Parameterform zu Koordinatenf. < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Sa 05.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(9 | -4 | -2) , B(-3 | 8 | -2) ,
C(-3 | -4 | 10) , P(3 | 2 | 4) und Q(-2 | -3 | -1) gegeben.
a) (1) Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist.
(2) Berechnen Sie je eine Gleichung der Ebene ABC , die A, B und C enthält, in Parameter-
und Koordinatenform.
[Zur Kontrolle: ABC 1 2 3 E : x1+ x2+ x3= 3 ] |
Hallo also kann das mal eiener gegen rechnen? Hab irgendwie ein anderes Ergebnis bei der Koordinatenform der Ebene.
E: [mm] \vec{x}= \vektor{9 \\ -4\\ -2} [/mm] + [mm] r\vektor{-12\\ 12\\ -4}+ [/mm] s [mm] \vektor{0 \\ -12\\ 12}
[/mm]
hab dann das kreuzprodukt errechnet aus den beiden Richtungvektoren:
[mm] \vektor{-192 \\ 144\\ 144} [/mm] hab das ganze durch 48(ggt) geteilt (darf man das überhaupt? Es ist dann doch nur ein vielfaches und damit parallel, oder?)
[mm] \vektor{-4 \\ 3\\ 3}
[/mm]
[mm] -4x_{1}+3x_{2}+3x_{3}=d
[/mm]
Stützvektor eingesetzt:
-4*9+3*-4+3*-2= -54
[mm] -4x_{1}+3x_{2}+3x_{3}=-54
[/mm]
Die haben in der Modellösung andere Richtungsvektoren benutzt.
Ist meine Ebene falsch, hab ich irgendwo einen Fehler gemacht?
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Hallo,
> E: [mm]\vec{x}= \vektor{9 \\
-4\\
-2}[/mm] + [mm]r\vektor{-12\\
12\\
-4}+[/mm]s [mm]\vektor{0 \\
-12\\
12}[/mm]
Hier ist dein erster Richtungsvektor falsch. Kontrolliere die [mm] x_3-Koordinate!
[/mm]
>
> hab dann das kreuzprodukt errechnet aus den beiden
> Richtungvektoren:
>
> [mm]\vektor{-192 \\
144\\
144}[/mm] hab das ganze durch 48(ggt)
> geteilt (darf man das überhaupt? Es ist dann doch nur ein
> vielfaches und damit parallel, oder?)
Das darf und sollte man tun bei Vektoren, die nur eine Richtung beschreiben. Also bspw. beim Normalenvektor einer Ebene (bevor man damit eine Ebenegleichung aufstellt!).
Besser machst du das aber mit den Richtungsvektoren, bevor du das Kreuzprodukt berechnest, um Rechenfehler durch große Zahlen zu vermeiden.
Deine restliche Vorgehensweise ist im Prinzip richtig, wiewohl es mir vor solchen Ausdrücken graust:
3*-4
Das ist nicht definiert, in der Schule wird es zu Punktabzug führen (wenn einigermaßen normal korrigiert wird) und richtig muss man das so schreiben:
3*(-4)
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Sa 05.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
okay vielen dank für deien Hilfe.
ich ahb also:
E: $ [mm] \vec{x}= \vektor{9 \\ -4\\ -2} [/mm] $ + $ [mm] r\vektor{-12\\ 12\\ 0}+ [/mm] $s $ [mm] \vektor{0 \\ -12\\ 12} [/mm] $
blöder vorzeichen fehler..
damit im endeffekt dieses Vektorprodukt:
$ [mm] \vektor{144\\ 144\\ 144} [/mm] $
und warum darf ich das jetzt nicht kürzen?
Die Richtungsvektoren vorher konnte ich ja nicht kürzen, wegen der 0 oder?
und zu meiner Schreibweise, muss ich zugeben, dass ich da unten zu faul war die Klammern zu machen, im Heft stehen sie drinn, sorry.
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Hallo,
> damit im endeffekt dieses Vektorprodukt:
>
>
> [mm]\vektor{144\\
144\\
144}[/mm]
>
> und warum darf ich das jetzt nicht kürzen?
wer sagt, dass du das nicht tun darfst? Ich riet dir - so erinnere ich mich schwach - dazu, es zu tun. 
> Die Richtungsvektoren vorher konnte ich ja nicht kürzen,
> wegen der 0 oder?
Doch, natürlich geht das:
[mm] \vektor{-12 \\ 12 \\ 0}=-12*\vektor{1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
> und zu meiner Schreibweise, muss ich zugeben, dass ich da
> unten zu faul war die Klammern zu machen, im Heft stehen
> sie drinn, sorry.
Faulheit wird sofort bestraft, zumindest in der Mathematik. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Sa 05.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
super, vielen dank nochmal für die Mühe.
