Parametrisierung auf Bogenläng < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben ist die Kurve f:[0,2] [mm] \to \IR^3 [/mm] mit [mm] f(t)=(t,t^2,t^3). [/mm] Geben sie im Punkt (1,1,1) ein orthogonales Dreibein an, das aus dem Tangentialeinheitsvektor, dem Hauptnormalenvektor und einem dritten Vektor besteht. |
Hallo liebe Leute!
Große Probleme mit dieser Aufgabe bzw eher mit der sogenannten Parametrisierung auf Bogenlänge. Ich weiß dass ich diese auch in dieser Aufgabe brauche.
Leider kann ich aus meinem Skript sowie aus meiner Literatur keine logischen Schlüsse ziehen wie ich bei der Parametrisierung auf Bogenlänge vorzugehen habe...
Hoffe jemand von euch kann mich da aufklären??
Wie ich dann die zu ermittelnden Vektoren berechne weiß ich. der knackpunkt ist diese verdammte Parametrisierung!!
Vielen Dank schon mal im voraus & viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Sa 14.04.2007 | | Autor: | nsche |
Das begleitende Dreibein kriegst du auch ohne Parametrisierung nach der Bogenlänge
vG
Norbert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 So 15.04.2007 | | Autor: | Creep |
Btw. wie funktioniert das mit der Umparametrisierung nach der Weglänge überhaupt?
Weiss: [mm] s(t):=\integral_{a}^{b}{||f(t)'|| dt}
[/mm]
und dann f(s^-1(t)) aber welche Grenzen wählt man beim Integral?
Zudem kann man doch nicht immer sooo simpel die Kehrfunktion bilden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 So 15.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du rechnest einfach s(t) aus, so dass du dann kein Integral mehr drin hast. Dann Umkehrfunktion bestimmen und in f einsetzten. Fertig!
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 So 15.04.2007 | | Autor: | nsche |
> du rechnest einfach s(t) aus, so dass du dann kein Integral
> mehr drin hast.
kann du das bitte mal vorrechnen?
vG
Norbert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 So 15.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ich sehe gerade, dass du die falsche Definition für s(t) benutzt hast, die richtige ist in meinem Vorgerechnetem.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 So 15.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also zuerst berechnen wir die Ableitung:
f'(t)=(1,2t,3t²)
[mm] \parallel f'(t)\parallel=\wurzel(1+4t²+9t^{4})
[/mm]
Das müsste man jetzt integrieren. Du siehst schon, dass das hier sehr schwer ist und auch nicht nötig ist zur Lösung der Aufgabe. Ich rechne daher ein Beispiel.
Zum Beispiel:Kreis nach Bogenlänge parameterisieren.
Also:
f(a)=r(cos a,sin a) r>0 Radius, a Winkel
f'(a)=r(-sin a,cos a)
[mm] \parallel f'(a)\parallel=r*\wurzel((-sina)²+cos²a)=r
[/mm]
Wir führen Bogenlängenparameter ein durch:
[mm] s(a)=\integral_{0}^{t}{r da}=ra
[/mm]
Umkehrfunktion:a(s)=s(a)/r=s/r
Also:a=s/r
Und:f(a)=f(s/r)=r(cos s/r,sin s/r)
Du musst nur deinen Parameter durch die Bogenlänge ausdrücken. Bei deinem Beispiel hätte das genauso gegangen, wäre nur sehr kompliziert.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Was Hund sagt, ist theoretisch richtig, aber praktisch nicht durchführbar.
