Part.DGL < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Do 05.03.2009 | | Autor: | Boki87 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich habe die obrige part.DGL. und weiß auch wie man part.DGL. löst. Nur was beideutet das [mm] \Delta [/mm] da vorne. Hat es eine Bedeutung und wenn ja welche und wie berechne ich dann die part.DGL.?
Vielen Dank
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Do 05.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das [mm] \Delta [/mm] ist genau mit dem = dahinter erklaert. es ist ne uebliche abgekuerzte schreibweise, wenn u noch von z und w abhinge kaemen die 2 ten ableitungen danach auch noch dazu.
vielleicht kennst du das auch unter dem Zeichen [mm] \Delta=div(grad)=\nabla^2
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Do 05.03.2009 | | Autor: | Boki87 |
Hallo
Also ist $ [mm] \Delta [/mm] u(x,y) $ nur eine andere Schreibweise für [mm] \partial_{xx}u(x,y)+\partial_{yy}u(x,y) [/mm] und ich kann die part.Dgl. wie üblich mit dem Separationsansatz lösen?
Gruß
Boki87
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Do 05.03.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
zunächst hast Du das rechteckige zweidimensionale Gebiet [mm] $\Omega=[0,1]\times[0,1]\subset\IR^2$ [/mm] vorliegen und es ist [mm] $(x,y)\in\Omega$, [/mm] d.h. [mm] $x\in[0,1]$ [/mm] und [mm] $y\in[0,1]$. [/mm] Dein Gebiet ist ausßerdem konvex polygonal mit Lipschitz-Rand. Betrachten wir Deine Aufgabe
(1): [mm] $\triangle u(x,y)=\partial_{xx} u(x,y)+\partial_{yy} [/mm] u(x,y)=0$, für [mm] $(x,y)\in\Omega$
[/mm]
(2): $u(0,y)=u(1,y)=u(x,0)=0$ und $u(x,1)=x(1-x)$, für [mm] $(x,y)\in\partial\Omega$
[/mm]
(1) heißt Laplace-Gleichung und (2) sind die zugehörigen Randbedingungen. Insgesamt hast Du also ein Randwertproblem vorliegen. In diesem Zusammenhang bezeichnet man [mm] $\triangle$ [/mm] als den Laplace-Operator, bei dem die Lösung in jede Raumrichtung zweimal differenziert (daher [mm] $\partial_{xx}$ [/mm] und [mm] $\partial_{yy}$) [/mm] und anschließend aufaddiert werden. [mm] $\partial\Omega$ [/mm] bezeichnet überings den Rand des Gebiets.
Wegen der Lösung bin ich mir nicht mehr ganz sicher, aber siehe mal hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.physnet.uni-hamburg.de/hp/pfannkuche/E-Dynamik_04/vorlesungen/vorlesung10.pdf
Gruß
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