Parameterdarstellung Bahnkurve < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Sa 30.10.2010 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Gegegeben ist ein Kreis mit Radius R = 1. Auf dem Kreis ist ein Faden aufgewickelt, der zum Teil abgewickelt ist (Fadenende [mm] E_0 [/mm] bei [mm] \pi). [/mm] Der Faden wird nun (strammgezogen) auf den Kreis aufgewickelt. Man berechnen die Parameterdarstellung der Bahnkurve des Fadenendes E. Als Parameter verwende man den Winkel [mm] \phi. [/mm] |
Hallo Zusammen,
zur Veranschaulichung noch ein Bild dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich weiß nun leider nicht genau, wie ich diese Parametergleichung für den Punkt E aufstelle bzw. wie ich vorgehen muss?
Der Punkt befindet sich anfangs am weitesten [mm] (\pi) [/mm] vom Kreis entfernt. Je nach Winkel nähert sich das Ende des Fadens wieder dem Kreis.
In x-Richtung verwende ich den Kosinus und in y-Richtung den Sinus. Bei y muss noch der Radius des Kreises von R = 1 berücksichtigt werden.
Deswegen dachte ich, das die Lösung vielleicht so aussieht:
x: [mm] (\pi [/mm] - [mm] phi)+cos(\phi)
[/mm]
y: [mm] 1-sin(\phi)
[/mm]
?
Gruß
itse
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo itse,
> Gegegeben ist ein Kreis mit Radius R = 1. Auf dem Kreis ist
> ein Faden aufgewickelt, der zum Teil abgewickelt ist
> (Fadenende [mm]E_0[/mm] bei [mm]\pi).[/mm] Der Faden wird nun (strammgezogen)
> auf den Kreis aufgewickelt. Man berechnen die
> Parameterdarstellung der Bahnkurve des Fadenendes E. Als
> Parameter verwende man den Winkel [mm]\phi.[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> zur Veranschaulichung noch ein Bild dazu:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich weiß nun leider nicht genau, wie ich diese
> Parametergleichung für den Punkt E aufstelle bzw. wie ich
> vorgehen muss?
>
> Der Punkt befindet sich anfangs am weitesten [mm](\pi)[/mm] vom
> Kreis entfernt. Je nach Winkel nähert sich das Ende des
> Fadens wieder dem Kreis.
>
> In x-Richtung verwende ich den Kosinus und in y-Richtung
> den Sinus. Bei y muss noch der Radius des Kreises von R = 1
> berücksichtigt werden.
>
> Deswegen dachte ich, das die Lösung vielleicht so
> aussieht:
>
> x: [mm](\pi[/mm] - [mm]phi)+cos(\phi)[/mm]
> y: [mm]1-sin(\phi)[/mm]
Nein, so sieht das nicht aus.
Du solltest in der Zeichnung geeignete Bezeichnungen für
die wichtigen beteiligten Punkte, Vektoren, Winkel, Strecken-
längen einführen.
Stelle dann die Vektoren mittels des Winkels [mm] \phi [/mm] dar !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 So 31.10.2010 | | Autor: | itse |
Hallo,
nun die Originalzeichnung aus der Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Startpunkt liegt bei [mm] (\pi,0) [/mm] und der Endpunkt bei (0,2), da der Kreisumfang bei R=1 genau [mm] 2\pi [/mm] und der Faden die Länge [mm] \pi [/mm] hat.
Somit hab ich Start- und Endpunkt, jedoch kann ich mit diesen Angabe noch nichts anfangen.
Wie muss ich das Ganze betrachten, damit ich daraus die Bahnkurve konstruieren kann?
Gruß
itse
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 So 31.10.2010 | | Autor: | itse |
Sollte das Originalbild nicht veröffentlich werden, entsprich die Erklärung von Al-Chw. genau der Aufgabe.
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> Hallo,
>
> nun die Originalzeichnung aus der Aufgabe:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> Der Startpunkt liegt bei [mm](\pi,0)[/mm] und der Endpunkt bei
> (0,2), da der Kreisumfang bei R=1 genau [mm]2\pi[/mm] und der Faden
> die Länge [mm]\pi[/mm] hat.
>
> Somit hab ich Start- und Endpunkt, jedoch kann ich mit
> diesen Angabe noch nichts anfangen.
>
> Wie muss ich das Ganze betrachten, damit ich daraus die
> Bahnkurve konstruieren kann?
Hallo itse,
ich habe doch eine Art Anleitung schon gegeben:
Du solltest in der Zeichnung geeignete Bezeichnungen für
die wichtigen beteiligten Punkte, Vektoren, Winkel, Strecken-
längen einführen.
Stelle dann die Vektoren mittels des Winkels $ [mm] \phi [/mm] $ dar !
