Partialbruchzerlegung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Mi 26.12.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} = \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z-1} + \bruch{C}{(z-1)^{2}} [/mm] |
Hallo zusammen,
die Funktion [mm]f(z)=\bruch{1}{z*(1-z)^{2}} [/mm] soll also in Partialbrüche zerlegt werden.
Das Ergebnis soll sein:
[mm] f(z) = \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z-1} + \bruch{C}{(z-1)^{2}} [/mm]
Das ist mir noch nicht so ganz klar (wenn ich es nachrechne, scheint es aber zu stimmen).
Den Nenner [mm] N = z*(1-z)^{2} [/mm] kann ich doch schreiben als:
[mm] N = z*(1-z) * (1-z) = z*(z^2-2z+1) = z^{3} - 2z^{2} + z [/mm]
Aber wie obige Partialbruchzerlegung zustande kommt, ist mir nicht so ganz klar.
Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Mi 26.12.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Wenn du den Nenner als z³-2z²+z schreibst, hast du ja nur den Nenner in eine andere Form gebracht!
Damit hast du das erreicht:
[mm] f(z)=\bruch{1}{z(z-1)²}=\bruch{1}{z³-2z²+z}
[/mm]
Nicht gerade das gewünschte Ergebnis :)
Die Nenner der einzelnen Partialbrüche (nennt man die so?) sind immer echte Teiler des Nenners des Ausgangsbruches (meiner Meinung nach).
Beim Bestimmen von A, B und C musst du ja dann diese 3 Brüche wieder erweitern und ein x einsetzen und wenn du den Klopper mit z³ unter allen brüchen hättest, könntest du auch nur mit 1 erweitern, was dir auch kein Ergebnis liefern würde!
Naja, ich hoffe, dass ich nicht zu viel unnützes Zeug gelabert habe und deine Frage beantworten konnte :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mi 26.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Teufel, danke für Deinen post!
Heißt dass, ich muss eine Polynomdivision von:
[mm] z³-2z²+z [/mm] durch [mm] z [/mm] vornehmen, um auf die einzelnen Teiler [mm] z, (1-z) und (1-z)^{2} [/mm] ?
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Mi 26.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Teufel, danke für Deinen post!
>
> Heißt dass, ich muss eine Polynomdivision von:
>
> [mm]z³-2z²+z[/mm] durch [mm]z[/mm] vornehmen, um auf die einzelnen Teiler [mm]z, (1-z) und (1-z)^{2}[/mm]
> ?
Nein, du bringst die rechte Seite auf den Hauptnenner, der gleichzeitig der Nenner der linken Seite ist.
Dann müssen die Zähler rechts und links übereinstimmen; das erreichst du, indem du die Koeffizienten der Polynome im Zähler vergleichst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mi 26.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hi Rainer,
das von Dir beschriebene Vorgehen kann ich ja nur dann machen, wenn das Ergebnis [mm] f(z) = \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z-1} + \bruch{C}{(z-1)^{2}} [/mm] bekannt ist.
Was aber mache ich, wenn ich nur [mm] f(z)=\bruch{1}{z\cdot{}(1-z)^{2}} [/mm] vorgegeben habe und auf die rechte Seite, also die Zerlegung kommen muss?
Meine erste Intention war die folgende Zerlegung:
[mm] f(z) = \bruch{A}{z} + \bruch{B}{(z-1)^2} [/mm]
da ich in der Aufgabe im Nenner lediglich [mm] z*(1-z)^2 [/mm] stehen habe. Wenn ich jedoch die Grenzwertbetrachtung durchführe, um auf A und B zu kommen ([mm] \limes_{z\rightarrow 1}) [/mm] erhalte ich für A=1 und B=1, aber das stimmt offensichtlich nicht.
Viele Grüße, Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Mi 26.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Rainer, super, vielen Dank für die Erklärung. Das ist genau das, was ich wissen wollte.
Ach - und frohe Weihnachten noch!
Viele Grüße, Andreas
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