Parametrisierung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Mo 14.06.2010 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | Auf der Peripherie eines Fahrradreifens (Radius 1) wird ein leuchtender Punkt angebracht.Wenn das Rad abgerollt wird, beschreibt der Punkt eine spezielle Kurve [mm] \gamma.
[/mm]
i) Man skizziere die Kurve [mm] \gamma [/mm] (in der Ebene).
ii) Man parametrisiere die Kurve [mm] \gamma [/mm] und berechne ihre Länge (einer einzigen Periode). |
i)
[Dateianhang nicht öffentlich]
ii)
ich habe die Parametrisierung [mm] \vec\gamma(t)=\vektor{t \\ 2sin(t/2)} [/mm] gewählt, wobei t [mm] \in [0,2\pi]. [/mm] Falls meine Parametrisierung richtig sein sollte, hätte ich ein Problem mit der Längeberechnung.
L= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{|\dot\vec \gamma(t)| dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{|\vektor{1 \\ cos(t/2)}| dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1+cos^2(t/2)} dt}
[/mm]
wenn ich [mm] cos^2(t/2)=0,5*(1+cos(t)) [/mm] mache, wüsste ich leider auch nicht genau, wie man [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1,5+0,5*cos(t)} dt} [/mm] löst.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:28 Di 15.06.2010 | | Autor: | johnyan |
ok, danke schon mal für die bestätigung, dass die parametrisierung richtig ist. mit der parametrisierung von wikipedia ist es auch nicht besser, da bekommt man ein ähnliches integral.
elliptisches integral hatten wir noch nicht, deshalb denke ich nicht, dass man es jetzt benutzen muss, weiß vielleicht jemand einen anderen weg, die länge zu berechnen?
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 18:53 Di 15.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Parametrisierung ist ne sin-Kurve, keine Zykloide.
die dargestellte Kurve ist auch keine Zykloide,
Gruss leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:18 Di 15.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ii)
> ich habe die Parametrisierung [mm]\vec\gamma(t)=\vektor{t \\ 2sin(t/2)}[/mm]
Wie kommst du dadrauf? Ich bezweifle dass dies wirklich stimmt.
> gewählt, wobei t [mm]\in [0,2\pi].[/mm] Falls meine
> Parametrisierung richtig sein sollte, hätte ich ein
> Problem mit der Längeberechnung.
Laut ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia ist die Laenge 8. Das entspricht nicht dem Integral, welches du aufgestellt hast.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Di 15.06.2010 | | Autor: | johnyan |
danke für den tipp, also wenn ich die parametrisierung von wikipedia nehme, dass klappt ja alles, und eine Länge ist dann 8.
aber meine frage ist nun, weiß jemand, wie man auf die parametrisierung kommt? oder auch wie man generell die parametrisierung bestimmt, denn es scheint mir so zu sein, dass man das durch "hingucken" machen muss. gibts keine einheitlichen vorgehensweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Di 15.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du nimmst die Bewegung des Mittelpunktes. M(t)= (v*t,r) dazu addierst du die Kreisbewegung. um M (rcos(wt),rsin(wt))
jetzt nur noch v und w so angleichen, dass der Kreis rollt, und nicht durchdreht oder rutscht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:05 Di 15.06.2010 | | Autor: | statler |
Hi,
deine Skizze ist falsch, weil die Zykloide in den Nullstellen eine senkrechte Tangente hat. Damit ist auch deine Parametrisierung falsch, denn aus ihr folgen die Steigungen 1 und -1 für t = 0 und t = 2pi.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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