Ohne euch würd ich am 14 in meiner mündlichen wohl wirklich den Vogel abschießen :D
Und das mit der Faulheit merk ich grade. :D
Hab mich ganz 13.2 zurück gelehnt weil ich keine Klausur geschrieben habe und jetzt muss ich lernen wie ein Verrückter :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Sa 05.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
| Aufgabe | b) Der Punkt S(1 | 0 | 2) ist der Schwerpunkt des Dreiecks ABC.
Zeigen Sie, dass die Gerade g, die durch P und Q verläuft, die Ebene ABC in S senkrecht
schneidet. |
ich hab einfach geschrieben dass der Richtungsvektor der Geraden
$ [mm] \vektor{-1 \\ -1\\ -1} [/mm] $
parallel mit dem Normalenvektor der Ebene ist und deswegen auch senkrecht zur Ebene steht.
Dann ahb ich überprüft ob S überhaupt element von g udn E ist
und dann ahb ich überprüft ob g und E einen gemeinsamen Schnittpunkt haben und das war dann soar der Punkt S
Reicht das? Oder war was anderes in der Aufgabe gefragt?
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Hallo,
> b) Der Punkt S(1 | 0 | 2) ist der Schwerpunkt des Dreiecks
> ABC.
> Zeigen Sie, dass die Gerade g, die durch P und Q
> verläuft, die Ebene ABC in S senkrecht
> schneidet.
> ich hab einfach geschrieben dass der Richtungsvektor der
> Geraden
>
> [mm]\vektor{-1 \\
-1\\
-1}[/mm]
>
> parallel mit dem Normalenvektor der Ebene ist und deswegen
> auch senkrecht zur Ebene steht.
> Dann ahb ich überprüft ob S überhaupt element von g udn
> E ist
> und dann ahb ich überprüft ob g und E einen gemeinsamen
> Schnittpunkt haben und das war dann soar der Punkt S
>
> Reicht das? Oder war was anderes in der Aufgabe gefragt?
es ist sogar zu viel das Guten: stelle hier einfach die Gleichung der Geraden durch P und Q auf, weise kurz daraufhin, dass die Gerade parallel zum Normalenvektor vonE verläft, etwa so:
[mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1}=-\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\overrightarrow{n}_E
[/mm]
schneide mit E und fertig.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Sa 05.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
| Aufgabe | Das Dreieck ABC soll Seitenfläche eines regelmäßigen1 Tetraeders ABCD sein.
(1) Bestimmen Sie die beiden Punkte der Geraden g aus Teilaufgabe b), die als vierter
Eckpunkt D des Tetraeders ABCD in Frage kommen. |
kann mir jemand auf dioe Sprünge helfen wie ich die Aufgabe lösen soll?
Wie kann ich d finden?
Da es sich um ein gleichmässiges Tetraeder handeln soll, muss die Länge ja
von AD BD und CD= AC und so weiter sein.
und die ist [mm] \approx [/mm] 16,97
[mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \vektor{D_{1} \\ D_{2}\\ D_{3}}-\vektor{9 \\ -4\\ -2}
[/mm]
= [mm] \vektor{ 9D_{1} \\ 4D_{2}\\ 2D_{3}}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{AD}|= \wurzel{9 D_{1}^2 +4D_{2}^2 +2D_{3}^2 } \approx [/mm] 16,97
aber irgendiwe kann ich damit ncihts anfangen..
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> Das Dreieck ABC soll Seitenfläche eines regelmäßigen1
> Tetraeders ABCD sein.
> (1) Bestimmen Sie die beiden Punkte der Geraden g aus
> Teilaufgabe b), die als vierter
> Eckpunkt D des Tetraeders ABCD in Frage kommen.
>
>
>
> kann mir jemand auf dioe Sprünge helfen wie ich die
> Aufgabe lösen soll?
> Wie kann ich d finden?
Hallo,
das Dreieck ABC war ja gleichseitig, Seitenlänge [mm] 12\wurzel{2}.
[/mm]
Die Gerade g geht durch den Schwerpunkt des Dreiecks und steht senkrecht auf der Dreiecksebene.
Wie lautet denn die Parameterform der Geraden? Ich konnt's beim Überfliegen des Threads nicht sehen.
Neben der Tatsache, daß [mm] |\vektor{AD}|=12\wurzel{2}, [/mm] mußt Du natürlich auch nutzen, daß D ein Punkt der Geraden g ist.
>
> Da es sich um ein gleichmässiges Tetraeder handeln soll,
> muss die Länge ja
> von AD BD und CD= AC und so weiter sein.
>
>
> und die ist [mm]\approx[/mm] 16,97
>
> [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] = [mm]\vektor{D_{1} \\
D_{2}\\
D_{3}}-\vektor{9 \\
-4\\
-2}[/mm]= [mm]\vektor{ 9D_{1} \\
4D_{2}\\
2D_{3}}[/mm]
Kokolores!
Es ist [mm] $\overrightarrow{AD}$ [/mm] = [mm] $\vektor{ -9+D_{1} \\ 4+D_{2}\\ 2+D_{3}}$.
