Partialbr.zerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimme eine Partialbr.zerlegung von
[mm] f(x)=9\bruch{3x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-4x+5}{x^{3}-3x-2}
[/mm]
sowie Grenzverhalten und poly. Asymptote |
Hi,
also erstes habe ich mal die 9 ausmultipliziert, was dann zu folgendem führt:
[mm] f(x)=\bruch{27x^{4}-18x^{3}+45x^{2}-36x+45}{x^{3}-3x-2}
[/mm]
da für eine Partialbr.zerlegung der exponent "oben" kleiner sein muss als unten, eine Polynomdivision, dabei komme ich dann auf:
27x-18 Rest [mm] 36x^{2}-36x+81
[/mm]
Jetzt bin ich mir nicht mehr sicher, wie ich mit dem Rest weiterrechne, bzw. wie ich diesen gegebenenfalls in obige Gleichung wieder einsetzen muss....
Besten Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
erstens einmal muss dir bei der Polynomdivision ein Rechenfehler unterlaufen sein: der Rest ist m.A. nach falsch. Dann: weshalb schleifst du die 9 durch deine Rechnung, lasse sie doch außen vor, das macht die Zahlen kleiner und hilft dabei, Rechenfehler zu vermeiden.
Weiter geht es so: der Bruch
[mm] \frac{Rest}{x^3-3x-2}
[/mm]
muss nun in Partialbrüche zuerlegt werden. Hierzu musst du ja zunächst einmal den Nenner faktorisieren. Er ist zwar von dritter Ordnung, aber einen Linearfaktor erkennt man nach zweimaligem Hinsehen sofort. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hi,
mit Polynomdivision war ich mir auch nicht mehr so sicher, aber hab das jetzt hier auch nochmal ohne die 9 gemacht:
[mm] (3x^{4} [/mm] - [mm] 2x^{3} [/mm] + [mm] 5x^{2} [/mm] - 4x + 5) : [mm] (-x^{3} [/mm] - 3x - 2) =
[mm] 3x^{4} [/mm] + [mm] 9x^{2} [/mm] + 6x
——————————————————————————————————————
- [mm] 2x^{3} [/mm] - [mm] 4x^{2} [/mm] - 10x + 5
- [mm] 2x^{3} [/mm] - 6x - 4
————————————————————————————————————
- [mm] 4x^{2} [/mm] - 4x + 9
Ergebnis: -3x + 2 Rest [mm] -4x^{2} [/mm] - 4x + 9
Wenn ich dass dann einsetze:
9 [mm] \bruch{-4x^2 - 4x + 9 }{x^{3} - 3x - 2}
[/mm]
dann hätte ich vllt. ausgeklammert:
9 [mm] \bruch{-4x^2 - 4x + 9 }{-x(x^{2}+3)-2}
[/mm]
Allerdings würden ab hier auch die Nullstellen, keinen Sinn mehr ergeben, evtl. doch die Polydiv. falsch? Jmd. evtl. eine Korrektur?
|
|
|
| |
|
Hallo BlackMath,
ob Deine Polynomdivision richtig ist oder nicht, hat auf die Nullstellen des (ja unveränderten!) Nenners doch gar keinen Einfluss.
> Hi,
> mit Polynomdivision war ich mir auch nicht mehr so sicher,
> aber hab das jetzt hier auch nochmal ohne die 9 gemacht:
>
> [mm](3x^{4}[/mm] - [mm]2x^{3}[/mm] + [mm]5x^{2}[/mm] - 4x + 5) : [mm](-x^{3}[/mm] - 3x -
> 2) =
Wo kommt das [mm] -x^3 [/mm] im Divisor her? In der Aufgabe stand doch [mm] +x^3.
[/mm]
> [mm]3x^{4}[/mm] + [mm]9x^{2}[/mm] + 6x
> ——————————————————————————————————————
> - [mm]2x^{3}[/mm] - [mm]4x^{2}[/mm] - 10x + 5
> - [mm]2x^{3}[/mm] - 6x - 4
>
> ————————————————————————————————————
> - [mm]4x^{2}[/mm] - 4x + 9
>
>
> Ergebnis: -3x + 2 Rest [mm]-4x^{2}[/mm] - 4x + 9
Das ist richtig gerechnet, wenn der Divisor eben [mm] \red{-}x^3-3x-2 [/mm] lautet. Wie gesagt, in Deinem ersten Post lautete die Aufgabe anders.
