Parametrisierung Kugel < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mo 29.08.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Parametrisierung einer Kugel:
Halbkugel, Viertelkugel.. |
Wenn ich eine Kugel parametrisiere erhalte ich ja:
x = r * [mm] sin(\phi) [/mm] * [mm] cos(\theta)
[/mm]
y= r * [mm] sin(\phi) [/mm] * [mm] sin(\theta)
[/mm]
z = r * [mm] cos(\phi)
[/mm]
Mir geht es nun um die Integrationsgrenzen:
radius ist klar..
Bei einer Kugel hab ich ja:
[mm] \phi [0,\pi]
[/mm]
[mm] \theta [/mm] [0,2 [mm] \pi]
[/mm]
bei einer Halbkugel:
[mm] \phi [0,\bruch{\pi}{2}]
[/mm]
[mm] \theta [/mm] [0,2 [mm] \pi]
[/mm]
Wie wäre es bei einer Viertelkugel? Ich habe noch nicht ganz begriffen wie die [mm] \phi [/mm] und [mm] \theta [/mm] verlaufen.
Wäre super wenn mir das jemand verdeutlichen könnte?
Vielen Dank und schönen Abend noch
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Hallo zocca21,
> Parametrisierung einer Kugel:
> Halbkugel, Viertelkugel..
> Wenn ich eine Kugel parametrisiere erhalte ich ja:
>
> x = r * [mm]sin(\phi)[/mm] * [mm]cos(\theta)[/mm]
> y= r * [mm]sin(\phi)[/mm] * [mm]sin(\theta)[/mm]
> z = r * [mm]cos(\phi)[/mm]
>
> Mir geht es nun um die Integrationsgrenzen:
>
> radius ist klar..
>
> Bei einer Kugel hab ich ja:
>
> [mm]\phi [0,\pi][/mm]
> [mm]\theta[/mm] [0,2 [mm]\pi][/mm]
Hier sind [mm]x,y,z \in \IR[/mm]
>
> bei einer Halbkugel:
>
> [mm]\phi [0,\bruch{\pi}{2}][/mm]
> [mm]\theta[/mm] [0,2 [mm]\pi][/mm]
Hier ist nach wie vor [mm]x,y \in \IR[/mm]
Für z gilt hingegen: [mm] z \ge 0[/mm]
Das siehst Du am Winkel [mm]\phi[/mm]
>
> Wie wäre es bei einer Viertelkugel? Ich habe noch nicht
Wenn ich von vorherigem ausgehe, dann gilt
für die Halbkugel z.B.
[mm]\phi \in [0,\bruch{\pi}{2}][/mm]
[mm]\theta \in [0,\pi][/mm]
> ganz begriffen wie die [mm]\phi[/mm] und [mm]\theta[/mm] verlaufen.
>
> Wäre super wenn mir das jemand verdeutlichen könnte?
>
> Vielen Dank und schönen Abend noch
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Sa 03.09.2011 | | Autor: | zocca21 |
Du meintest bei deiner letzten Parametrisierung dann gilt für die Viertelkugel oder?
Kann man auch beim Fluss z.B. die Kugel als ganze berechnen und dann um auf den Fluss durch die Viertelkugel zu kommen durch 4 teilen oder.
Es müsste ja überall gleichfließen.
Ich berechne gerade eine Aufgabe, da ist der Fluss durch ein Viertelkugel gefragt.
Also [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 \le [/mm] 1 und x,y,z [mm] \ge [/mm] 0. Das müsste ja ein Viertel einer Kugel sein.
Die Divergenz ist 3.
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{1} [/mm] 3 [mm] r^2 sin(\phi) [/mm] dr [mm] d\theta d\phi
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \integral_{0}^{\pi} sin(\phi) d\theta d\phi
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \pi sin(\phi) d\phi
[/mm]
= [ - [mm] \pi cos(\phi) [/mm] ] von 0 bis [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und erhalte [mm] \pi
[/mm]
Da ich auch, wenn ich über eine ganze Kugel rechne und dann durch 4 teile auch auf [mm] \pi [/mm] komme ist meine Vermutung von oben wohl richtig, jedoch sollte hier [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] rauskommen...Nun frag ich mich natürlich was ich nicht beachtet habe?
Viele Grüße und Vielen lieben Dank
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Hallo zooca21,
> Du meintest bei deiner letzten Parametrisierung dann gilt
> für die Viertelkugel oder?
>
>
> Kann man auch beim Fluss z.B. die Kugel als ganze berechnen
> und dann um auf den Fluss durch die Viertelkugel zu kommen
> durch 4 teilen oder.
> Es müsste ja überall gleichfließen.
>
> Ich berechne gerade eine Aufgabe, da ist der Fluss durch
> ein Viertelkugel gefragt.
>
> Also [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2 \le[/mm] 1 und x,y,z [mm]\ge[/mm] 0. Das müsste ja
> ein Viertel einer Kugel sein.
>
> Die Divergenz ist 3.
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{1}[/mm]
> 3 [mm]r^2 sin(\phi)[/mm] dr [mm]d\theta d\phi[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \integral_{0}^{\pi} sin(\phi) d\theta d\phi[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \pi sin(\phi) d\phi[/mm]
>
> = [ - [mm]\pi cos(\phi)[/mm] ] von 0 bis [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] und erhalte
> [mm]\pi[/mm]
>
> Da ich auch, wenn ich über eine ganze Kugel rechne und
> dann durch 4 teile auch auf [mm]\pi[/mm] komme ist meine Vermutung
> von oben wohl richtig, jedoch sollte hier [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> rauskommen...Nun frag ich mich natürlich was ich nicht
> beachtet habe?
>
Die obere Grenze des mittleren Integrals muss ebenfalls [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] lauten.
>
>
> Viele Grüße und Vielen lieben Dank
Gruss
MathePower
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Eine Kugel kann man auf verschieden(st)e Arten in
Viertel-Kugeln aufteilen ...
LG
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