Partialbruchzerl. im Komplexen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Fr 06.08.2010 | | Autor: | cantor |
Hallo zusammen,
Die Partialbruchzerlegung scheint in der Funktionentheorie recht einfach zu sein, habe dennoch eine Verständnisfrage.
Man hat also eine Funktion [mm] $\bruch{p(z)}{q(z)}$ [/mm] gegeben. Man spaltet nun den Nenner in Linearfaktoren (die Nullstellen) auf und bestimmt anschließend die Hauptteile der Laurent Reihen in den Nullstellen.
Laut meinem Skript gilt dann:
[mm] $\bruch{p(z)}{q(z)} [/mm] = [mm] \summe_{}^{} H_{i}(z)$
[/mm]
wobei die [mm] H_i [/mm] die oben genannten Hauptteile sind. Wieso gilt diese Gleichheit? Das sehe ich nicht.
In meinem Skript steht, dass die Differenz [mm] $\bruch{p(z)}{q(z)} [/mm] - [mm] \summe_{}^{} H_{i}(z)$ [/mm] holomorph und beschränkt (weil die Differenz gegen 0 konvergiert) ist. Damit nach Liouville 0. Aber warum ist sie holomorph und konvergiert gegen 0?
Danke vielmals!
cantor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Fr 06.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die Partialbruchzerlegung scheint in der Funktionentheorie
> recht einfach zu sein, habe dennoch eine
> Verständnisfrage.
>
> Man hat also eine Funktion [mm]\bruch{p(z)}{q(z)}[/mm] gegeben. Man
> spaltet nun den Nenner in Linearfaktoren (die Nullstellen)
> auf und bestimmt anschließend die Hauptteile der Laurent
> Reihen in den Nullstellen.
Es geht hier um Polynome $p$ und $q$, oder?
> Laut meinem Skript gilt dann:
>
> [mm]\bruch{p(z)}{q(z)} = \summe_{}^{} H_{i}(z)[/mm]
>
> wobei die [mm]H_i[/mm] die oben genannten Hauptteile sind. Wieso
> gilt diese Gleichheit? Das sehe ich nicht.
Gilt bei dir [mm] $\deg [/mm] p < [mm] \deg [/mm] q$? Oder fasst du [mm] $\infty$ [/mm] ebenfalls als Nullstelle von $q$ auf, falls [mm] $\deg [/mm] p > [mm] \deg [/mm] q$ ist? Und wo kommt der konstante Term im Fall [mm] $\deg [/mm] p [mm] \ge \deg [/mm] q$ her?
Sagen wir mal, du hast [mm] $\deg [/mm] p < [mm] \deg [/mm] q$; andernfalls brauchst du mehr, um Gleichheit zu erhalten.
> In meinem Skript steht, dass die Differenz
> [mm]\bruch{p(z)}{q(z)} - \summe_{}^{} H_{i}(z)[/mm] holomorph und
> beschränkt (weil die Differenz gegen 0 konvergiert) ist.
> Damit nach Liouville 0. Aber warum ist sie holomorph und
> konvergiert gegen 0?
Nun, holomorph ist sie, weil sie eine Summe von meromorphen Funktionen ist und du in jeder potentiellen Polstelle feststellen wirst, dass der Hauptteil der Laurententwicklung 0 ist -- und der Pol somit hebbar ist.
Mit der Konvergenz ist vermutlich gemeint: fuer $z [mm] \to \infty$ [/mm] konvergiert [mm] $\frac{p(z)}{q(z)} [/mm] - [mm] \sum_i H_i(z)$ [/mm] gegen 0. Daraus folgt, dass in einer Umgebung von [mm] $\infty$ [/mm] (eine solche Umgebung ist das Komplement einer beschraenkten Menge) die Funktion betragsmaessig durch 1 (oder ein beliebiges anderes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$) beschraenkt ist, und auf der beschraenkten Menge ist sie ebenfalls beschraenkt (stetige Funktionen auf einem Kompaktum sind immer beschraenkt) -- womit sie ueberall beschraenkt ist.
Du musst also [mm] $\lim_{z\to\infty} (\frac{p(z)}{q(z)} [/mm] - [mm] \sum_i H_i(z))$ [/mm] anschaun.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Fr 06.08.2010 | | Autor: | cantor |
Hallo Felix,
besten Dank für die schnelle Antwort!
Es geht tatsächlich um Polynome p und q mit $deg $ $p$ kleiner $deg $ $q$.
