Parameterdarstellung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bin gerade in die Vektorrechnung eingestiegen und habe die ersten Verständnisfragen...
Hier die Aufgabe:
Gegeben sei allgemein eine Gerade durch ihre Gleichung [mm] x_2=mx_1+b [/mm] bzw. [mm] x_1=a. [/mm] Gib eine Parameterdarstellung an. Hinweis zur Lösung: Beachte und begründe, dass zur Steigung m der Steigungsvektor [mm] \vektor{1 \\ m} [/mm] gehört: gib den Ortsvektor des Schnittpunktes mit der 2.Achse an. |
Als Parameterdarstellung habe ich herausbekommen:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{0 \\ b}+t\vektor{1 \\ m}
[/mm]
Die Steigung m = Tangens des Steigungswinkels [mm] =\bruch{\Delta x_2}{\Delta x_1}. [/mm] Beim Steigungsvektor [mm] \vec{v}=\vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] steht [mm] x_1 [/mm] oben. Also heißt der Steigungsvektor [mm] \vec{v}=\vektor{1 \\ m}.
[/mm]
(Zusammenhang zwischen der Steigung m und jedem Richtungsvektor einer Geraden aus der [mm] Steigungs-Richtungs-Regel:\vec{a}=v*\vektor{1 \\ k} [/mm] wobei v [mm] \in \IR \backslash [/mm] {0} )
Als Ortsvektor habe ich gefunden: [mm] \overrightarrow{OA}=\vektor{0 \\ b}.
[/mm]
Ist dies soweit richtig ?
Als zweite Frage nun folgendes:
Bei der Beschreibung der Geraden g: [mm] \vec{x}=\vektor{-1 \\ -5}+t\vektor{4 \\ 3} [/mm] durch eine allgemeine Geradengleichung (ax+by=c) und durch die Hauptform y=mx+b erhielt ich als Ergebnis: [mm] y=\bruch{3}{4}x -\bruch{17}{4}.
[/mm]
Beim umgekehrten Weg aus der Hauptform in die Parameterdarstellung der Geraden erhielt ich: g: [mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ -\bruch{17}{4}}+t\vektor{4 \\ 3} [/mm] ! Nach welcher Regel muss (oder sollte) ich den Ortsvektor in [mm] \vektor{-1 \\ -5} [/mm] umwandeln ?
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Internetforum gestellt.
Schachschorsch56
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Fr 03.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Bin gerade in die Vektorrechnung eingestiegen und habe die
> ersten Verständnisfragen...
> Hier die Aufgabe:
>
> Gegeben sei allgemein eine Gerade durch ihre Gleichung
> [mm]x_2=mx_1+b[/mm] bzw. [mm]x_1=a.[/mm] Gib eine Parameterdarstellung an.
> Hinweis zur Lösung: Beachte und begründe, dass zur Steigung
> m der Steigungsvektor [mm]\vektor{1 \\ m}[/mm] gehört: gib den
> Ortsvektor des Schnittpunktes mit der 2.Achse an.
> Als Parameterdarstellung habe ich herausbekommen:
>
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{0 \\ b}+t\vektor{1 \\ m}[/mm]
>
> Die Steigung m = Tangens des Steigungswinkels
> [mm]=\bruch{\Delta x_2}{\Delta x_1}.[/mm] Beim Steigungsvektor
> [mm]\vec{v}=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] steht [mm]x_1[/mm] oben. Also heißt der
> Steigungsvektor [mm]\vec{v}=\vektor{1 \\ m}.[/mm]
>
> (Zusammenhang zwischen der Steigung m und jedem
> Richtungsvektor einer Geraden aus der
> [mm]Steigungs-Richtungs-Regel:\vec{a}=v*\vektor{1 \\ k}[/mm] wobei v
> [mm]\in \IR \backslash[/mm] {0} )
>
> Als Ortsvektor habe ich gefunden:
> [mm]\overrightarrow{OA}=\vektor{0 \\ b}.[/mm]
>
> Ist dies soweit richtig ?
>
> Als zweite Frage nun folgendes:
>
> Bei der Beschreibung der Geraden g: [mm]\vec{x}=\vektor{-1 \\ -5}+t\vektor{4 \\ 3}[/mm]
> durch eine allgemeine Geradengleichung (ax+by=c) und durch
> die Hauptform y=mx+b erhielt ich als Ergebnis:
> [mm]y=\bruch{3}{4}x -\bruch{17}{4}.[/mm]
>
> Beim umgekehrten Weg aus der Hauptform in die
> Parameterdarstellung der Geraden erhielt ich: g:
> [mm]\vec{x}=\vektor{0 \\ -\bruch{17}{4}}+t\vektor{4 \\ 3}[/mm] !
