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| Aufgabe | Die Lösungsmenge einer Gleichung der Form
[mm] ax_{1}+bx_{2}=c (a\not=0 [/mm] und [mm] b\not=o) [/mm] legt eine Gerade der Zeichenebene fest. Geben Sie eine Parametergleichung für die Gerade g an, die beschrieben wird durch
[mm] g:2x_{1}+x_{2}=1 [/mm] |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Ich hänge mal wieder an einer Aufgabe.
Ich weiß, dass man [mm] x_{1} [/mm] durch x und [mm] x_{2} [/mm] durch y ersetzen kann.
Dementsprechend wäre die Gleichung nach y umgestellt
y= -2x+1
Aber was mache ich nun, um eine Parametergleichung zu erstellen?
Ich dachte, ich rechne erst einmal zwei Punkte aus:
A (2 | -3) und B (3 | -5)
Was kann man jetzt machen? Ich kann ja a schlecht als Richtungsvektor und den Punkt B als Ortsvektor ansehen.
Liebe Grüße,
Sarah 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Do 21.02.2008 | | Autor: | Beliar |
Hallo
wie wäre es denn du nimmst A als Ortsvektor und B-A als Richtungsvektor.
lg
Beliar
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Hallo,
nehme Punkt B als Ortsvektor und [mm] \overrightarrow{AB}
[/mm]
du kannst dir es so vorstellen, zunächst "läufst" du von (0/0) zum Punkt B(3/-5) du bist auf deiner Gerade jetzt kannst du durch Vielfache von [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] jeden Punkt auf der Geraden "erlaufen"
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Steffie ,
Ich habe in der Schule mal gesagt bekommen (von nem LKler), dass wenn man [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] hat, der Ortsvektor automatisch [mm] \vec{a} [/mm] wäre. Wieso schlägst du B vor?
Gibt es für deine "Läufer-Erklärung" auch eine mathematische Erklärung?
Ich denke, ich habe immer noch nicht das Prinzip verstanden.
Liebe Grüße,
Sarah
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> Ich denke, ich habe immer noch nicht das Prinzip
> verstanden.
Hallo,
der Gedanke ist der:
Du hattest eine Gerade in Koordinatendarstellung gegeben.
Mithilfe dieser Geradengleichung konntest Du die Koordinaten zweier Punkte A und B berechnen, die auf dieser Geraden liegen.
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Ich mache nun einen kleinen Einschub über die Parameterdarstellung von Geraden.
Die Parameterdarstellung sieht ja z.B. so aus: g: [mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{1 \\ 2}+\lambda\vektor{3 \\ 4}.
[/mm]
Vorstellen kann man sich das so: an den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] wird der Richtungsvektor angeklebt.
Wenn Du diesen angeklebten Richtungsvektor nun beliebig verlängerst oder verkürzt, kommst Du zu den Punkten sie auf Deiner Gerade liegen.
Z.B. sind [mm] \vektor{1 \\ 2}+3*\vektor{3 \\ 4}=\vektor{10 \\ 14}, \vektor{1 \\ 2}+0*\vektor{3 \\ 4}=\vektor{1 \\ 2} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 2}-2*\vektor{3 \\ 4}=\vektor{-5 \\ -6} [/mm] Punkte dieser Geraden.
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Du hast nun oben die beiden Punkte A und B. Jeden von ihnen könntest Du als Stützvektor verwenden - ebenso wie jeden anderen Punkt der Geraden auch. Laß uns A nehmen.
Zeichne Dir nun mal ein Koordinatensystem, irgendeine beliebige Gerade und auf dieser zwei beliebige Punkte A und B.
Der Pfeil vom Ursprung zu A, [mm] \overrightarrow{0A}, [/mm] "stützt" die Gerade.
Nun benötigen wir noch den Richungsvektor, den wir dort ankleben wollen.
Die Richtung der Geraden ist doch genau die Richtung des Verbindungsvektors zwischen A und B, [mm] \overrightarrow{AB},
[/mm]
Und den errechnest Du, indem Du [mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A} [/mm] rechnest. (Koordinaten subtrahieren)
Verlängerst oder verkürzt Du ihn, kommst Du zu Punkten der Geraden.
