Parameterdarstellung Gerade < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Sa 17.11.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | x(t) = [mm] \vektor{2-t \\ 1} [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2 |
Hallo zusammen,
ich weiß, dass es sich hier um die Strecke vom Punkt (1,1) zum Punkt (0,1) handelt.
Denn wenn ich Werte für t einsetze, z.B. t = 1 erhalte ich für den x-Anteil des Vektors 2-1 = 1.
Und wenn ich t= 2 einsetze, bekomme ich x = 2-2 = 0.
Der y-Anteil des Vektors ist immer 1, also erhalte ich die Strecke vom Punkt (1,1) zum Punkt (0,1).
Wenn aber nur der Punkt (1,1) und der Punkt (0,1) gegeben ist, wie erhalte ich dann die Parameterdarstellung für die Gerade? Wie komme ich dann letztendlich auf die x = 2-t und auf y=1, also insgesamt auf:
x(t) = [mm] \vektor{2-t \\ 1} [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2 ?
Wie komme ich insbesondere auch auf den Wertebereich von t?
Für eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar.
Viele Grüße, Andreas
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Mit zwei gegebenen Punten $P_$ und $Q_$ kannst Du die Punkt-Richtungs-Form (= Parameterdarstellung) aufstellen mit:
$$g \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{OP}+r*\overrightarrow{PQ} [/mm] \ = \ [mm] \vec{p}+r*\left(\vec{q}-\vec{p}\right)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Sa 17.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Loddar, vielen Dank für Deinen post!
Wenn ich hier die Punkt-Richtungs-Form einsetze, bekomme ich aber:
x = 1 + r * (0-1) = 1 - r und nicht auf 2-r oder?
Mein erster Punkt ist doch x = 1, der zweite x = 0.
Irgendwie passt das noch nicht zusammen. Mir ist auch die Definition des Wertebereiches noch nicht ganz klar ( 1 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2).
Liebe Grüße,
Andreas
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Hallo!
Das Problem ist einfach, daß es für die Grade selbst unendlich viele Darstellungen gibt, denn du kannst jeden beliebigen Punkt der Graden als Aufpunktvektor nehmen, und als Richtungsvektor jeden beliebigen Vektor, der in Richtung der Graden zeigt. Deine Rechnung nimmt den ersten Punkt [mm] \vektor{1\\1} [/mm] als Aufpunktvektor und [mm] \vektor{-1\\0} [/mm] als Richtungsvektor. Deine erste Gleichung hat den gleichen Richtungsvektor, aber eben einen anderen Aufpunktvektor [mm] \vektor{2\\1}.
[/mm]
Nun, wenn du unbedingt ganz bestimmte Definitionsbereiche erreichenwillst:
1. Bereich von t anpassen:
t kannst du dir als sowas wie ne Zeit vorstellenn.
t soll von [mm] t_0 [/mm] bis [mm] $t_1=t_0+\Delta [/mm] t$ verlaufen, [mm] $\Delta [/mm] t$ ist also die "zeit", in der die Strecke [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] zurückgelegt werden soll. Das erreichst du mit
[mm] $t*\frac{1}{\Delta t}\overrightarrow{PQ}$ [/mm] in deiner Gradengleichung.
2. Aufpunktvektor anpassen.
Bisher ist dein Aufpunktvektor also [mm] \overrightarrow{OP}, [/mm] und die Gleichung
[mm] $\overrightarrow{OP}+t*\frac{1}{\Delta t}\overrightarrow{PQ}$ [/mm] erreicht diesen Punkt für t=0. Willst du, daß dieser punkt für einen anderen Wert [mm] t_x [/mm] erreicht wird, schreibst du
[mm] $\overrightarrow{OP}+(t-t_x)*\frac{1}{\Delta t}\overrightarrow{PQ}$
[/mm]
Für [mm] t=t_x [/mm] verschwindet der rechte Teil!
In deinem speziellen Fall ist [mm] $\Delta [/mm] t=1$, da mußt du dich nicht drum kümmern. Dafür hast du aber [mm] t_x=1 [/mm] . Setz das mal ein, dann bekommst du die anfänglich angegebene Gleichung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Sa 17.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Hi Sebastian, vielen Dank für Deine ausführliche Antwort. Ich werde das mal in Ruhe nachrechnen, es hilft mir auf jeden Fall einen großen Schritt weiter!
Vielen dank noch einmal und viele Grüße nach NRW!
Andreas
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