Dann wäre das Ergebnis eben auch ein anderes, nämlich 3x-2, Rest [mm] 14x^2-4x+1.
[/mm]
> Wenn ich dass dann einsetze:
>
> 9 [mm]\bruch{-4x^2 - 4x + 9 }{x^{3} - 3x - 2}[/mm]
So, jetzt mal zum Nenner und seinen Nullstellen.
> dann hätte ich vllt. ausgeklammert:
>
>
> 9 [mm]\bruch{-4x^2 - 4x + 9 }{-x(x^{2}+3)-2}[/mm]
>
> Allerdings würden ab hier auch die Nullstellen, keinen
> Sinn mehr ergeben, evtl. doch die Polydiv. falsch? Jmd.
> evtl. eine Korrektur?
Wozu ausklammern? Rationale Nullstellen müssen hier ganzzahlig sein und können nur bei den Teilern von -2 liegen: -2,-1,+1,+2. Wenn Du mal durchprobierst, findest Du gleich zwei Nullstellen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Ja bei der Polynomdivi. sollte + stehen, wollte das eben eig. noch ändern;).
Das Ergbnis wäre dann: 3x - 2 Rest [mm] 14x^{2} [/mm] - 4x + 1
9 [mm] \bruch{14x^2 - 4x + 1 }{x^{3}-3x-2} [/mm]
Die beiden Nullstellen wäre demnach -2,2
So jetzt zur Partialzerlegung:
Im Prinzip im Nenner einmal x+2 und im anderen x-2?
Aber müsste ich nicht eigentlich 3 Nullstellen haben?
|
|
|
| |
|
Hallo BlackMath,
> Ja bei der Polynomdivi. sollte + stehen, wollte das eben
> eig. noch ändern;).
>
> Das Ergbnis wäre dann: 3x - 2 Rest [mm]14x^{2}[/mm] - 4x + 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 9 [mm]\bruch{14x^2 - 4x + 1 }{x^{3}-3x-2}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die [mm]9[/mm] kannst du so einbauen:
[mm]9\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}=9+\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}=9+\left(3x-2+\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2}\right)[/mm]
[mm]=3x+7+\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2}[/mm]
Nun die PBZ für den hinteren Bruch ...
>
> Die beiden Nullstellen wäre demnach -2,2
Wieso sollte [mm]-2[/mm] eine NST sein? [mm](-2)^3-3\cdot{}(-2)-2=-8+6-2=-4\neq 0[/mm]
[mm]2[/mm] ist eine NST, die kannst du abspalten: [mm](x^3-3x-2):(x-2)=...[/mm]
Das ergibt ein quadr. Restpolynom, dessen NST(en) du ablesen kannst.
>
> So jetzt zur Partialzerlegung:
>
> Im Prinzip im Nenner einmal x+2 und im anderen x-2?
Nein!
>
> Aber müsste ich nicht eigentlich 3 Nullstellen haben?
Ja, wobei sich rausstellen wird, dass eine NST doppelt ist ...
Rechne die NSTen von [mm]x^3-3x-2[/mm] nochmal nach ...
Edit:
Falls die 9 als Faktor stehen sollte, so lasse ihn vorweg stehen und beachte nur meine Anmerkung zur PBZ des Restbruchs! --> NSTen falsch ...
Edit Ende
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 10:58 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo schachuzipus,
sollte das nicht oben [mm] 9*\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}
[/mm]
heißen?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo Diophant,
> Hallo schachuzipus,
>
> sollte das nicht oben
> [mm]9*\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}[/mm]
>
> heißen?
Tja, weiß man's ?!
Ich habe die Aufgabenstellung als gemischten Bruch aufgefasst.
So wie [mm]9 \frac{1}{2}=\frac{19}{2}[/mm] ...