[/mm]
Andere Möglichkeit: Du rechnet Dir (Pythagoras im Dreieck ASD) aus, welchen Abstand D von der Ebene ABC haben muß und machst von dieser Überlegung ausgehend weiter.
LG Angela
>
> [mm]|\overrightarrow{AD}|= \wurzel{9 D_{1}^2 +4D_{2}^2 +2D_{3}^2 } \approx[/mm]
> 16,97
>
> aber irgendiwe kann ich damit ncihts anfangen..
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Sa 05.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
g: x= [mm] \vektor{3 \\ 2\\ 4} [/mm] + r [mm] \vektor{-1 \\-1\\ -1}
[/mm]
Aber trotzdem weiß ich nicht wies weiter gehen soll.
Natürlich ist Punkt D e aus g
und muss dieselbe Länge [mm] 12\wurzel{2} [/mm] haben...
Den Ansatz mit dem Abstand kann ich nciht nachvollziehen. Der abstand sagt mir ja nicht welcher Punkt das ist. Sondern nur wieweit der weg ist. Nicht in welche Richtung und alles.
Wieso eigentlich [mm] 12\wurzel{2}
[/mm]
Es ist doch [mm] \wurzel{288}
[/mm]
hier vllt noch einen Ansatz:
[mm] 3-r=-9+D_{1}
[/mm]
[mm] 2-r=4+D_{2}
[/mm]
4-r= [mm] 2+D_{3}
[/mm]
[mm] \wurzel{288}= \wurzel{9D_{1}^2+4D_{2}^2+2D_{3}^2}
[/mm]
jetzt hab ich zumindest 4 GLeichungen und 4 Variabeln damit könnt ich das doch lösen oder?
Hier komm ich nicht weiter:
[mm] 12=D_{1}+r
[/mm]
-2= [mm] D_{2}+r
[/mm]
2= [mm] D_{3}+3
[/mm]
288= [mm] 9D_{1}^2+4D_{2}^2+2D_{3}^2[/mm]
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> g: x= [mm]\vektor{3 \\
2\\
4}[/mm] + r [mm]\vektor{-1 \\
-1\\
-1}[/mm]
Hallo,
na, da sind wir ja schonmal ein bißchen schlauer:
da der Punkt D auf dieser Geraden liegen soll, ist ja [mm] \overrightarrow{0D}=\vektor{3-r\\2-r\\4-r}.
[/mm]
Also ist [mm] \vektor{AD}= [/mm] ???,
und daher [mm] 12\wurzel{2}= [/mm] ...
Diese letzte Gleichung müßtest Du dann lösen. Sie enthält nur die Variable r.
>
> Aber trotzdem weiß ich nicht wies weiter gehen soll.
> Natürlich ist Punkt D e aus g
> und muss dieselbe Länge [mm]12\wurzel{2}[/mm] haben...
>
> Den Ansatz mit dem Abstand kann ich nciht nachvollziehen.
> Der abstand sagt mir ja nicht welcher Punkt das ist.
> Sondern nur wieweit der weg ist. Nicht in welche Richtung
> und alles.
Hast Du denn mal ausgerechnet, wie weit er von der Ebene entfernt sein muß? Wenn Du das weißt, kennst Du fast den Punkt: Du mußt dann ja bloß auf der Geraden vom Schwerpunkt S des Dreiecks entsprechend viele Einheiten in beide Richtungen laufen.
>
> Wieso eigentlich [mm]12\wurzel{2}[/mm]
> Es ist doch [mm]\wurzel{288}[/mm]
[mm] =\wurzel{12^2*2}=12\wurzel{2}.
[/mm]
>
> hier vllt noch einen Ansatz:
Du müßtest diesen Ansatz mal erklären.
So wie ich es sehe, ist er falsch, denn Du schreibst hier in den ersten drei Gleichungen, daß der Vektor [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] gleich dem Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden ist, was nicht der Fall ist.
(Eine Skizze hast Du ja hoffentlich irgendwo gezeichnet.)
>
> [mm]3-r=-9+D_{1}[/mm]
> [mm]2-r=4+D_{2}[/mm]
> 4-r= [mm]2+D_{3}[/mm]
> [mm]\wurzel{288}= \wurzel{9D_{1}^2+4D_{2}^2+2D_{3}^2}[/mm]
Diese letzte Gleichung ist ein Mysterium.
Was die soll, erschließt sich mir nicht - ich glaub', das hatte ich schon gesagt.
Solange Du nicht erklärst, wo sie herkommt, wird man die Angelegenheit aber auch nicht aufklären können.
LG Angela
>
> jetzt hab ich zumindest 4 GLeichungen und 4 Variabeln damit
> könnt ich das doch lösen oder?
>
>
> Hier komm ich nicht weiter:
>
> [mm]12=D_{1}+r[/mm]
> -2= [mm]D_{2}+r[/mm]
> 2= [mm]D_{3}+3[/mm]
> 288= [mm]9D_{1}^2+4D_{2}^2+2D_{3}^2[/mm]
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