Sei O der Ursprung, M der Kreismittelpunkt, B der Kreispunkt
zum Winkel [mm] \phi [/mm] und E der Endpunkt des Fadens, wenn dieser
von O bis B am Kreis anliegt und von B nach E straff gespannt
ist.
Beschreibe nun die Vektoren wie [mm] \overrightarrow{OM} [/mm] , [mm] \overrightarrow{MB} [/mm] , ... etc. bis [mm] \overrightarrow{OE}
[/mm]
durch Ausdrücke mit der Variablen [mm] \phi [/mm] !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 So 31.10.2010 | | Autor: | itse |
Hallo,
ich habe mir das nun so vorgestellt, das der Kreispunkt B eine ganz normale Kreisbahn beschreibt, der Mittelpunkt M ist vom Ursprung O um 1 nach oben verschoben. Somit ergibt sich für den Punkt B folgende Parameterdarstellung: [mm] \begin{pmatrix} cos(\phi) \\ 1+sin(\phi) \end{pmatrix}. [/mm] An dem Punkt liegt eine Tangente an, die je nachdem wo sich der Punkt B befindet immer kürzer wird, bei (0,2) ist die Länge der Tangente null.
Die Tangenten an B wird beschrieben durch: [mm] \begin{pmatrix} -sin(\phi) \\ cos(\phi) \end{pmatrix}. [/mm] In Abhängigkeit des Winkels [mm] \phi [/mm] ändert sich noch die Länge [mm] \pi [/mm] des Fadens. Somit hatte ich gedacht es würde sich folgende Parameterdarstellung für E ergeben: [mm] \begin{pmatrix} cos(\phi) - (\pi-\phi)\cdot{} sin(\phi) \\ 1+sin(\phi)+(\pi-\phi)\cdot{} cos(\phi) \end{pmatrix}.
[/mm]
Wenn ich das mit Mathematica plotte ergibt sich folgendes Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sieht von Kurve her richtig aus, müsste aber noch um 180° gedreht werden. Wo habe ich denn einen Fehler gemacht?
Gruß
itse
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
>
> ich habe mir das nun so vorgestellt, das der Kreispunkt B
> eine ganz normale Kreisbahn beschreibt, der Mittelpunkt M
> ist vom Ursprung O um 1 nach oben verschoben. Somit ergibt
> sich für den Punkt B folgende Parameterdarstellung:
> [mm] \begin{pmatrix} cos(\phi) \\ 1+sin(\phi) \end{pmatrix}.[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
in B ist $\ x\ =\ [mm] sin(\phi)$ [/mm] und $\ y\ =\ [mm] 1-cos(\phi)$
[/mm]
(genau hinschauen, wo und wie das rechtwinklige Dreieck
mit dem Winkel [mm] \phi [/mm] in der Ebene liegt !)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Sa 30.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Stichwort heisst Evolvende oder engl involute
istdie zeichnun von dir oder aus der Aufgabe? fürdie genaue Kurve ist noch wichtig, wo auf dem Kreis die Schnur endet? unten tangential oder rechts oben wie von dir angedeutet. dass du nicht ne Tangente an den Kreis ast (Straff) ist irritierend.
Gruss leduart
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> Hallo
> Das Stichwort heisst Evolvende oder engl involute
> istdie zeichnun von dir oder aus der Aufgabe? fürdie
> genaue Kurve ist noch wichtig, wo auf dem Kreis die Schnur
> endet? unten tangential oder rechts oben wie von dir
> angedeutet. dass du nicht ne Tangente an den Kreis ast
> (Straff) ist irritierend.
> Gruss leduart
Hallo leduart,
mit einer gehörigen Portion Einfühlungsvermögen und Nach-
sicht kann man schon ergründen, wie die Zeichnung wohl
gemeint war ...
Zu Beginn [mm] (\phi=0) [/mm] ist der Faden längs der x-Achse vom
Punkt O(0/0) zum Punkt [mm] E_0(\pi/0) [/mm] ausgestreckt. Man fasst
ihn dann am Endpunkt [mm] E_0 [/mm] und wickelt ihn auf den Kreis auf.
Die Länge [mm] \pi [/mm] des Fadens reicht auf dem Kreis mit R=1 genau
für einen halben Umlauf. Zuletzt, also für [mm] \phi=\pi [/mm] , hat man
also mit dem Fadenende den Punkt [mm] E_{\pi}=(0/2) [/mm] erreicht.
In der Zeichnung ist die Bahnkurve des Fadenendpunktes E
sehr schlecht skizziert. Zum Beispiel stimmen die Tangenten-
richtungen in keinem der drei speziell dargestellten Punkte
[mm] E_0 [/mm] , [mm] E=E_{\phi} [/mm] und [mm] E_{\pi} [/mm] .
LG Al
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