Das ist doch genauso plausibel, wie einen Malpunkt anzunehmen ...
Das wird wohl nur der Aufgabensteller klären können ...
>
> Gruß, Diophant
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Mi 22.06.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo schachuzipus,
die Notation ist zugegebenermaßen uneindeutig, aber Deine Lesart ist m.E. unüblich und hier nicht gemeint.
> > 9 [mm]\bruch{14x^2 - 4x + 1 }{x^{3}-3x-2}[/mm]
>
> Die [mm]9[/mm] kannst du so einbauen:
>
> [mm]9\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}=9+\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}=9+\left(3x-2+\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2}\right)[/mm]
>
> [mm]=3x+7+\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2}[/mm]
Ich denke nicht, dass hier eine Schreibweise wie [mm] 2\tfrac{1}{3} [/mm] gemeint ist, die ja tatsächlich üblich ist für [mm] 2+\tfrac{1}{3}. [/mm] Soweit ich sehe, gilt das aber nur bei Zahlen, nämlich den sogenannten gemischt-rationalen.
Sobald Variablen im Spiel sind, sollte man durch ein Rechenzeichen klären, was gemeint ist.
Schlecht ist also die Schreibweise [mm] 3\tfrac{x}{y}, [/mm] besser die Klärung [mm] 3+\tfrac{x}{y} [/mm] oder wahrscheinlicher [mm] 3*\tfrac{x}{y}.
[/mm]
Ich nehme an, dass die 9 in der Aufgabe also tatsächlich einen Faktor darstellt.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo reverend,
da du in dieser Sache mit Diophant einer Meinung bist, habe ich meinen Artikel editiert und einen Hinweis eingebaut.
Danke!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Mi 22.06.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
![[]](/images/popup.gif) hier habe ich noch etwas zu dieser Frage gefunden. Es ist wohl schon eindeutig festgelegt, dass die gemischte Schreibweise von Brüchen nur mit Zahlen erlaubt ist, nicht aber mit Variablen oder Termen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Servus,
oh, gut zu wissen.
Dieser Kelch war bisher an mir vorübergegangen
Danke für den link ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Okay, erstmal danke.
Also ich komme dann auf:
[mm] (x^3-3x-2):(x-2)=x^{2}+2x+1
[/mm]
Das dann in die pq-Formel (bisschen übertrieben vllt. :P) ergibt: -1
Das ist ne doppelte Nullstelle demnach?
also:
[mm] \bruch{1}{q(x)}=\bruch{a}{x-2}+\bruch{b}{x+1}+\bruch{c}{(x+1)^2} [/mm] |*x-2
[mm] a+(x-2)*\bruch{b}{x+1}+\bruch{c}{(x+1)^2}
[/mm]
2 -> [mm] 3x+7+\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2} ->\bruch{49}{9}
[/mm]
Wäre das soweit richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Mi 22.06.2011 | | Autor: | BlackMath |
Okay, habe gerade die Korrektur gelesen, die Zahl wäre dann 49?
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Faktorisierung des Nenners ist richtig: es ist [mm] x_1=2 [/mm] einfache und [mm] x_{2,3}=-1 [/mm] doppelte Nullstelle.
Deine Vorgehensweise für die PBZ verstehe ich jedoch nach wie vor nicht. Es gilt doch jetzt schlicht und ergreifend, a, b und c so zu bestimmen, dass
[mm]\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{(x+1)^2}=\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2}[/mm]
gilt. Bringe dazu ersteinmal den Term auf der linken Seite auf einen gemeinsamen Nenner.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Also iwie stehe ich jetzt gerade etwas auf dem Schlauch.
[mm] \frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{(x+1)^2}=\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2} [/mm]
Also ich hätte jetzt a mit der zuhaltemethode gelöst, sprich:
[mm] \frac{a}{x-2}* (\frac{b}{x+1}+\frac{c}{(x+1)^2})=\frac{14x^2-4x+1}{(x+1)^2}
[/mm]
->49
Alternativ geht das ja auch noch mit dem Koeffizientenvgl.
