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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Pure |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=\bruch{1}{20}*x^{5}-\bruch{1}{3}*x^{3}.
[/mm]
a) Untersuchen Sie das Schaubild von f auf Symmetrie.
b) Bestimmen Sie die Nullstellen, Extremwerte, Wendestellen. Zeichnen Sie das Schaubild der Funktion für -3<x<3.
c) Für k [mm] \in \IR [/mm] * ist [mm] f_{k}(x)= kx^{5}-\bruch{1}{3}x^{3}. [/mm] Untersuchen Sie das Schaubild von [mm] f_{k} [/mm] in Abhängigkeit von k auf Extrempunkte. Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion h, auf deren Schaubild alle lokalen Extrempunkte der Schaubilder der Funktion [mm] f_{k} [/mm] liegen. |
Hallöchen, da bin ich mal wieder  Fast ist es schon peinlich, aber die Probleme in Mathe stellen sich mir manchmal einfach als fast unüberwindbare Steine in den Weg, bis mir jemand hilft, drüber zu kommen und diese Steine aus dem Weg zu räumen 
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also, a und b hab ich schon gemacht, mein Problem liegt bei der c). Da habe ich keine Ahnung, wie ich auch nur anfangen soll mit irgendeiner Rechnung. Und wenn sie dann von einer Gleichung h reden, setzt es bei mir völlig aus. Woher soll ich denn diese Gleichung wissen? Und wie soll das alles mit dem k gehen?
Ich schreib mal schnell meine Ergebnisse aus a und b:
a) Es gibt eine Symmetrie zum Ursprung, weil f(x)= -f(-x)
b) -Nullstellen bei [mm] x_{1}=0, x_{2}= \bruch{-2 \wurzel{15}}{3}, x_{3}= \bruch{2 \wurzel{15}}{3}
[/mm]
- Extrema bei [mm] E_{1}(-2/ \bruch{16}{15}), E_{2}(0/0), E_{3}(2/- \bruch{16}{15})
[/mm]
-Wendestellen bei [mm] W_{1}(0/0), W_{2}(\wurzel{2}/ [/mm] -0,66), [mm] W_{3}(-\wurzel{2}/0,66)
[/mm]
So, und jetzt käme die c), bei der ich gerade null Durchblick habe.
Kann mir da bitte jemand helfen, damit ich auch die c verstehe? Freu mich schon auf Eure Antwort
Liebe Grüße bis dahin,
Pure
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Do 04.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Pure!
> Ich schreib mal schnell meine Ergebnisse aus a und b:
>
> a) Es gibt eine Symmetrie zum Ursprung, weil f(x)= -f(-x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) -Nullstellen bei [mm]x_{1}=0, x_{2}= \bruch{-2 \wurzel{15}}{3}, x_{3}= \bruch{2 \wurzel{15}}{3}[/mm]
> - Extrema bei [mm]E_{1}(-2/ \bruch{16}{15}), E_{2}(0/0), E_{3}(2/- \bruch{16}{15})[/mm]
Das stimmt nicht ganz. Handelt es sich bei dem Punkt [mm] $E_2 [/mm] \ ( \ 0 \ | \ 0 \ )$ wirklich um ein Extremum? Hast Du das auch mal in die 2. Ableitung eingesetzt (hinreichendes Kriterium)?
Zudem sollte man das in der Skizze auch erkennen ...
> - Wendestellen bei [mm]W_{1}(0/0), W_{2}(\wurzel{2}/[/mm] -0,66), [mm]W_{3}(-\wurzel{2}/0,66)[/mm]
Genauerer Funktionswert von [mm] $W_2$ [/mm] bzw. [mm] $W_3$ [/mm] :
[mm] $\pm [/mm] \ [mm] \bruch{7}{15}\wurzel{2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ 0.66$
> So, und jetzt käme die c), bei der ich gerade null
> Durchblick habe.
Von der Ermittlung der Extremwerte ist der Rechenweg analog wie oben.
Hier dann am besten bei der Ableitung ausklammern:
$f'(x) \ = \ [mm] 5k*x^4-x^2 [/mm] \ = \ [mm] 5k*x^2*\left(x^2-\bruch{1}{5k}\right) [/mm] \ = \ 0$
Um nun die gesuchte Funktion $h_$ (die sogenannten  Ortskurven) zu ermitteln, musst Du zunächst den Hochpunkt und den Tiefpunkt bestimmen; sprich nach [mm] $x_E [/mm] \ = \ ...$ auflösen.
Diese beiden Lösungen werden dann jeweils noch ein $k_$ in der entsprechenden Lösungen haben. Diese Gleichung dann auch nach $k \ = \ ...$ umstellen und in die Ausgangs-Funktionsgleichung einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Do 04.05.2006 | | Autor: | Pure |
Hi Loddar, erst mal vielen lieben Dank für die Antwort von dir!
Also das mit den Extrema hab ich jetzt versucht, allerdings mit Rechner, steht auch bei der Aufgabe dabei, hab ich nur nicht abgetippt.
Wenn ich also die 1. Ableitung null setze, bekomme ich folgende x-Werte:
0 und [mm] \bruch{\wurzel{5}}{ 5*\wurzel{k}} [/mm] und [mm] \bruch{-\wurzel{5}}{ 5*\wurzel{k}}
[/mm]
Wenn ich nun diese x-Werte in [mm] f_{k}(x) [/mm] einsetze, bekomme ich da aber ganz mysteriöse y-Werte raus....
[mm] y_{1}=0 [/mm] (das ist ja auch noch ok), aber .... [mm] y_{2}= \bruch{\bruch{5^\bruch{5}{2}}{3125}-\bruch{5^\bruch{3}{2}}{375}}{k^\bruch{3}{2}} [/mm] und dann noch [mm] y_{3}=\bruch{5^\bruch{3}{2}}{375*k^\bruch{3}{2}}
[/mm]
Ich denke kaum, dass das so richtig ist. Mein Rechner hat auch schon die x-Werte ganz komisch ausgespuckt, ob ich da jetzt die richtigen "Werte" erwischt habe, bei den ganzen Bedingungen mit "when...".... Na ja, habs halt mal so versucht.
Das mit den Ortskurven dürfte ich aber verstehen, denke ich, das Beispiel von Deinem Link ist recht gut. Danke!
Liebe Grüße, Pure
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Do 04.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin pure,
die nullstellen der 1. ableitung in aufgabenteil c) sind:
x1=0
x2= + [mm] \wurzel{ \bruch{1}{5k} }
[/mm]
x3= - [mm] \wurzel{ \bruch{1}{5k} }
[/mm]
steht praktisch schon bei der lösungsskizze von loddar.
mitilfe der 2. Ableitung kann man ja dann die Art der Extrema bestimmen... usw.
gruss
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Do 04.05.2006 | | Autor: | Pure |
Hi,
jetzt hab ich grad gesehen, wie blind ich war. Danke Wolfgang. Klar, mein [mm] x^{2} [/mm] in der Klammer ist die Antwort, die muss ja nur den gleichen Wert haben wie der Rest der Klammer... Oh man*g*
Also danke nochmal, jetzt hab ichs und schäm mich fast zugrunde, dass mir das nicht aufgefallen ist und hier weiter so dumme Frage stelle
Liebe Grüße, Pure
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