Parameterschätzung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:58 Sa 13.06.2009 | | Autor: | tessanie |
| Aufgabe | Es seien [mm] X_{1}, [/mm] ... [mm] X_{n} [/mm] unabhängige Zufallsvariablen, je mit derselben Diche
[mm] f_{\theta} [/mm] (x) = [mm] \begin{cases} \bruch{\theta}{(x+\theta)^{2}} , & \mbox{für } x > 0 \\ 0, & \mbox{für } x \le 0 \end{cases}
[/mm]
wobei [mm] \theta [/mm] > 0 ein unbekannter Parameter ist.
a) Welche Beziehung besteht zwischen [mm] \theta [/mm] und dem Median der Verteilung der [mm] X_{k}?
[/mm]
b) Geben Sie einen Schätzwert für [mm] \theta [/mm] an, wenn im Fall n=9 die Werte
0.3, 0.8, 0.5, 2.3, 0.1, 9.5, 1.2, 0.6 und 10.1
für die Zufallsvariablen ermittelt werden. |
Hallo,
die Stochastik-Klausur steht in 2 Wochen an und ich versuche gerade eine Übungsklausur durchzurechnen. Da ich dafür aber keine Lösungen habe und somit meine Ergebnisse nicht überprüfen kann, fänd ichs toll, wenn jemand von euch nochma drüber gucken könnte und mich auf Fehler aufmerksam machen könnte. Ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. Vielen Dank für eine Antwort!
Also, zu der folgenden Aufgabe hab ich mir folgendes gedacht:
a) Man sollte den Quantilenschätzer dafür verwenden.
[mm] \epsilon_{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] F_{\theta}(\epsilon_{\bruch{1}{2}}(F))
[/mm]
[mm] \epsilon_{\bruch{1}{2}} [/mm] ist der Median also = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \epsilon_{\bruch{1}{2}}(F) [/mm] ist der empirische Median von F
Weil ja nur die Dichte gegeben ist, wird zunächst die Verteilungsfunktion benötigt:
[mm] F_{\theta} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x}{f_{\theta}(y) dy}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{x}{\bruch{\theta}{(y+\theta)^{2}} dy}
[/mm]
= [mm] \theta [/mm] * [mm] \integral_{0}^{x}{\bruch{1}{(y+\theta)^{2}} dy}
[/mm]
jetzt mit Substitution:
s = y + [mm] \theta
[/mm]
ds = dy
= [mm] \theta [/mm] * [mm] \integral_{0}^{x}{\bruch{1}{s^{2}} ds}
[/mm]
= [mm] \theta [/mm] * [mm] \integral_{0}^{x}{s^{-2} ds}
[/mm]
= [mm] \theta [/mm] * [mm] (-s^{-1}) |_{0}^{x}
[/mm]
Rücksubstitution:
= [mm] \theta [/mm] * (-(y + [mm] \theta)^{-1}) |_{0}^{x}
[/mm]
= - [mm] \bruch{\theta}{y + \theta} |_{0}^{x}
[/mm]
= - [mm] \bruch{\theta}{x + \theta} [/mm] - (-1)
= 1 - [mm] \bruch{\theta}{x + \theta}
[/mm]
Das wäre dann meine Verteilungsfunktion: [mm] F_{\theta}= [/mm] 1 - [mm] \bruch{\theta}{x + \theta}.
[/mm]
[mm] \epsilon_{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] F_{\theta}(\epsilon_{\bruch{1}{2}}(F))
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{\theta}{\epsilon_{\bruch{1}{2}}(F) + \theta}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\theta}{\epsilon_{\bruch{1}{2}}(F) + \theta}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} \epsilon_{\bruch{1}{2}}(F) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \theta [/mm] = [mm] \theta
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} \epsilon_{\bruch{1}{2}}(F) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \theta
[/mm]
[mm] \epsilon_{\bruch{1}{2}}(F) [/mm] = [mm] \theta
[/mm]
Also, wär mein Zusammenhang zwischen [mm] \theta [/mm] und dem Median von der Verteilung, dass [mm] \theta [/mm] = dem Median der Verteilung ist.
b) Da der empirische Median der gegebenen Werte 0.8 ist, ist auch [mm] \theta [/mm] = 0.8 und die Verteilungsfunktion von X ist F(x)= 1 - [mm] \bruch{0.8}{(x+0.8)^2}.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 So 14.06.2009 | | Autor: | tessanie |
Hallo Luis,
vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Das motiviert zum Weiterrechnen! 
Tessanie
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