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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
a)
Berechne die Parametrisierung von dem Pfad aus der Figur: von (1) a nach b, (2) nach c, (3) nach d (4) und mit einem viertel Kreis nach a. Jedes Stük kann einen eigenen Parameter t haben.
b) Berechnen mit dieser Parametrisierung explizit folgende Integrale:
[mm] I=\integral_{a}^{d}{exp(z) dz} [/mm] (roter Weg)
[mm] I=\integral_{a}^{d}{exp(z) dz} [/mm] (blauer Weg)
c)
Stimmen die Lösungen in b überein mit dem was mit Cauchy zu erwarten wäre? |
Hallo :)
Ich habe mal mit der Parametrisierung angefangen, bin leider stecken geblieben...
a=1+3i
b=1
c=3
d=3+i
[mm] a=\vektor{t \\ 0 \\ 0}+3i*\vektor{0 \\ s \\ 0}
[/mm]
[mm] b=\vektor{t \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] c=3*\vektor{t \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] d=3*\vektor{t \\ 0 \\ 0}+i*\vektor{0 \\ s \\ 0}
[/mm]
jetzt wollte ich die Strecken einzeln bestimmen, aber ich glaube da passiert mir schon ein Fehler...
[mm] \overline{AB}=-3i*\vektor{0 \\ s \\ 0}
[/mm]
[mm] \overline{BC}=2*\vektor{t \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \overline{CD}=-i*\vektor{0 \\ s \\ 0}
[/mm]
[mm] \overline{DA}=2*\vektor{t \\ 0 \\ 0}-2i*\vektor{0 \\ s \\ 0}
[/mm]
Kann ich diese Strecken nun addieren und dann davon das Integral berechnen?
Und wie komme ich auf den viertel Kreis?
Vielen lieben Dank für eure Hilfe und einen schönen 1. Advent wünsch ich euch :)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Alaizabel,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> a)
> Berechne die Parametrisierung von dem Pfad aus der Figur:
> von (1) a nach b, (2) nach c, (3) nach d (4) und mit einem
> viertel Kreis nach a. Jedes Stük kann einen eigenen
> Parameter t haben.
>
> b) Berechnen mit dieser Parametrisierung explizit folgende
> Integrale:
>
> [mm]I=\integral_{a}^{d}{exp(z) dz}[/mm] (roter Weg)
> [mm]I=\integral_{a}^{d}{exp(z) dz}[/mm] (blauer Weg)
>
> c)
> Stimmen die Lösungen in b überein mit dem was mit Cauchy
> zu erwarten wäre?
> Hallo :)
>
> Ich habe mal mit der Parametrisierung angefangen, bin
> leider stecken geblieben...
>
> a=1+3i
> b=1
> c=3
> d=3+i
>
> [mm]a=\vektor{t \\ 0 \\ 0}+3i*\vektor{0 \\ s \\ 0}[/mm]
> [mm]b=\vektor{t \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]c=3*\vektor{t \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]d=3*\vektor{t \\ 0 \\ 0}+i*\vektor{0 \\ s \\ 0}[/mm]
>
> jetzt wollte ich die Strecken einzeln bestimmen, aber ich
> glaube da passiert mir schon ein Fehler...
>
> [mm]\overline{AB}=-3i*\vektor{0 \\ s \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\overline{BC}=2*\vektor{t \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\overline{CD}=-i*\vektor{0 \\ s \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\overline{DA}=2*\vektor{t \\ 0 \\ 0}-2i*\vektor{0 \\ s \\ 0}[/mm]
Hier bringts Du etwas durcheinander.
a,b,c,d sind Zahlen in der komplexen Ebene.
Für den Weg von a nach b lautet dann die Parametrisierung:
[mm]a\to b: 1+i*3 \to 1[/mm]
[mm]\Rightarrow \gamma_{1}\left(t\right)=1+i*3-i*3*t, \ 0 \le t \le 1[/mm]
>
> Kann ich diese Strecken nun addieren und dann davon das
> Integral berechnen?
> Und wie komme ich auf den viertel Kreis?
Wie ein Kreis parametrisiert wird, ist ja bekannt.
>
> Vielen lieben Dank für eure Hilfe und einen schönen 1.