Also [mm] 14x^2-4x+1=a(x+1)^2 [/mm] + b*(x+1) + c*(x-2)
Stimmt das soweit, bzw. könntest du mir mal kurz zeigen, wie du das meinst?
|
|
|
| |
|
Hallo,
was hast du denn immer mit der 49, es muss doch 42 heißen!
Spaß beiseite: ich weiß nicht, ob es an deinen noch nicht so ganz vorhandenen LaTeX-Kenntnissen liegt, aber bei mir sieht das mit dem gemeinsamen Nenner zunächst mal so aus:
[mm] \frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{(x+1)^2}=\frac{a*(x+1)^2+b*(x-2)*(x+1)+c*(x-2)}{x^3-3x-2}
[/mm]
was jetzt (durch dich) noch vereinfacht werden kann. Durch Koeffizientenvergleich bekommt man nun ein 3x3-LGS, welches die gewünschten Zähler liefert.
Das andere mit der Abschätzung, was du hier immer reinbringst, hat etwas mit dem Grenzverhalten oder auch der Wertemenge der Funktion zu tun, aber sicherlich nichts mit der PBZ!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo,
wenn ich mich nochmal einmischen darf...
Die "Zuhaltemethode" (genauer: Limes-Methode) funktioniert meist wunderbar und ist unter Ingenieuren sehr beliebt.
Hier hat schachuzipus die Methode schön erklärt.
Aber wenn man das hier anwendet, kommt doch was anderes heraus:
> [mm]\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{(x+1)^2}=\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2}[/mm]
>
> Also ich hätte jetzt a mit der zuhaltemethode gelöst,
> sprich:
>
> [mm]\frac{a}{x-2}* (\frac{b}{x+1}+\frac{c}{(x+1)^2})=\frac{14x^2-4x+1}{(x+1)^2}[/mm]
>
> ->49
Es müsste hier heißen
[mm] a+(x-2)*\left(\bruch{b}{x+1}+\bruch{c}{(x+1)^2}\right)=\bruch{14x^2-4x+1}{(x+1)^2}
[/mm]
und daraus folgt: [mm] a=\bruch{49}{\blue{9}} [/mm] - Du musst x=2 dann schon in den ganzen Ausdruck auf der rechten Seite einsetzen. Außerdem kannst Du Dir angesichts des Ergebnisses bestimmt schon mal denken, warum der Vorfaktor 9 da steht.
Allerdings ist ab hier die "Zuhaltemethode" nicht mehr so einfach, weil eine doppelte Nullstelle vorkommt.
"Sauberer" ist sowieso der Koeffizientenvergleich, der hat nämlich keine Fallen.
> Alternativ geht das ja auch noch mit dem Koeffizientenvgl.
>
> Also [mm]14x^2-4x+1=a(x+1)^2[/mm] + b*(x+1) + c*(x-2)
>
> Stimmt das soweit, bzw. könntest du mir mal kurz zeigen,
> wie du das meinst?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Mi 22.06.2011 | | Autor: | BlackMath |
Merci, schonmal.
Ich melde mich später nochmal, dann hoffentlich mit der Lösung;).
|
|
|
| |
|
Habe mir jetzt den Koeffizientenvergleich angeschaut, aber verstehen ist leider noch etwas entfernt.
[mm] \frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{(x+1)^2}=\frac{a\cdot{}(x+1)^2+b\cdot{}(x-2)\cdot{}(x+1)+c\cdot{}(x-2)}{x^3-3x-2} [/mm]
Also im Prinzip müsste das dann doch aber für a so heißen:
[mm] 14x^{2}-4x+1=a\cdot{}(x+1)^2+b\cdot{}(x-2)\cdot{}(x+1)+c\cdot{}(x-2) [/mm] ?
