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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:27 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich habe mal eine Frage:
Ich habe diese Ebene gegeben:
x+2y-2z=4
Ich hatte die Aufgabe, daraus eine Ebene in Parameterform zu bilden.
Dies habe ich getan und bin zu folgenden Ergebnis gekommen:
x= (4,0,0) + t1(-2,1,0) + t2(2,0,1)
Stimmt das? Ist das eine richtige Lösung?
Wie kann ich das überprüfen?
Ich habe das so gemacht bzw. gedacht: Ich wandle die Ebene in Parametrform wieder zurück in Ebene in Koordinatenform - Kreuzprodukt beider Vektoren und Stützvektor in Koordinatenform einsetzen - und setze einen Punkt ein, der auch in die ursprüngliche Koordinatenform passte. Wenn das geht, habe ich das richtige Ergebnis?!
Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:19 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Maiko!
> Ich habe mal eine Frage:
> Ich habe diese Ebene gegeben:
>
> x+2y-2z=4
>
> Ich hatte die Aufgabe, daraus eine Ebene in Parameterform
> zu bilden.
> Dies habe ich getan und bin zu folgenden Ergebnis
> gekommen:
>
> x= (4,0,0) + t1(-2,1,0) + t2(2,0,1)
>
> Stimmt das? Ist das eine richtige Lösung?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie kann ich das überprüfen?
> Ich habe das so gemacht bzw. gedacht: Ich wandle die Ebene
> in Parametrform wieder zurück in Ebene in Koordinatenform -
> Kreuzprodukt beider Vektoren und Stützvektor in
> Koordinatenform einsetzen - und setze einen Punkt ein, der
> auch in die ursprüngliche Koordinatenform passte. Wenn das
> geht, habe ich das richtige Ergebnis?!
Das wäre eine Möglichkeit, das Ergebnis zu überprüfen -- aber eine viel zu komplizierte 
Weißt du, was ein Normalenvektor einer Ebene ist und wie man ihn aus einer Koordinatenform ablesen kann? Wenn ja, dann ist die Probe ganz einfach:
Der Normalenvektor steht ja senkrecht zur Ebene, also insbesondere auch auf den beiden Richtungsvektoren der Parameterform. Diese Orthogonalität kannst du ganz einfach mit dem  Skalarprodukt zeigen:
[mm] $\vektor{1\\2\\-2}\*\vektor{-2\\1\\0}=\ldots$ [/mm] (es sollte 0 herauskommen)
Ebenso:
[mm] $\vektor{1\\2\\-2}\*\vektor{2\\0\\1}=\ldots$ [/mm] (es sollte 0 herauskommen)
Damit ist bisher nur gezeigt, dass die beiden Ebenen parallel sind. Die Identität folgt nun sofort, indem du zeigst, dass sie einen gemeinsamen Punkt haben; das geht hier am einfachsten, indem du die Koordinatenformgleichung mit dem Stützvektor überprüfst:
[mm] \vektor{\red{4}\\\red{0}\\\red{0}} [/mm] einsetzen in Koordinatenform:
[mm] $\red{4}+2*\red{0}-2*\red{0}=4$ [/mm] Stimmt!
Also sind die beiden Ebenen identisch, und die Probe ist durch.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Maiko |
Ok! Vielen Dank!
Danke auch für den guten Vorschlag...
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