Dieses Verlängern und Verkürzen ist die Aufgabe des Parameters in der Parametergleichung.
Wenn Du zwei Punkte A und B einer Geraden hast, lautet die Geradengleichung in Parameterform also
g: [mm] \vec{x}=\overrightarrow{0A}+\lambda\overrightarrow{AB}
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Geben Sie eine Gleichung der Geraden g in der Form
[mm] ax_{1}+bx_{2}= [/mm] c an.
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2} [/mm] + [mm] t*\vektor{3 \\ 1} [/mm] |
Hallo Zusammen ,
Aufgrund der Informationen aus der anderen Antwort dieser Diskussion, habe ich mir gedacht, dass
[mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] = Punkt B (1 | 2) ist.
Stimmt diese Überlegung? Und wie gehts weiter?
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Do 21.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> [mm] ...\vektor{1 \\ 2} [/mm] = Punkt B (1 | 2) ist.
Richtig.
> Und wie gehts weiter?
So leider recht umständlich.
Daher:
solltest du dir die Gleichung Koordinatenweise anschauen.
[mm] x_1=1+t*3 [/mm] , und
[mm] x_2=2+t*1
[/mm]
Da das t nicht in der Gleichung vorkommen soll, musst du es ersetzen. Also am besten die zweite Gl. nach t umstellen und in die Erste einsetzen. Dann nur noch die Terme hin- und herschieben.
Alternativ kannst du auch die Normalenform aufstellen:
g: [mm] \left[\vec{x}-\overrightarrow{Ortsvektor}\right]*\overrightarrow{Normalenvek.}=0
[/mm]
Und diese danach in die Koordinatenform umstellen.
g: [mm] ax_1+bx_2=c [/mm] , wobei [mm] a=Normalenvektor_1 [/mm] , [mm] b=Normalenvektor_2 [/mm] und [mm] c=\overrightarrow{Ortsvektor}*\overrightarrow{Normalenvek.}
[/mm]
Ciao.
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Hallo Zusammen ,
> Alternativ kannst du auch die Normalenform aufstellen:
> g:
> [mm]\left[\vec{x}-\overrightarrow{Ortsvektor}\right]*\overrightarrow{Normalenvek.}=0[/mm]
Diese Formel verstehe ich nicht.
Wieso [mm] \vec{x}-\vec{Ortsvektor}?
[/mm]
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Zneques |
[mm] \left[\vec{x}-\overrightarrow{Ortsvektor}\right]\cdot{}\overrightarrow{Normalenvek.}=0
[/mm]
Der Ortsvektor ist der Vektor [mm] \overrightarrow{0A} [/mm] für einen Punkt A der Geraden. (z.B. [mm] \vektor{1 \\ 2}=A)
[/mm]
Dann ist, für B ein weiterer Punkt der Geraden, [mm] B-A=\overrightarrow{AB} [/mm] ein Richtungsvektor in Geradenrichtung. Da der Normalenvektor senkrecht darauf steht, gilt dass [mm] \overrightarrow{AB}*\overrightarrow{Normalenvek.}=0
[/mm]
Bei dir wäre das:
[mm] g:\left[\vec{x}-\vektor{1\\2}\right]*\vektor{1\\-3}=0
[/mm]
Man nutzt diese Methode haupsächlich im 3- dim. Fall für Ebenen.
Ciao.
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> > Alternativ kannst du auch die Normalenform aufstellen:
> > g:
> >
> [mm]\left[\vec{x}-\overrightarrow{Ortsvektor}\right]*\overrightarrow{Normalenvek.}=0[/mm]
>
> Diese Formel verstehe ich nicht.
>
Hallo,
wie Zneques sagt, ist dies die Normalenform der Geradengleichung.
Falls Ihr das in der Schule nicht hattet, was ich mir für den GK sehr gut vorstellen kann, brauchst Du Dich damit nicht zu "belasten", was Dich aber nicht unbedingt davon abhalten muß, Dich bei Interesse damit zu beschäftigen.
Gruß v. Angela
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