Und dann müsste ich ja vermutlich meine vorher berechneten Nullstellen einsetzen. Ich verstehe einfach nicht, was mit dem B und dem C währenddessen passiert. Sry die Frage ist vllt. lapidar, aber mir fällt das ganze gerade ziemlich schwer.
wenn ich dann für x=2 einsetze:
[mm]14\cdot{}2^{2}-4\cdot{}2+1 =a\cdot{}(2+1)^2+b\cdot{}(2-2)\cdot{}(2+1)+c\cdot{}(2-2) [/mm]
[mm]\gdw 49 =a\cdot{} 9 + b\cdot{} 0 \cdot{} 3 + c\cdot{} 0 [/mm]
[mm]\gdw 49 =a\cdot 9 [/mm]
[mm]\gdw \bruch{49}{9}=a [/mm]
und dass muss ich ja noch mal 9 nehmen, sodass ich doch wieder auf 49 komme...
Was mache ich denn da jetzt falsch? Bzw. wo liegt genau mein Fehler?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
nein, es ist nicht lapidar, darum sollst Du es ja einüben. Also nimms nicht tragisch, wenns nicht gleich klappt - man gewöhnt sich aber dran...
> Habe mir jetzt den Koeffizientenvergleich angeschaut, aber
> verstehen ist leider noch etwas entfernt.
>
> [mm]\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{(x+1)^2}=\frac{a\cdot{}(x+1)^2+b\cdot{}(x-2)\cdot{}(x+1)+c\cdot{}(x-2)}{x^3-3x-2}[/mm]
>
> Also im Prinzip müsste das dann doch aber für a so
> heißen:
Wieso für a?
> [mm]14x^{2}-4x+1=a\cdot{}(x+1)^2+b\cdot{}(x-2)\cdot{}(x+1)+c\cdot{}(x-2)[/mm]
Das ist richtig, und zwar für alle drei Koeffizienten zugleich.
> Und dann müsste ich ja vermutlich meine vorher berechneten
> Nullstellen einsetzen.
Nein. Du machst einen Koeffizientenvergleich. Dazu musst Du die rechte Seite auch ausmultiplizieren:
[mm] 14x^2-4x+1=ax^2+2ax+a+bx^2-bx-2b+cx-2c
[/mm]
> Ich verstehe einfach nicht, was mit
> dem B und dem C währenddessen passiert. Sry die Frage ist
> vllt. lapidar, aber mir fällt das ganze gerade ziemlich
> schwer.
Da passiert gar nichts mit B und C. Man schaut jetzt einfach die verschiedenen Potenzen durch:
Quadrate: 14=A+B
Lineare Glieder: -4=2A-B+C
Absolute Glieder: 1=A-2B-2C
Das ist jetzt ein gewöhnliches lineares Gleichungssystem, das zu lösen ist.
> wenn ich dann für x=2 einsetze:
>
> [mm]14\cdot{}2^{2}-4\cdot{}2+1 =a\cdot{}(2+1)^2+b\cdot{}(2-2)\cdot{}(2+1)+c\cdot{}(2-2)[/mm]
>
> [mm]\gdw 49 =a\cdot{} 9 + b\cdot{} 0 \cdot{} 3 + c\cdot{} 0[/mm]
>
> [mm]\gdw 49 =a\cdot 9 [/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{49}{9}=a[/mm]
>
> und dass muss ich ja noch mal 9 nehmen, sodass ich doch
> wieder auf 49 komme...
Ja, natürlich muss das Ergebnis das Gleiche sein wie vorher! Nur bekommst Du mit Deinem x gleich irgendwas setzen auch hier die Ergebnisse für die doppelte Nullstelle (also für B und C) nicht heraus. Deswegen der Weg über das LGS, siehe oben.
> Was mache ich denn da jetzt falsch? Bzw. wo liegt genau
> mein Fehler?
Hm, Fehler ist zuviel gesagt. Du läufst nur in die falsche Richtung.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Also vielen Dank, ich glaube ich bin schonmal ein ganzes Stück weiter.
LGS schreibe ich jetzt hier nicht hin, glaube das wird etwas lang;).
