Parametertransformation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Mi 23.08.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo alle,
Ich versuche gerade die sogenannte Parametertransformation zu verstehen:
Sei [mm]f:[a,b] \to \IR^n[/mm]
Für eine stetige und bijektive Abbildung [mm]\gamma:[\alpha,\beta] \to [a,b] [/mm] ist
[mm]g=f\circ \gamma:[\alpha,\beta] \to \IR^n [/mm] wieder eine Kurve im [mm]\IR^n[/mm].
Man sagt, das g aus f durch Parametertransformation hervorgeht.
Soweit alles klar, ich weiß auch, das viele Eigenschaften gleich bleiben nach der Transformation, wie die Länge der Kurve oder das die Tangentialvektoren ausser der länge sich nicht ändern.
Mehr haben wir dazu nicht gemacht, also weder beispiele noch übungen und im internet hab ich natürlich auch schon versucht mir klarheit zu verschaffen.
Ich würde eigenlich nur gerne wissen, was diese Parametertransformation nun genau mit der Kurve macht (kann man sich sowas beispielhaft vorstellen???) und wofür es gut ist, also wozu ich das später mal brauchen kann (bin erst im 2ten semester).
Wäre sehr nett, wenn mir jemand weiter helfen würde.
Grüße
Cruemel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mi 23.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Cruemel!
> Ich versuche gerade die sogenannte Parametertransformation
> zu verstehen:
> Sei [mm]f:[a,b] \to \IR^n[/mm]
Das soll eine Kurve sein, oder?
> Für eine stetige und bijektive
> Abbildung [mm]\gamma:[\alpha,\beta] \to [a,b][/mm] ist
> [mm]g=f\circ \gamma:[\alpha,\beta] \to \IR^n[/mm] wieder eine Kurve
> im [mm]\IR^n[/mm].
> Man sagt, das g aus f durch Parametertransformation
> hervorgeht.
>
> Soweit alles klar, ich weiß auch, das viele Eigenschaften
> gleich bleiben nach der Transformation, wie die Länge der
> Kurve oder das die Tangentialvektoren ausser der länge sich
> nicht ändern.
>
> Mehr haben wir dazu nicht gemacht, also weder beispiele
> noch übungen und im internet hab ich natürlich auch schon
> versucht mir klarheit zu verschaffen.
>
> Ich würde eigenlich nur gerne wissen, was diese
> Parametertransformation nun genau mit der Kurve macht
> (kann man sich sowas beispielhaft vorstellen???) und wofür
> es gut ist, also wozu ich das später mal brauchen kann (bin
> erst im 2ten semester).
Eine Kurve ist ja eine Funktion [mm] $\gamma [/mm] : [a, b] [mm] \to \IR^n$. [/mm] Das Parameterintervall $[a, b]$ kannst du dir z.B. als Zeitintervall vorstellen: Zum Zeitpunkt $a$ befindest du dich im Startpunkt [mm] $\gamma(a)$, [/mm] zum Zeitpunkt $b$ im Endpunkt [mm] $\gamma(b)$, [/mm] und dazwischen, zum Zeitpunkt $t [mm] \in [/mm] [a, b]$, an der Stelle [mm] $\gamma(t)$.
[/mm]
Eine Parametertransformation macht nichts anderes, als dieses Zeitintervall zu `verzerren'. Damit kannst du Geschwindigkeit anpassen, z.B. kannst du am Anfang langsamer gehen und hinten dann schneller (da die Laenge des Intervalls gleich bleibt muss sich das wieder ausgleichen). Oder du kehrst sogar die Richtung um (wenn die Transformation streng monoton fallend ist und nicht streng monoton steigend).
Zum Beispiel kannst du damit erreichen (der Einhachheit halber fordern wir mal, dass die Kurve `huebsch genug' ist), dass die Tangentialvektoren der neuen Kurve (soweit sie denn existieren) in jedem Punkt die gleiche Laenge haben.
HTH & LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mi 23.08.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo Felix!
Heißt das, dass die Parametertransformation die Kurve selbst garnicht ändert? Also, wenn ich die Kurve zeichne, sieht die dann immer noch genauso aus?
Grüße
Cruemel
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Hallo und guten Morgen,
ja, Du hast recht: Wenn [mm] f\colon [a,b]\to\IR^n [/mm] die Kurve ist, so zeichnest Du ja zB im Falle n=2 nichts anderes als das Bild [mm] f([a,b])=\{f(x)|x\in [a,b]\}.
[/mm]
Wenn nun [mm] \gamma\colon [c,d]\to [/mm] [a,b] (bijektiv) ist, so zeichnest Du von [mm] f\circ\gamma [c,d]\to\IR^n [/mm] ja auch nur das Bild
[mm] f(\gamma([c,d]))=\{f(\gamma (x))|x\in [c,d]\}, [/mm] und diese Menge ist wg. der Surjektivität von [mm] \gamma [/mm] gleich der ersten Menge.
Gruss + frohes Schaffen !
Mathias
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