> Nach welcher Regel muss (oder sollte) ich den Ortsvektor
> in [mm]\vektor{-1 \\ -5}[/mm] umwandeln ?
Hallo,
wieso musst du das müssen oder sollen?
Wenn du es allerdings unbedingt willst, dann wähle einfach in einer deiner beiden Vektorgleichungen den Parameter t so, dass sich der Stützvektor der anderen Form ergibt. Wenn du in der ersten Gleichung t=-0,25 bzw. in der zweiten Gleichung t=0,25 wählst, erhältst die jeweils den Ortsvektor des bekannten Punktes in der anderen Geradenform.
Da zwar beide Gleichungen die selbe Gerade darstellen, man aber bei einer konkreten Wahl von t in beiden Gleichungen mit diesem t jeweils einen anderen Geradenpunkt erhält, sollte man zur Vermeidung von Missverständnissen für den Parameter zwei verschiedene Buchstaben wählen (z.B. t in der ersten und r in der zweiten Form).
Gruß Abakus
>
> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Internetforum
> gestellt.
>
> Schachschorsch56
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| Aufgabe | | Bilden der Parameterdarstellung einer Geraden aus der Allgemeinformel [mm] m_2=m_1x+b [/mm] und die Umkehr von der Parameterdarstellung einer Geraden [mm] g:\vec{x}=\vektor{x_1 \\ x_2}+t\vektor{x_{11} \\ y_{12}} [/mm] in die allgemeine Geradenform. |
Für die Geradengleichung y=3x-7 geht das doch so:
m=3 [mm] \Rightarrow \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ m} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 3}
[/mm]
b=-7 [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ b} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -7} (\overrightarrow{OA} [/mm] ist der Orts- bzw. Stützvektor der Geraden)
[mm] \Rightarrow g:\vec{x}=\vektor{0 \\ -7}+t*\vektor{1 \\ 3}
[/mm]
und umgekehrt:
Bilde aus [mm] g:\vec{x}=\vektor{0 \\ -7}+t*\vektor{1 \\ 3} [/mm] die allgemeine Form das geht doch so:
x=0 + t | *3
y= -7 + 3t
3x= 3t
y = -7 + 3t Subtraktion der Gleichungen ergibt
y=3x-7 stimmt also.
Bei der in der anfänglich benutzten Gleichung, bei der der Stützvektor nicht wie hier gleich der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse ist, also [mm] \vektor{0 \\ b}, [/mm] war der Stützvektor ja [mm] \vektor{-1 \\ -5} [/mm] (und der Richtungsvektor [mm] \vektor{4 \\ 3}) [/mm] kam bei mir als Ergebnis der Rückumwandlung heraus
[mm] g:\vec{x}=\vektor{0 \\ -4.25}+t*\vektor{4 \\ 3}
[/mm]
abakus sagte mir, ich müsse ja nur den Parameter verändern, um den anderen Stützvektor zu bekommen.
Auch sollte ich den Parameter vielleicht anderes bezeichnen, beim ersten Mal t und beim zweiten mal vielleicht r, damit es nicht zu Verwirrungen führt.
Der Lehrer nannte statt des t auch den Parameter [mm] \lambda. [/mm] Hat dieser eine besondere Bedeutung oder hat er die gleiche Bedeutung wie jeder andere Parameter ?
Habe die Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
Schorsch
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Hallo Schachschorsch56,
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> [mm]g:\vec{x}=\vektor{0 \\ -4.25}+t*\vektor{4 \\ 3}[/mm]
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> abakus sagte mir, ich müsse ja nur den Parameter verändern,
> um den anderen Stützvektor zu bekommen.
> Auch sollte ich den Parameter vielleicht anderes
> bezeichnen, beim ersten Mal t und beim zweiten mal
> vielleicht r, damit es nicht zu Verwirrungen führt.
>
> Der Lehrer nannte statt des t auch den Parameter [mm]\lambda.[/mm]
> Hat dieser eine besondere Bedeutung oder hat er die gleiche
> Bedeutung wie jeder andere Parameter ?
Üblicherweise bezeichnet man
- Geraden mit Kleinbuchstaben wie g,h,i, ...
- Ebenen mit Großbuchstaben wie E,F,G, ....
- Parameter mit griechischen Buchstaben wie [mm]\lambda, \ \mu, \ \nu, \ ...[/mm]
>
> Habe die Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
>
> Schorsch
Gruß
MathePower
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