Gehen wir von einer genügend oft stetig differenzierbaren Parameterdarstellung
[mm]x = f(t) \, , \ \ t \in [a,b][/mm]
der Kurve aus. Die Bogenlänge vom Parameterwert [mm]a[/mm] bis zum Parameterwert [mm]t \in [a,b][/mm] ist dann
[mm]s = \varphi(t) = \int_a^t~\left| \dot{f}(\tau) \right|~\mathrm{d} \tau \, , \ \ t \in [a,b][/mm]
Ich unterscheide hier bewußt zwischen der Funktion [mm]\varphi[/mm] und der abhängigen Variablen [mm]s[/mm], die man mittels [mm]\varphi[/mm] aus [mm]t[/mm] erhält. Wenn [mm]L[/mm] die Bogenlänge der gesamten Kurve ist, so bildet [mm]\varphi[/mm] das Intervall [mm][a,b][/mm] eineindeutig auf das Intervall [mm][0,L][/mm] ab. Es existiert also die Umkehrabbildung [mm]\varphi^{-1}[/mm]:
[mm]t = \varphi^{-1}(s) \, , \ \ s \in [0,L][/mm]
Und die Parametrisierung der Kurve durch die Bogenlänge ist dann die Funktion [mm]g = f \circ \varphi^{-1}[/mm]:
[mm]x = g(s) = f \left( \varphi^{-1}(s) \right)[/mm]
Im Folgenden bezeichne ich Ableitungen nach [mm]t[/mm] mit einem Punkt, solche nach [mm]s[/mm] mit einem Strich. Der Tangenteneinheitsvektor ist nun laut Kettenregel und Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion
[mm]g'(s) = \dot{f} \left( \varphi^{-1}(s) \right) \cdot \left( \varphi^{-1} \right)'(s) = \dot{f} \left( \varphi^{-1}(s) \right) \cdot \frac{1}{\dot{\varphi} \left( \varphi^{-1}(s) \right)}[/mm]
Wenn man wieder [mm]\varphi^{-1}(s) = t[/mm] schreibt, sieht das einfacher aus:
[mm]g'(s) = \frac{\dot{f}(t)}{\dot{\varphi}(t)}[/mm]
Beachte, daß hier links [mm]s[/mm] und rechts [mm]t[/mm] steht: der Zusammenhang beider Größen wird durch [mm]s = \varphi(t)[/mm] beschrieben. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist aber
[mm]\dot{\varphi}(t) = \left| \dot{f}(t) \right|[/mm]
so daß sich die Formel letztlich so schreibt:
[mm]g'(s) = \frac{\dot{f}(t)}{\left| \dot{f}(t) \right|}[/mm]
Ferner brauchst du [mm]g''(s)[/mm]. Wieder mit den obigen Ableitungsregeln und zusätzlich der Produktregel folgt
[mm]g''(s) = \ddot{f} \left( \varphi^{-1}(s) \right) \cdot \left( \varphi^{-1} \right)'(s) \cdot \left( \varphi^{-1} \right)'(s) + \dot{f} \left( \varphi^{-1}(s) \right) \cdot \left( \varphi^{-1} \right)''(s)[/mm]
Oben hatten wir schon die Umrechnung von [mm]\varphi^{-1}(s)[/mm] und [mm]\left( \varphi^{-1} \right)'(s)[/mm]. Jetzt brauchen wir noch
[mm]\left( \varphi^{-1} \right)''(s) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \left( \frac{1}{\dot{\varphi} \left( \varphi^{-1}(s) \right)} \right) = - \frac{1}{\left[ \dot{\varphi} \left( \varphi^{-1}(s) \right) \right]^2} \cdot \ddot{\varphi} \left( \varphi^{-1}(s) \right) \cdot \frac{1}{\dot{\varphi} \left( \varphi^{-1}(s) \right)}[/mm]
[mm]= - \frac{\ddot{\varphi} \left( \varphi^{-1}(s) \right)}{\left[ \dot{\varphi} \left( \varphi^{-1}(s) \right) \right]^3}[/mm]
Oben bei [mm]g''(s)[/mm] eingesetzt, gibt das
[mm]g''(s) = \frac{\ddot{f}(t)}{\left[ \dot{\varphi}(t) \right]^2} - \frac{\dot{f}(t) \cdot \ddot{\varphi}(t)}{\left[ \dot{\varphi}(t) \right]^3} = \frac{\ddot{f}(t) \cdot \dot{\varphi}(t) - \dot{f}(t) \cdot \ddot{\varphi}(t)}{\left[ \dot{\varphi}(t) \right]^3}[/mm]
Und auch das kann man wieder ganz auf [mm]f[/mm] zurückspielen. Wir hatten schon
[mm]\dot{\varphi}(t) = \left| \dot{f}(t) \right|[/mm]
und leiten noch einmal ab:
[mm]\ddot{\varphi}(t) = \frac{\dot{f}(t) \cdot \ddot{f}(t)}{\left| \dot{f}(t) \right|}[/mm]
Der Malpunkt im Zähler bezeichnet hier das Standardskalarprodukt von Vektoren.
Und jetzt alles zusammen:
[mm]g''(s) = \frac{\ddot{f}(t) \cdot \left| \dot{f}(t) \right|^2 - \dot{f}(t) \cdot \left( \dot{f}(t) \cdot \ddot{f}(t) \right)}{\left| \dot{f}(t) \right|^4}[/mm]
[mm]= \frac{\ddot{f}(t) \cdot \left( \dot{f}(t) \cdot \dot{f}(t) \right) - \dot{f}(t) \cdot \left( \dot{f}(t) \cdot \ddot{f}(t) \right)}{\left( \dot{f}(t) \cdot \dot{f}(t) \right)^2}[/mm]
Die Klammern können hier nicht aufgelöst werden, da sie Skalarprodukte zusammenhalten.
Jetzt hoffe ich nur, daß bei dem ganzen Formelkram nicht noch ein dicker Hund dabei ist. Wenn alles stimmt, kannst du in die Formeln [mm]t=1[/mm] einsetzen. Und irgendwie habe ich das Gefühl, daß das alles viel einfacher gehen muß. Ich bin aber leider kein Experte für Differentialgeometrie.
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