Partialbruchzerlegung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Di 10.01.2006 | | Autor: | chriskde |
| Aufgabe | [mm] 6x^2-x+1 [/mm]
----------------
x*(x-1)*(x+1)
Gesucht ist die Partialbruchzerlegung |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schritt: 1
[mm] \bruch{a}{x} + \bruch{b}{x-1} + \bruch{c}{x+1} [/mm]
MIttels der Methode des unbekannten Koeffizienten wird substituiert
Schritt: 2
[mm] \bruch{a*(x-1)*(x+1)+b*x*(x+1)+c*x*(x-1)}{x*(x-1)*(x+1)} [/mm]
So, jetzt habe ich die verschiedenen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, indem ich die Zähler jedenfalls mit den Nennern multipliziert habe. Jetzt fasse ich noch zusammen:
Schritt 3
[mm] \bruch{a*x^2-1+b*x^2+x+c*x^2-x}{x*(x-1)*(x+1)} [/mm]
Also ich habe oben die KLammern aufgelöst, jetzt versuche ich gemeinse Faktoren zu finden um zu vereinfachen:
Schritt 4
[mm] \bruch{(a+b+c)*x^2+x(b-c)-a}{x*(x-1)*(x+1)} [/mm]
Der rechte Ausdruck auf dem Zähler bereitet mir Kopfzerbrechen. Ich habe doch das [mm] x^2 [/mm] zusammengefasst in dem Ausdruck [mm] (a+b+c)*x^2
[/mm]
Warum steht auf der rechten Seite auf dem Zähler immer noch ein faktorisierter Ausdruck?
a b c waren in einem Produkt mit [mm] x^2 [/mm] aber die restlichen Werte -1 +x -x nicht sie werden alle von dem jeweiligen [mm] x^2 [/mm] subtrahiert oder addiert.
Trotzallem ist der Ausdruck
[mm] \bruch{(a+b+c)*x^2+x(b-c)-a}{x*(x-1)*(x+1)} [/mm]
der richtige!
Wie komme ich jetzt durch Koeffizientenvergleich auf das Bestimmungsgleichungsystem:
a+b+c=6 ?
weil [mm] (a+b+c)*x^2 [/mm] = [mm] 6x^2 [/mm] ergibt und das in der ursprünglichen Gleichungen als erstes Gleid mit 2ter Potenz vorkommt =
[mm] 6x^2-x+1 [/mm]
----------------
x*(x-1)*(x+1) ?
Ich versuche also immer einen Koeffizienten eindeutig zu bestimmen, um durch Bestimmungsgleichungen auf die anderen zu kommen?
Welchen Vorteil bringt mir die Partialbruchzerlegung? Ich habe drei verschiedene Summanden ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> [mm]6x^2-x+1[/mm]
> ----------------
> x*(x-1)*(x+1)
>
> Gesucht ist die Partialbruchzerlegung
> Schritt: 1
>
> [mm]\bruch{a}{x} + \bruch{b}{x-1} + \bruch{c}{x+1}[/mm]
>
> MIttels der Methode des unbekannten Koeffizienten wird
> substituiert
>
> Schritt: 2
>
> [mm]\bruch{a*(x-1)*(x+1)+b*x*(x+1)+c*x*(x-1)}{x*(x-1)*(x+1)}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So, jetzt habe ich die verschiedenen Brüche auf einen
> gemeinsamen Nenner gebracht, indem ich die Zähler
> jedenfalls mit den Nennern multipliziert habe. Jetzt fasse
> ich noch zusammen:
>
> Schritt 3
>
> [mm]\bruch{a*x^2-1+b*x^2+x+c*x^2-x}{x*(x-1)*(x+1)}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") (hier fehlt was...)
> Also ich habe oben die KLammern aufgelöst, jetzt versuche
> ich gemeinse Faktoren zu finden um zu vereinfachen:
>
> Schritt 4
>
> [mm]\bruch{(a+b+c)*x^2+x(b-c)-a}{x*(x-1)*(x+1)}[/mm]
> Der rechte Ausdruck auf dem Zähler bereitet mir
> Kopfzerbrechen. Ich habe doch das [mm]x^2[/mm] zusammengefasst in
> dem Ausdruck [mm](a+b+c)*x^2[/mm]
> Warum steht auf der rechten Seite auf dem Zähler immer
> noch ein faktorisierter Ausdruck?
