec{u_1} [/mm] ist, hat Chris Dir gesagt.
> Du sagst ja ständig das [mm]\alpha_1[/mm] und [mm]\alpha_2[/mm] Zahlen
> sind,
................ nicht nur ich .......
> dann könnte ich doch laut Text zwei beliebige Zahlen
> aus ganz [mm]\IR[/mm] wählen oder etwa nicht ?
Jetzt komme ich mir endgültig verarscht vor, oder etwa nicht ?
Du sollst [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] so bestimmen, dass die Funktion f für diese Wahl von [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] ihren kleinsten Funktionswert annimmt.
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> Bestimmen Sie für die nachstehenden Mustervektoren
> [mm]\vec{u_1}, \vec{u_2} \in \IR^3[/mm] jeweils [mm]\alpha_1, \alpha_2 \in \IR[/mm]
> so, daß für den Vektor [mm]\vec{s}[/mm] := [mm](1,1,2)^{tr}[/mm] der
> Ausdruck
>
> [mm]f(\alpha_1, \alpha_2)[/mm] := [mm]|\vec{s}[/mm] - [mm](\alpha_1, \vec{u_1}[/mm] +
> [mm]\alpha_2\vec{u_2})|^{2}[/mm]
> minimal wird. Ermitteln Sie anschließend für diese Werte
> den verbleibenden (in der Länge minimierten ) Restvektor
> [mm]\vec{r}[/mm] der Zerlegung
> [mm]\vec{s}[/mm] = [mm]\alpha_1\vec{u_1}[/mm] + [mm]\alpha_2\vec{u_2}[/mm] + [mm]\vec{r}[/mm]
> und berechnen Sie [mm]\vec{r}[/mm] * [mm]\vec{u_1}[/mm] sowie [mm]\vec{r}[/mm] *
> [mm]\vec{u_2}.[/mm] Skizzieren Sie die jeweilige Situation !
> a) [mm]\vec{u_1}[/mm] := [mm](1,0,1)^{tr} \vec{u_2}[/mm] := [mm](0,1,1)^{tr}[/mm]
> b) [mm]\vec{u_1}[/mm] := [mm](1,0,0)^{tr} \vec{u_2}[/mm] := [mm](1,0,1)^{tr}[/mm]
> Was sind Mustervektoren und was sind [mm]\alpha_1,\alpha_2[/mm] bei
> den Mustervektoren u1 und u2.
> Wie kann man den Vektor s für den Ausdruck f(...) minimal
> bestimmen.
> Wie bestimmt man den Restvektor [mm]\vec[/mm] r der Zerlegung.
Hallo
Ich fände es sehr sinnvoll, sich den eigentlich geometrischen
Inhalt dieser Aufgabe klar zu machen. Damit wird alles
wesentlich besser verständlich.
Kurz zusammengefasst geht es nämlich einfach darum,
von einem gegebenen Punkt S (mit dem Ortsvektor [mm] \vec{s})
[/mm]
aus das Lot auf eine gegebene Ebene E , die durch den
Koordinatenursprung verläuft und durch die beiden
Spannvektoren [mm] $\vec{u}_1$ [/mm] und [mm] $\vec{u}_2$ [/mm] aufgespannt wird,
zu fällen. Der zum Schluss gefragte "Restvektor" [mm] $\vec{r}$ [/mm] ist
der Vektor vom Lotfußpunkt F zum gegebenen Punkt S .
Anstatt die Lösung mittels Differentialrechnung zu ermitteln,
könnte man also auch die bewährten Methoden der vektoriellen
Geometrie (mittels Skalarprodukt, ev. auch Vektorprodukt)
anwenden.
LG , Al-Chwarizmi
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