Zur Holomorphie: Danke für den Hinweis. Ich sehe leider immer noch nicht, warum der Hauptteil von $ [mm] \frac{p(z)}{q(z)} [/mm] - [mm] \sum_i H_i(z) [/mm] $ um jede Nullstelle verschwindet.
Mir gelingt es nicht, eine konkrete Formel für die Laurentreihe von $ [mm] \frac{p(z)}{q(z)} [/mm] - [mm] \sum_i H_i(z) [/mm] $ um eine Nullstelle hinzuschreiben.
Danke Dir!
cantor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Fr 06.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo Felix,
>
> besten Dank für die schnelle Antwort!
>
> Es geht tatsächlich um Polynome p und q mit [mm]deg[/mm] [mm]p[/mm] kleiner
> [mm]deg[/mm] [mm]q[/mm].
>
> Zur Holomorphie: Danke für den Hinweis. Ich sehe leider
> immer noch nicht, warum der Hauptteil von [mm]\frac{p(z)}{q(z)} - \sum_i H_i(z)[/mm]
> um jede Nullstelle verschwindet.
Sagen wir mal, [mm] $H_i$ [/mm] gehoert zum Hauptteil in der Polstelle [mm] $z_i$.
[/mm]
> Mir gelingt es nicht, eine konkrete Formel für die
> Laurentreihe von [mm]\frac{p(z)}{q(z)} - \sum_i H_i(z)[/mm] um eine
> Nullstelle hinzuschreiben.
Nun, [mm] $H_j$ [/mm] fuer $j [mm] \neq [/mm] i$ ist in [mm] $z_i$ [/mm] holomorph (da es ein Polynom in $(z - [mm] z_j)^{-1}$ [/mm] ist), und traegt somit zum Hauptteil nicht bei.
Der Hauptteil von [mm] $\frac{p(z)}{q(z)}$ [/mm] in [mm] $z_i$ [/mm] ist [mm] $H_i$. [/mm] Der Hauptteil von [mm] $H_i$ [/mm] in [mm] $z_i$ [/mm] ist [mm] $H_i$.
[/mm]
Also ist der Hauptteil von [mm] $\frac{p(z)}{q(z)} [/mm] - [mm] \sum_i H_i(z)$ [/mm] in [mm] $z_i$ [/mm] gleich dem von [mm] $\frac{p(z)}{q(z)} [/mm] - [mm] H_i(z)$ [/mm] gleich dem von [mm] $H_i(z) [/mm] - [mm] H_i(z) [/mm] = 0$.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Sa 07.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich muß auch meinen Senf dazu geben:
Sei $f:=p/q$ und [mm] z_1, [/mm] ..., [mm] z_k [/mm] seien die Polstellen von f und [mm] H_1, [/mm] ..., [mm] H_k [/mm] seien die zugeh. Hauptteile.
Wir fassen [mm] z_j [/mm] ins Auge: es gibt eine offene Kreisscheibe [mm] K_j [/mm] mit Mittelpunkt [mm] z_j [/mm] und eine auf [mm] K_j [/mm] holomorphe Funktion [mm] g_j [/mm] mit:
(1) $f= [mm] g_j+H_j$ [/mm] auf [mm] K_j [/mm] \ [mm] {z_j}
[/mm]
In (1) steht gerade die Laurententwicklung von f um [mm] z_j.
[/mm]
Aus (1) folgt:
(2) [mm] $f-H_j= g_j$ [/mm] auf [mm] K_j [/mm] \ { [mm] z_j [/mm] }
Da [mm] g_j [/mm] auf [mm] K_j [/mm] holomorph ist, zeigt (2): [mm] f-H_j [/mm] hat in [mm] z_j [/mm] eine hebbare Singularität.
Da die Funktionen [mm] H_l [/mm] für l [mm] \ne [/mm] j ebenfalls holomorph in [mm] z_j [/mm] sind, sieht man:
(3) $f- [mm] \summe_{\nu=1}^{k} H_{\nu} [/mm] $
hat in [mm] z_j [/mm] eine hebbare Singularität.
Fazit: Jede Polstelle von f ist hebbare Sing. von $f- [mm] \summe_{\nu=1}^{k} H_{\nu} [/mm] $.
Somit ist $f- [mm] \summe_{\nu=1}^{k} H_{\nu} [/mm] $ eine ganze Funktion, die wegen
$f(z)- [mm] \summe_{\nu=1}^{k} H_{\nu}(z) \to [/mm] 0$ für $|z| [mm] \to \infty$
[/mm]
beschränkt ist. Liouville liefert nun: $f= [mm] \summe_{\nu=1}^{k} H_{\nu} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Sa 07.08.2010 | | Autor: | cantor |
Hallo Felix und Fred,
vielen Dank für die Antworten, das hat mir sehr weitergeholfen! Der Schlüssel für mich war, dass die restlichen Hauptteile "verschwinden" weil sie holomorph sind.