> Advent wünsch ich euch :)
Gruss
MathePower
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Danke für Deine Hilfe :)
[mm] \gamma_{1}\left(t\right)=1+i\cdot{}3-i\cdot{}3\cdot{}t, [/mm] \ 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1
[mm] \gamma_{2}=1+2t
[/mm]
[mm] \gamma_{3}=3+it
[/mm]
[mm] \gamma_{4}=3+i-(2+2i)*t
[/mm]
ist das richtig?
für den Viertelkreis habe ich dann: [mm] \vektor{r*\cos t \\ r*\sin t}*\bruch{1}{4}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke für Deine Hilfe :)
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> [mm]\gamma_{1}\left(t\right)=1+i\cdot{}3-i\cdot{}3\cdot{}t,[/mm] \ 0
> [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 1
>
> [mm]\gamma_{2}=1+2t[/mm]
O.K. ebenfalls 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1
>
> [mm]\gamma_{3}=3+it[/mm]
O.K. ebenfalls 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1
>
> [mm]\gamma_{4}=3+i-(2+2i)*t[/mm]
Wo kommt das denn her ??
>
> ist das richtig?
>
> für den Viertelkreis habe ich dann: [mm]\vektor{r*\cos t \\ r*\sin t}*\bruch{1}{4}[/mm]
Das ist Unsinn ! der Viertelkreis hat den Mittelpunkt $1+i$ und den radius 2,
also t [mm] \to [/mm] $(1+i) [mm] +2e^{it}, [/mm] $ t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi/2]
[/mm]
FRED
>
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Hallo, vielen Dank für Deine Hilfe :)
ja [mm] \gamma_{4} [/mm] ist unsinn, da bin ich mit dem Kreis durcheinander gekommen...
Entschuldigung dafür.
Ich überlege nun wie das erste Integral auszusehen hat.
[mm] \integral_{a}^{d}{exp(z) dz}=\integral_{1+3i}^{3+i}{f(x) dx}
[/mm]
das kann man bestimmt nicht so einfach machen oder?
Vielen Dank für Eure Hilfe :)
Liebe Grüße
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Hallo Alaizabel,
> Hallo, vielen Dank für Deine Hilfe :)
>
> ja [mm]\gamma_{4}[/mm] ist unsinn, da bin ich mit dem Kreis
> durcheinander gekommen...
> Entschuldigung dafür.
>
> Ich überlege nun wie das erste Integral auszusehen hat.
>
> [mm]\integral_{a}^{d}{exp(z) dz}=\integral_{1+3i}^{3+i}{f(x) dx}[/mm]
>
> das kann man bestimmt nicht so einfach machen oder?
Nun z ist eine der Kurven [mm]\gamma_{j}, \ j=1,2,3[/mm]
[mm]z=\gamma_{j}\left(t}\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow dz = \dot{\gamma_{j}}\left(t}\right) \ dt[/mm]
Damit wird
[mm]\integral_{a}^{d}{exp(z) \ dz}=\summe_{j=1}^{3}\integral_{\gamma_{j}}^{}{exp(z) \ dz}=\summe_{j=1}^{3}{\integral_{0}^{1}{exp( \ \gamma_{j}\left(t\right) \ ) \ \dot{\gamma_{j}}\left(t}\right) \ dt}[/mm]
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe :)
>
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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Vielen Dank für Deine Hilfe :)
ich habe nun:
1: [mm] e-\cos 3*e-\sin [/mm] 3*e*i
2: [mm] (e^2-1)*e
[/mm]
3: [mm] e*\cos 1-e+e*\sin [/mm] 1*i
stimmt das so?
bei dem zweiten Integral habe ich -13,54-16,52*i
kann das sein?
Vielen Dank für die tolle Hilfe :)
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Hallo Alaizabel,
>
> Vielen Dank für Deine Hilfe :)
>
> ich habe nun:
>
> 1: [mm]e-\cos 3*e-\sin[/mm] 3*e*i
> 2: [mm](e^2-1)*e[/mm]
> 3: [mm]e*\cos 1-e+e*\sin[/mm] 1*i
Bei 3 muss es doch heissen:
[mm]e^{\red{3}}*\cos\left(1\right)-e^{\red{3}}+e^{\red{3}}*\sin\left(1\right)*i[/mm]
>
> stimmt das so?
>
> bei dem zweiten Integral habe ich -13,54-16,52*i
>
> kann das sein?
Das ist sogar so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Vielen Dank für die tolle Hilfe :)
Gruss
MathePower
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