Zu den Lösungen:
[mm] a=\bruch{49}{9}
[/mm]
[mm] b=\bruch{77}{9}
[/mm]
[mm] c=\bruch{-19}{3}=-\bruch{57}{9}
[/mm]
Das ganze dann noch mal 9:
a=49
b=77
c=-57
d.h. die Formel würde folgendermaßen aussehen:
[mm] f(x)=9\bruch{3x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-4x+5}{x^{3}-3x-2} =\bruch{49}{x-2}+\bruch{77}{x+1}-\bruch{57}{(x+1)^{2}}
[/mm]
Grenzverhalten:
Wenn ich jetzt für x: [mm] +\infty [/mm] einsetze:
[mm] \bruch{49}{x-2}+\bruch{77}{x+1}-\bruch{57}{(x+1)^{2}}
[/mm]
müsste das ganze doch gegen 0 gehen?
Wenn ich jetzt für x: [mm] -\infty [/mm] einsetze:
[mm] \bruch{49}{x-2}+\bruch{77}{x+1}-\bruch{57}{(x+1)^{2}}
[/mm]
demnach ja auch gegen 0?
|
|
|
| |
|
Hallo BlackMath,
> Also vielen Dank, ich glaube ich bin schonmal ein ganzes
> Stück weiter.
>
> LGS schreibe ich jetzt hier nicht hin, glaube das wird
> etwas lang;).
> Zu den Lösungen:
>
> [mm]a=\bruch{49}{9}[/mm]
> [mm]b=\bruch{77}{9}[/mm]
> [mm]c=\bruch{-19}{3}=-\bruch{57}{9}[/mm]
>
> Das ganze dann noch mal 9:
>
> a=49
> b=77
> c=-57
>
> d.h. die Formel würde folgendermaßen aussehen:
>
> [mm]f(x)=9\bruch{3x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-4x+5}{x^{3}-3x-2} =\bruch{49}{x-2}+\bruch{77}{x+1}-\bruch{57}{(x+1)^{2}}[/mm]
Hier fehlt doch noch der ganzrationale Anteil
[mm]f(x)=9\bruch{3x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-4x+5}{x^{3}-3x-2} = \ \red{...} +\bruch{49}{x-2}+\bruch{77}{x+1}-\bruch{57}{(x+1)^{2}}[/mm]
>
> Grenzverhalten:
>
> Wenn ich jetzt für x: [mm]+\infty[/mm] einsetze:
> [mm]\bruch{49}{x-2}+\bruch{77}{x+1}-\bruch{57}{(x+1)^{2}}[/mm]
>
> müsste das ganze doch gegen 0 gehen?
>
> Wenn ich jetzt für x: [mm]-\infty[/mm] einsetze:
> [mm]\bruch{49}{x-2}+\bruch{77}{x+1}-\bruch{57}{(x+1)^{2}}[/mm]
>
> demnach ja auch gegen 0?
>
Für den gebrochenrationalen Teil hast Du recht.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Die 9 ist im Laufe des Gefechts untergegangen.. Sry ;).
Also dann mal Korrektur:
[mm] f(x)=9\bruch{3x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-4x+5}{x^{3}-3x-2} [/mm] = \ [mm] \red{9} [/mm] + [mm] \bruch{49}{x-2}+\bruch{77}{x+1}-\bruch{57}{(x+1)^{2}} [/mm]
Denke du hast mit ganzrational, die 9 gemeint?
So zum Grenzverhalten, das würde dann ja statt gegen 0 gegen 9 gehen?
Allerdings blicke ich jetzt dass mit der Asymtote noch nicht ganz. Was eine Asymptote ist, ist mir soweit klar, allerdings verstehe ich die Berechnung noch nicht ganz. Im Prinzip, brauche ich ja zuerst die Polstellen und dann kann ich daraus eine Asymptote berechnen. Bloß wie berechne ich letztere jetzt genau in der obigen Aufgabe?
Im vorraus Dank.
|
|
|
| |
|
Hallo BlackMath,
nein, das war nicht gemeint.
> Die 9 ist im Laufe des Gefechts untergegangen.. Sry ;).
> Also dann mal Korrektur:
>
> [mm]f(x)=9\bruch{3x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-4x+5}{x^{3}-3x-2}[/mm] = \
> [mm]\red{9}[/mm] +
> [mm]\bruch{49}{x-2}+\bruch{77}{x+1}-\bruch{57}{(x+1)^{2}}[/mm]
>
> Denke du hast mit ganzrational, die 9 gemeint?
