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| Aufgabe | Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
[mm] 3ax-{1} - 4x_{2} - 2x_{3} = 2[/mm]
[mm] ax_{1} - 2x_{2} - ax_{3} = 0[/mm]
[mm] ax_{1} + ax_{2} - x_{3} = 1[/mm]
[mm] ax_{1} - x_{2} - x_{3} = 1 [/mm]
mit dem reellen Parameter a. Bestimmen Sie alle Werte a, für die das LGS lösbar ist, und geben Sie jeweils die Lösungsmenge an. Benutzen Sie hierzu den Gauß-Algorithmus. |
Ich habe den Gauß Alg angewand und habe und zum Schluss die folgende erweiterte matrix bekommen.
[mm] \begin{pmatrix}
a & -1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & (1-a) & -1 \\
0 & 0 & (1-2a) & (-1-a) \\
0 & 0 & a & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Ab hier bin ich mir unsicher, wähle ich für a = 0, so kriege ich nach umformen
[mm] \begin{pmatrix}
0 & -1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Dann wäre ja Rang(A)=2=Rang(A|b) (A=linke Seite des Gleichungssystem, b die rechte Seite) und ich hätte eine eindeutige Lösung
x = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] .
Aber irgendwei zweifel ich dran, dass das so stimmt. Ich glaube da muss es auch ein a geben, mit welchem das LGS unendlichviele Lösungen hat.
Ich hoffe jemand kann mit hierbei helfen. Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
> [mm]3ax-{1} - 4x_{2} - 2x_{3} = 2[/mm]
> [mm]ax_{1} - 2x_{2} - ax_{3} = 0[/mm]
>
> [mm]ax_{1} + ax_{2} - x_{3} = 1[/mm]
> [mm]ax_{1} - x_{2} - x_{3} = 1[/mm]
>
> mit dem reellen Parameter a. Bestimmen Sie alle Werte a,
> für die das LGS lösbar ist, und geben Sie jeweils die
> Lösungsmenge an. Benutzen Sie hierzu den
> Gauß-Algorithmus.
> Ich habe den Gauß Alg angewand und habe und zum Schluss
> die folgende erweiterte matrix bekommen.
> [mm]\begin{pmatrix}
a & -1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & (1-a) & -1 \\
0 & 0 & (1-2a) & (-1-a) \\
0 & 0 & a & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich habe das nicht nachgerechnet.
>
> Ab hier bin ich mir unsicher, wähle ich für a = 0, so
> kriege ich nach umformen
> [mm]\begin{pmatrix}
0 &\red{ -1} & -1 & |1 \\
0 & 0 & \red{2} & | -2 \\
0 & 0 & 0 & | 0 \\
0 & 0 & 0 & |0
\end{pmatrix}[/mm]
Genau.
>
> Dann wäre ja Rang(A)=2=Rang(A|b) (A=linke Seite des
> Gleichungssystem, b die rechte Seite) und ich hätte eine
> eindeutige Lösung
Nein. daß die Ränge übereinstimmen, sagt Dir, daß as GS eine Lösung hat.
Eine eindeutige Lösung hast Du, wenn der Rang = Anzahl der Variablen ist. Das ist hier aber nicht der Fall.
Bestimmung der Lösungsmenge:
Die führenden Zeilenelemente sind in Spalte 2 und 3, also kannst Du die erste Variable frei wählen:
[mm] x_1=t
[/mm]
Die zweite Zeile sagt [mm] 2x_3=2, [/mm] also
[mm] x_3=-1,
[/mm]
die erste Zeile sagt [mm] -x_2-x_3=1, [/mm] also
[mm] x_2=-x_3-1=1-1=0
[/mm]
Also haben die Lösungen die Gestalt
[mm] \vektor\{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{t\\0\\-1}=\vektor{0\\0\\-1}+t*\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
Anderer Weg über die reduzierte ZSF:
[mm] \begin{pmatrix}
0 &-1 & -1 & |1 \\
0 & 0 & 2 & | -2 \\
0 & 0 & 0 & | 0 \\
0 & 0 & 0 & |0
\end{pmatrix} [/mm]
-->
[mm] \begin{pmatrix}
0 &-1 & -1 & |1 \\
0 & 0 & 1 & | -1 \\
0 & 0 & 0 & | 0 \\
0 & 0 & 0 & |0
\end{pmatrix} [/mm]
-->
[mm] \begin{pmatrix}
0 &-1 & 0 & |0 \\
0 & 0 & 1 & |- 1 \\
0 & 0 & 0 & | 0 \\
0 & 0 & 0 & |0
\end{pmatrix} [/mm]
-->
(Nullzeilen weg, Hilfszeile(n) so einschieben, daß die leeren Diagonalplätze mit -1 besetzt werden)
[mm] \begin{pmatrix}
\green{-1} & 0 &0 & | \red{0} \\
0 &-1 & 0 & |\red{0} \\
0 & 0 & 1 & |\red{-1}
\end{pmatrix} [/mm]
Die letze Spalte ist eine spezielle Lösung, die günen Spalten spannen den Raum der Lösungen des homogenen Systems auf.
Insgesamt haben alle Lösungen die Gestalt
[mm] \vec{x}=\vektor{0\\0\\-1}+t*\vektor{-1\\0\\0}
[/mm]
Wenn Du das hast, setzte die Untersuchungen fort, indem Du die Angelegenheit für [mm] a\not=0 [/mm] betrachtest.
Gruß v. Angela
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Was ist die reduzierte ZSF?
Jetzt habe wir ja die Lösungsmenge gefunden, die eine Gerade ist. Jetzt bin ich mir aber unsicher: Ist bei der Lösungsmenge der Vektor
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] die Lösung des homogenen Systems? Weil in der Vorlesung sahen so immer die allg. Lösungen aus:
[mm] x_{s} [/mm] + a [mm] x_{h} [/mm] , mit [mm] x_{s} [/mm] : Lösung des inhomogenen Syst. und
[mm] x_{h} [/mm] : Lsg. des homogenen Syst.
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> Was ist die reduzierte ZSF?
Hallo,
die führenden zeilenelemente sind Einsen, und über und unter ihnen stehen Nullen.
> Jetzt habe wir ja die Lösungsmenge gefunden, die eine
> Gerade ist. Jetzt bin ich mir aber unsicher: Ist bei der
> Lösungsmenge der Vektor
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] die Lösung des homogenen Systems?
er ist eine Basis des Lösungsraumes des homogenen Systems - also auch eine der Lösungen des homogenen Systems,
und der Vektor [mm] \vektor{0\\0\\-1} [/mm] in $ [mm] \vec{x}=\vektor{0\\0\\-1}+t\cdot{}\vektor{-1\\0\\0} [/mm] $ ist eine Lösung ("spezielle Lösung") des inhomogenen Systems.
Gruß v. Angela
> Weil in der Vorlesung sahen so immer die allg. Lösungen
> aus:
> [mm]x_{s}[/mm] + a [mm]x_{h}[/mm] , mit [mm]x_{s}[/mm] : Lösung des inhomogenen
> Syst. und
> [mm]x_{h}[/mm] : Lsg. des homogenen Syst.
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