Was meinst du damit? Da ist nichts faktorisiert. Du hast doch, anders geschrieben:
[mm] $\red{(a+b+c)} \cdot x^2 [/mm] + [mm] \red{(b-c)} \cdot x^1 \red{-a} \cdot x^0$,
[/mm]
also einen ganzrationalen Ausdruck (ein Polynom).
> a b c waren in einem Produkt mit [mm]x^2[/mm] aber die restlichen
> Werte -1 +x -x nicht sie werden alle von dem jeweiligen [mm]x^2[/mm]
> subtrahiert oder addiert.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") , verstehe ich nicht
> Trotzallem ist der Ausdruck
>
> [mm]\bruch{(a+b+c)*x^2+x(b-c)-a}{x*(x-1)*(x+1)}[/mm]
>
> der richtige!
> Wie komme ich jetzt durch Koeffizientenvergleich auf das
> Bestimmungsgleichungsystem:
>
> a+b+c=6 ?
>
> weil [mm](a+b+c)*x^2[/mm] = [mm]6x^2[/mm] ergibt und das in der
> ursprünglichen Gleichungen als erstes Gleid mit 2ter Potenz
> vorkommt =
> [mm]6x^2-x+1[/mm]
> ----------------
> x*(x-1)*(x+1) ?
Ganz genau! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Vergleiche die Terme, die vor dem [mm] $x^2$ [/mm] auftauchen und setze sie gleich. Vergleiche die Terme, die vor dem [mm] $x=x^1$ [/mm] auftauchen und setze sie gleich. Vergleiche die absoluten Terme (die "vor dem [mm] $x^0=1$ [/mm] auftauchen") und setze sie gleich.
Auf diese Weise bekommst du drei Gleichungen für die drei Unbekannten $a$, $b$ und $c$. Dieses Gleichungssystem kannst du nun lösen.
> Ich versuche also immer einen Koeffizienten eindeutig zu
> bestimmen, um durch Bestimmungsgleichungen auf die anderen
> zu kommen?
> Welchen Vorteil bringt mir die Partialbruchzerlegung? Ich
> habe drei verschiedene Summanden ?
Genau, und so etwas lässt sich leichter integrieren, da sich die einzelnen Summanden sehr leicht mit Hilfe der natürlichen Logarithmusfunktion integrieren lassen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Di 10.01.2006 | | Autor: | chriskde |
| Aufgabe | [mm] \bruch{a\cdot{}x^2-1+b\cdot{}x^2+x+c\cdot{}x^2-x}{x\cdot{}(x-1)\cdot{}(x+1)} [/mm]
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!!!!
Dumm gefragt, wieso stehen vorher a b c nur einmal da und später zweimal?
Das [mm] x^2 [/mm] kann ich vor eine Klammer setzen, da jeder Summand ein [mm] x^2 [/mm] beinhaltet.
Also "verschwindet" doch a b c und [mm] x^2 [/mm] in dem Ausdruck [mm] x^2(a+b+c)! [/mm]
Und übrig bleiben dann -x +x -1
Zum Beispiel: [mm] a*x^2-1 [/mm]
[mm] x^2 [/mm] und a kommen doch in den Ausdruck links und was passiert mit der
-1? die ist doch nur durch eine Subtraktion mit [mm] a*x^2 [/mm] "verbunden"?
Verstehe nicht wie der Ausdruck sich auflöst und was mit der subtraktion
-1 passiert.
ich weiß, dass es so nicht richtig ist, würde aber gerne wissen warum :)
Ich hoffe, ich konnte mich halbwegs verständlich ausdrücken:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Diese Zeile in deinem letzten Posting war leider falsch (hatte ich übersehen und jetzt verbessert). Danach stimmt aber alles wieder.
Hast du das vielleicht falsch irgendwo abgeschrieben?
Gehe deine Antwort jetzt noch einmal durch und versuche die Stelle selber zu verbessern. Ist ja im Wesentlichen nur ausmultiplizieren und zusammenfassen...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Di 10.01.2006 | | Autor: | chriskde |
Zum Beispiel der Ausdruck a*(x+1)*(x-1) wird nach dem ausmultiplizieren
[mm] a*(x^2-1) [/mm] ?
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