Nein. Erstens wird die 9 nicht addiert (siehe weiter oben im Thread), zweitens hattest du doch anfangs richtig bemerkt, dass das Zählerpolynom einen höheren Grad hat als das Nennerpolynom. Daraufhin hast Du eine Polynomdivision durchgeführt - hier aber taucht auf einmal nur noch der Rest aus dieser Division auf.
> So zum Grenzverhalten, das würde dann ja statt gegen 0
> gegen 9 gehen?
Wenn die Funktion so aussähe, ja. Sie sieht aber nicht so aus.
> Allerdings blicke ich jetzt dass mit der Asymtote noch
> nicht ganz. Was eine Asymptote ist, ist mir soweit klar,
> allerdings verstehe ich die Berechnung noch nicht ganz. Im
> Prinzip, brauche ich ja zuerst die Polstellen und dann kann
> ich daraus eine Asymptote berechnen. Bloß wie berechne ich
> letztere jetzt genau in der obigen Aufgabe?
Die Polstellen brauchst Du für die Asymptoten für [mm] x\to\pm\infty [/mm] überhaupt nicht.
> Im vorraus Dank.
Ein "r" genügt: im voraus, genauso wie heraus, herein, darauf, darin etc.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Ahso ok,
also wäre dass dann:
[mm] f(x)=9\bruch{3x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-4x+5}{x^{3}-3x-2} [/mm] = [mm] \red{9 \cdot (3x-2)} [/mm] + [mm] \bruch{49}{x-2}+\bruch{77}{x+1}-\bruch{57}{(x+1)^{2}} [/mm]
Dementsprechend sind dann auch meine Grenzwerte anders, sprich [mm] \pm \infty; [/mm] da ich ja durch den ganzrationalen Anteil, ein x habe, dass faktisch im Zähler steht.
Im Prinzip hat doch bei meiner Funktion das Polynom im Nenner einen höheren Grad als das im Zähler. Also ist die Asymptote die X-Achse, da das Polynom höheren Grades "schneller wächst als das im Zähler".
Aber wie berechne ich das jetzt genau?
Im [mm] vo\red{r}aus [/mm] besten Dank ;).
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ahso ok,
> also wäre dass dann:
>
> [mm]f(x)=9\bruch{3x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-4x+5}{x^{3}-3x-2}[/mm] =
> [mm]\red{9 \cdot (3x-2)} \cdot \bruch{49}{x-2}+\bruch{77}{x+1}-\bruch{57}{(x+1)^{2}}[/mm]
Nein, immer noch nicht. Den Faktor 9 hast du in die PBZ des Rests mit hineingezogen, also gilt
[mm] f(x)=\blue{9*(3x-2)}+\bruch{49}{x-2}+\bruch{77}{x+1}-\bruch{57}{(x+1)^2}
[/mm]
> Dementsprechend sind dann auch meine Grenzwerte anders,
> sprich [mm]\pm \infty;[/mm] da ich ja durch den ganzrationalen
> Anteil, ein x habe, dass faktisch im Zähler steht.
Ja, schon. Aber es gibt ja auch schräge Asymptoten...
> Im Prinzip hat doch bei meiner Funktion das Polynom im
> Nenner einen höheren Grad als das im Zähler. Also ist die
> Asymptote die X-Achse, da das Polynom höheren Grades
> "schneller wächst als das im Zähler".
Nein, da hast du einen Denkfehler. Das Polynom "entfernt sich" immer weiter von der x-Achse.
> Aber wie berechne ich das jetzt genau?
Es steht im Prinzip schon da. Die drei Brüche gehen für [mm] x\to\pm\infty [/mm] ja alle gegen [mm] \pm0, [/mm] also geht f(x) gegen 9*(3x-2)=27x-18. Das ist eine Gerade, nämlich die gesuchte Asymptote - in beide Richtungen.
> Im [mm]vo\red{r}aus[/mm] besten Dank ;).
rev
|
|
|
|