Der nächste Schritt wäre nun, als $f$ nicht eine rationale, sondern eine meromorphe Funktion zuzulassen. Hier interessieren mich die Fälle
A) f hat endlich viele Polstellen
B) f hat unendlich viele Polstellen
Ich orientiere mich an FREDs Argumentation und bitte Euch um eventuelle Korrektur
Zu A)
Meiner Meinung nach sind die Schritte (1) bis (3) nach wie vor gültig. Auch die Schlussfolgerung $ f- [mm] \summe_{\nu=1}^{k} H_{\nu} [/mm] $ ist eine ganze Funktion bleibt bestehen. Man kann aber nicht mehr folgern, dass $ f(z) [mm] \to [/mm] 0 $.
Also wäre meine Schlussfolgerung:
$f= [mm] \summe_{\nu=1}^{k} H_{\nu} [/mm] $ + g
wobei g eine ganze Funktion ist.
Zu B)
Jetzt wird Schritt 3 heikel, weil die Summe wohl nicht mehr unbedingt konvergiert. Was kann ich nun über f noch aussagen?
Besten Dank Euch nochmal.
cantor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Sa 07.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> A) f hat endlich viele Polstellen
> B) f hat unendlich viele Polstellen
>
> Ich orientiere mich an FREDs Argumentation und bitte Euch
> um eventuelle Korrektur
>
> Zu A)
>
> Meiner Meinung nach sind die Schritte (1) bis (3) nach wie
> vor gültig. Auch die Schlussfolgerung [mm]f- \summe_{\nu=1}^{k} H_{\nu}[/mm]
> ist eine ganze Funktion bleibt bestehen. Man kann aber
> nicht mehr folgern, dass [mm]f(z) \to 0 [/mm].
Klar. Du hast ja auch nicht so etwas wie die Voraussetzung [mm] $\deg [/mm] p < [mm] \deg [/mm] q$. Wenn du die weglaesst, kannst du auch nicht $f(z) [mm] \to [/mm] 0$ zeigen.
> Also wäre meine Schlussfolgerung:
> [mm]f= \summe_{\nu=1}^{k} H_{\nu}[/mm] + g
> wobei g eine ganze Funktion ist.
Genau.
> Zu B)
>
> Jetzt wird Schritt 3 heikel, weil die Summe wohl nicht mehr
> unbedingt konvergiert. Was kann ich nun über f noch
> aussagen?
Schau dir mal den ![[]](/images/popup.gif) Satz von Mittag-Leffler an. Der erledigt die "dreckige" Arbeit fuer dich :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Sa 07.08.2010 | | Autor: | cantor |
nice...
Guter Tipp mit dem Satz. Wenn ich das richtig verstehe, ist dieser Satz in gewissem Sinne andersrum: Ich gebe mir Polstellen und Hauptteile vor und finde dann eine entsprechende meromorphe Funktion.
Wenn ich mir eine meromorphe Funktion vorgebe, kann ich aber keine allgemeine Schlussfolgerung in der Art
f = Summe der Hauptteile + holomorphe Funktion
ziehen?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Sa 07.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Guter Tipp mit dem Satz. Wenn ich das richtig verstehe, ist
> dieser Satz in gewissem Sinne andersrum: Ich gebe mir
> Polstellen und Hauptteile vor und finde dann eine
> entsprechende meromorphe Funktion.
>
> Wenn ich mir eine meromorphe Funktion vorgebe, kann ich
> aber keine allgemeine Schlussfolgerung in der Art
>
> f = Summe der Hauptteile + holomorphe Funktion
>
> ziehen?
Das Problem ist, dass die Summe der unendlich vielen Hauptteile so gar nicht konvergieren muss. Der Satz von Mittag-Leffler loest das Problem, indem er von jedem Hauptteil [mm] $H_i$ [/mm] eine holomorphe Funktion [mm] $G_i$ [/mm] abzieht, so dass die Funktionenreihe [mm] $\sum_i (H_i [/mm] - [mm] G_i)$ [/mm] wieder konvergiert.
Insofern kann eine "ganz naive" Partialbruchzerlegung der Art [mm] $\sum_i H_i [/mm] + G$ gar nicht funktionieren, da [mm] $\sum_i H_i$ [/mm] im Allgemeinen gar nicht konvergiert. Das klappt halt nur, wenn du endlich viele Pole hast.
LG Felix
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