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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Partialbruchzerlegung
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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Mi 07.12.2016
Autor: mimo1

Aufgabe
Bestimme für folgende Funktion die Partialbruchzerlegung

[mm] f(x)=\bruch{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^5)} [/mm]

Hallo,

Könnte jemand ein Blick auf meine Rechnung werfen? An sich ist die Partialbruchzerlegung nicht schwierig, jedoch bekomme ich keine vernünftige Lösung.

[mm] \bruch{A}{(1-x)}+\bruch{B}{(1-x^2)}+\bruch{C}{(1-x^5)}=\bruch{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^5)} [/mm]

[mm] \Rightarrow A(1-x^2)(1-x^5)+B(1-x)(1-x^5)+C(1-x)(1-x^2)=1 [/mm]

[mm] \gdw A(1-x^2-x^5+x^7)+B(1-x-x^5+x^6)+C(1-x-x^2+x^3)=1 [/mm]

[mm] \gdw x^7*(A)+x^6*(B)+x^5*(-A-B)+x^3*(C)+x^2(-A-C)+x(-B-C)+(A+B+C)=1 [/mm]

dann erhalten wir mit koeffizientenvergleich

[mm] x^7: [/mm] A=0

[mm] x^6: [/mm] B=0

[mm] x^5: [/mm] -A-B=0

[mm] x^3: [/mm] C=0

[mm] x^2: [/mm] -A-C=0

[mm] x^1: [/mm]    -B-C=0

[mm] x^0: [/mm] A+B+C=1

aber wir erhalten dann A=B=C=0 aber das ist im Widerspruch zu A+B+C=1.

Wo liegt mein fehler?
Dankeschön im Voraus.

        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:27 Do 08.12.2016
Autor: meili

Hallo mimo1,

> Bestimme für folgende Funktion die Partialbruchzerlegung
>  
> [mm]f(x)=\bruch{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^5)}[/mm]
>  Hallo,
>  
> Könnte jemand ein Blick auf meine Rechnung werfen? An sich
> ist die Partialbruchzerlegung nicht schwierig, jedoch
> bekomme ich keine vernünftige Lösung.
>  
> [mm]\bruch{A}{(1-x)}+\bruch{B}{(1-x^2)}+\bruch{C}{(1-x^5)}=\bruch{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^5)}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow A(1-x^2)(1-x^5)+B(1-x)(1-x^5)+C(1-x)(1-x^2)=1[/mm]
>  
> [mm]\gdw A(1-x^2-x^5+x^7)+B(1-x-x^5+x^6)+C(1-x-x^2+x^3)=1[/mm]
>  
> [mm]\gdw x^7*(A)+x^6*(B)+x^5*(-A-B)+x^3*(C)+x^2(-A-C)+x(-B-C)+(A+B+C)=1[/mm]
>  
> dann erhalten wir mit koeffizientenvergleich
>  
> [mm]x^7:[/mm] A=0
>  
> [mm]x^6:[/mm] B=0
>  
> [mm]x^5:[/mm] -A-B=0
>  
> [mm]x^3:[/mm] C=0
>  
> [mm]x^2:[/mm] -A-C=0
>  
> [mm]x^1:[/mm]    -B-C=0
>  
> [mm]x^0:[/mm] A+B+C=1
>  
> aber wir erhalten dann A=B=C=0 aber das ist im Widerspruch
> zu A+B+C=1.
>  
> Wo liegt mein fehler?

[mm] $(1-x^2)$ [/mm] und [mm] $(1-x^5)$ [/mm] sind keine Linearfaktoren.

Partialbruchzerlegung funktioniert nur mit Linearfaktoren [mm] $(x-x_i)$, [/mm]  
Potenzen von Linearfaktoren  [mm] $(x-x_i)^k$ [/mm] bzw. [mm] $(x^2+px+q)^l$, [/mm] wenn
konjungiert komplexe Linearfaktoren vorkommen, wie bei [mm] $(1-x^5)$, [/mm]

dann mit  [mm] $\bruch{b+cx}{(x^2+px+q)^l}$. [/mm]

>  Dankeschön im Voraus.

Gruß
meili


Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:54 Do 08.12.2016
Autor: mimo1

danke! das habe ich vollkommen ignoriert.

die linearfaktore für [mm] (1-x^2) [/mm] sind klar.
was mir schwierigkeiten bereitet sind die linearfaktoren für [mm] (1-x^5) [/mm] zu bestimmen.
eine linearfaktor wäre [mm] (1-x^5)=(1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4). [/mm]
aber wie lässt sich [mm] (1+x+x^2+x^3+x^4) [/mm] in linearfaktoren zerlegen. dieses polynom lässt sich von keiner zahl ( ich habe es auch mit i versucht) annulieren. oder täusche ich mich?

dankeschön im voraus.

Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:33 Do 08.12.2016
Autor: hippias

Wie meili schon sagte: in diesem Fall kommen irreduzible Faktoren [mm] $x^{2}+px+q$ [/mm] zum Einsatz. Und ehe Du Dich bei der Bestimmung der $p$ und $q$ wundrechnest, finde alle komplexen Lösungen [mm] $x_{i}$ [/mm] von [mm] $1-x^{5}=0$ [/mm] - das ist leicht - und berechne dann [mm] $(x-x_{i})(x-\overline{x_{i}})$; [/mm] dies sind dann die quadratischen irreduziblen reellen Faktoren.

Bezug
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