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| Aufgabe | | [mm] \integral \bruch{8x}{16-x^4}dx [/mm] |
Buenos Dias!
Ich versuch grad mal Partialbruchzerlegung....für die Integralaugabe....
Dazu muss ich ja für den Ansatz erstmal die Nullstellen des Nenners finden.
[mm] -x^4+16=0
[/mm]
[mm] =x^4-16=0
[/mm]
Substitution: [mm] x=z^2
[/mm]
[mm] z^2-16=0
[/mm]
daraus folgt: z=4
[mm] x_{1,2}=\pm\wurzel{4}
[/mm]
[mm] x_1=2
[/mm]
[mm] x_2=-2
[/mm]
Mein Ansatz wäre daher:
[mm] \bruch{A_1}{x-2}+\bruch{A_2}{x^2+4}
[/mm]
Die Lösung soll vorerst lauten (Laut Lösungsblatt):
[mm] \bruch{0,5}{2-x}-\bruch{0,5}{2+x}+\bruch{x}{4+x^2}
[/mm]
Jetzt hab ich meine errechneten Nullstellen die ich in die Formel eingesetzt hab mal vertauscht und kam auf:
[mm] \bruch{A_1}{x+2}+\bruch{A_2}{x^2+4}
[/mm]
Da hätte ich schonmal zwei Nenner. Meine Fragen vorerst dazu:
Ist es erheblich welche errechneten Nullstellen ich wo einsetze in die Formel? Denn hier scheint es nur zu klappen wenn ich zuerst [mm] x_2 [/mm] und dann [mm] x_1 [/mm] einsetze. Wie seh ich das?
Und: Woher kommt in der Lösung die 2-x als Nenner her? Denn [mm] x^2+4 [/mm] hat doch keine Nullstelle und kann daher nicht weiter zerlegt werden.
Muchas gracias für die Antwort 
Esperanza
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Hallo Esperanza!
Verwende hier die  3. binomische Formel zur Zerlegung des Nenners (und das gleich 2-mal ...) :
[mm] $16-x^4 [/mm] \ = \ [mm] 4^2-\left(x^2\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(4-x^2\right)*\left(4+x^2\right) [/mm] \ = \ [mm] \left(2^2-x^2\right)*\left(4+x^2\right) [/mm] \ = \ [mm] (2-x)*(2+x)*\left(4+x^2\right)$
[/mm]
Kannst Du nun die Partialbruchzerlegung vornehmen? Die Reihenfolge der Partialbrüche ist dabei unerheblich.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner!
Stimmt, an binomische Formeln hab ich gar nicht gedacht...sowas überseh ich leicht.
Aber ich komme dennoch nicht klar.
Ich habe jetz mit dem Hauptnenner multipliziert.
[mm] \bruch{A1(16-x^4)}{2-x}+\bruch{A2(16-x^4)}{2+x}+\bruch{A3(16-x^4)}{4+x^2}
[/mm]
Mit Polynomdivision kam ich auf:
[mm] (x^3+2x+4x+8)+(-x^3+2x^2-4x+8)+(-x^2+4)
[/mm]
Jetzt wollte ich die einzelnen Nenner meines Ansatzes Nullsetzen, das x ausrechnen und in obiges einsetzen.
[mm] (2^3+2*2+4*2+8)=8*2
[/mm]
Aber da komme ich schon beim ersten Punkt auf [mm] \bruch{7}{4} [/mm] und es muss ja 0,5 rauskommen laut Lösung.
Wo ist mein Fehler?
Gruß, Esperanza
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Mi 26.07.2006 | | Autor: | riwe |
[mm] \frac{8x}{16-x^{4}}=\frac{A}{2-x}+\frac{B}{2+x}+\frac{Cx+D}{4+x^{2}}
[/mm]
auf gleichen nenner bringen und koeffizientenvergleich durchführen
[mm] x^{3}: [/mm] A-B-C=0
[mm] x^{2}: [/mm] 2A+2B-D=0
[mm] x^{1}: [/mm] 4A-4B+4C=8
[mm] x^{0}: [/mm] 8A+8B+4D=0
ergibt:
[mm] A=\frac{1}{2}, B=-\frac{1}{2}, [/mm] C = 1, D = 0
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Ich nochmal.
>
> [mm]\frac{8x}{16-x^{4}}=\frac{A}{2-x}+\frac{B}{2+x}+\frac{Cx+D}{4+x^{2}}[/mm]
> auf gleichen nenner bringen und koeffizientenvergleich
> durchführen
> [mm]x^{3}:[/mm] A-B-C=0
> [mm]x^{2}:[/mm] 2A+2B-D=0
> [mm]x^{1}:[/mm] 4A-4B+4C=8
> [mm]x^{0}:[/mm] 8A+8B+4D=0
> ergibt:
> [mm]A=\frac{1}{2}, B=-\frac{1}{2},[/mm] C = 1, D = 0
Ich versteh es leider immernoch nicht...ich hab in meinem Leben nur eine Partialbruchzerlegung gemacht und die ging anders. Deshalb nochmal zum mitmeißeln.
Was genau bedeutet:
> [mm]x^{3}:[/mm] A-B-C=0
> [mm]x^{2}:[/mm] 2A+2B-D=0
> [mm]x^{1}:[/mm] 4A-4B+4C=8
> [mm]x^{0}:[/mm] 8A+8B+4D=0
Woher kommen die Werte?
Ums mit Kindermund auszudrücken...meinst du ich soll kucken, wie oft der jeweilige Nenner in den Hauptnenner passt? Und wie dann weiter?...Und was ist [mm] C_x+D? [/mm] Was für ein D? Steh auf der Leitung.
Gruß, Esperanza
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Do 27.07.2006 | | Autor: | riwe |
was ich meine, ist folgendes:
0) auf gleichen nenner bringen
1) du faßt alle potenzen links UND rechts zusammen
8x = [mm] x^{3}(A-B-C)+x^{2}(...)+x(......)+x^{0}(...)
[/mm]
2) du machst dann einen koeffizientenvergleich
daher koeffizienten von
[mm]x^{3}:links: 0 = A - B - C: rechts [/mm]
usw.
3) du löst anschließend das lgs. in A, B, C und D
(du kannst natürlich auch alles auf eine seite schaffen,
und setzt es immer = 0)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Do 27.07.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich habe mir diese Diskussion mal gerade durchgelesen und habe eine Frage zur Partialbruchzerlegung:
> [mm]\frac{8x}{16-x^{4}}=\frac{A}{2-x}+\frac{B}{2+x}+\frac{Cx+D}{4+x^{2}}[/mm]
Warum kommt hier nochmal in den Zähler Cx+D? Schätzungsweise, weil der Nenner keine reelle Nullstellen hat!? Aber warum dann Cx+D bzw. kommt das dann immer da hin? Oder könnte da auch nur Cx stehen? Oder vielleicht sogar etwas mit [mm] x^2?
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane!
Da im Nenner des Partialbruches mit [mm] $4+x^{\red{2}}$ [/mm] ein Polynom zweiten Grades steht, wird im Zähler ein Polynom ersten Grades angesetzt (da: $2-1 \ = \ 1$).
Siehe auch hier in der ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia .
Gruß vom
Roadrunner
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