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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mi 13.07.2016 | | Autor: | amd-andy |
Hallo Experten,
wie kann ich mir erklären, wie wir die Grenzen bei der zweiten Parametrisierung in der folgenden Aufgabe verändern?
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x*sin(\pi*x^2)}{\wurzel{1-(cos(\pi*x^2))^2}} dx}=
[/mm]
Substitution von [mm] cos(\pi*x^2)
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2*\pi}\integral_{0}^{1}{\bruch{u'}{\wurzel{1-u^2}} du}
[/mm]
bis dahin alles klar soweit und nun kommt:
[mm] -\bruch{1}{2*\pi}\integral_{1}^{-1}{\bruch{dt}{\wurzel{1-t^2}}*t}
[/mm]
Diese Stelle macht mir Probleme! Warum ändere ich die Grenzen zu 1 bis -1? Warum in dieser Reihenfolge? und was passiert mit dem "t" am Ende?
Es geht wie folgt weiter (was ich auch wieder nachvollziehen kann):
[mm] -\bruch{1}{\pi}(arcsin(1)-arcsin(1)=-\bruch{1}{\pi}(-\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2})=\bruch{1}{2}
[/mm]
Danke für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Mi 13.07.2016 | | Autor: | amd-andy |
unten muss es natürlich heißen:
$ [mm] -\bruch{1}{2*\pi}(arcsin(-1)-arcsin(1)=-\bruch{1}{2*\pi}(-\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2})=\bruch{1}{2} [/mm] $
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Mi 13.07.2016 | | Autor: | chrisno |
> Hallo Experten,
>
> wie kann ich mir erklären, wie wir die Grenzen bei der
> zweiten Parametrisierung in der folgenden Aufgabe
> verändern?
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x*sin(\pi*x^2)}{\wurzel{1-(cos(\pi*x^2))^2}} dx}=[/mm]
>
> Substitution von [mm]cos(\pi*x^2)[/mm]
Ordentliches Aufschreiben hilft:
Substitution [mm]\cos(\pi*x^2) = u[/mm]
Damit [mm] $\br{du}{dx}=-2*\pi*x*\sin(\pi*x^2)$
[/mm]
[mm] Umgeformt:$dx=\br{du}{2*\pi*x*\sin(\pi*x^2)}$
[/mm]
unter dem Integral eingesetzt: [mm]\integral {\bruch{x*sin(\pi*x^2)}{\wurzel{1-u^2}}\br{-du}{2*\pi*x*\sin(\pi*x^2)} }[/mm]
aufgeräumt:[mm]-\br{1}{2\pi} \integral \br{1}{\wurzel{1-u^2}}du[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{2*\pi}\integral_{0}^{1}{\bruch{u'}{\wurzel{1-u^2}} du}[/mm]
>
> bis dahin alles klar soweit und nun kommt:
Das soweit alle klar ist, zweifle ich an. Was soll das $u'$?
>
> [mm]-\bruch{1}{2*\pi}\integral_{1}^{-1}{\bruch{dt}{\wurzel{1-t^2}}*t}[/mm]
>
> Diese Stelle macht mir Probleme! Warum ändere ich die
> Grenzen zu 1 bis -1?
kommt weiter unten
> Warum in dieser Reihenfolge? und was
> passiert mit dem "t" am Ende?
Was soll der Unsinn? Du kannst die Integrationsvariable umbenennen, warum nennst Du sie nicht direkt t, sondern erst einmal u? Hinter das t am Ende setzt Du den Cursor und dann drückst Du einmal Backspace. Dann ist es weg und die Umformung gelungen (nicht aus dem falschen vorigen)
Bei der Substitution werden auch die Grenzen geändert. Beim unbestimmten Integral fällt das nicht auf, wenn man am Ende zurücksubstituiert auch nicht.
In der Regel aber musst Du die Grenzen a und b durch u(a) und u(b) ersetzen. In diesem Fall wird die untere Grenze 0 durch [mm] $\cos(\pi*0^2)=1$ [/mm] und die obere Grenze 1 durch [mm] $\cos(\pi*1^2)=-1$
[/mm]
ersetzt.
> Es geht wie folgt weiter (was ich auch wieder
> nachvollziehen kann):
>
> [mm]-\bruch{1}{\pi}(arcsin(1)-arcsin(1)=-\bruch{1}{\pi}(-\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2})=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Danke für eure Hilfe!
Bitteschön
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Mi 13.07.2016 | | Autor: | amd-andy |
Hallo Chrisno,
du hast natürlich vollkommen recht - sauberes Aufschreiben hilft. Dann hätte ich auch bemerkt, dass es nicht u' heißen muss sondern 1.
Ich schwöre aber, es steht so in meiner Musterlösung der Prüfung (sowohl das u' als auch das t am Ende), doch auch unsere Profs sind nicht perfekt.
Das mit den Grenzen habe ich jetzt hoffentlich verstanden! Danke dafür!
Andy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Mi 13.07.2016 | | Autor: | chrisno |
Schreib es richtig auf und bring es dem Professor. Die meisten bedanken sich für die Korrektur.
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