Partialbruchzerlegung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo
Hab eine Frage zu folgendem Bsp.
[mm] \integral_{}^{} {(x^6-2x^3)/(x^3-1)^2 dx}
[/mm]
Wie bekomme ich da den Ansatz
Ich hab mir mal eine Nullstelle ausgerechnet und mit Polynomsdivision einen Linearfaktor abgespaltet
[mm] (x^5+x^4+x^3-x^2-x-1)*(x-1) [/mm]
dann das gleiche ncohmal und ich komme auf
[mm] (x^4+2x^3+3x^2+2x+1)*(x-1)^2
[/mm]
jetzt steh ich an wie kommt man darauf das
[mm] (x^4+2x^3+3x^2+2x+1)=(x^2+x+1)^2 [/mm] ist
Viele Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo stevarino!
> [mm]\integral_{}^{} {(x^6-2x^3)/(x^3-1)^2 dx}[/mm]
>
> Wie bekomme ich da den Ansatz
> Ich hab mir mal eine Nullstelle ausgerechnet und mit
> Polynomsdivision einen Linearfaktor abgespaltet
>
> [mm](x^5+x^4+x^3-x^2-x-1)*(x-1)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Diese Polynomdivision geht so nicht auf.
Da müsste ja im ursprünglichen Term auch eine "+1" am Ende stehen (wegen: "$(-1)*(-1)$" ) ...
Wenn Du den Zähler faktorisieren möchtest, erstmal ausklammern:
[mm] $x^6 [/mm] - [mm] 2x^3 [/mm] \ = \ [mm] x^3 [/mm] * [mm] (x^3 [/mm] - 2)$
Für den Klammerwert könnte man nun eine Polynomdivision mit $(x - [mm] \wurzel[3]{2})$ [/mm] durchführen ...
Aber im Nenner kannst Du auf Deinen gewünschten Klammerwert [mm] $(x^2 [/mm] + x + 1)$ kommen (ermittelt mit Polynomdivision):
[mm] $x^3 [/mm] - 1 \ = \ [mm] (x-1)*(x^2 [/mm] + x + 1)$
Und damit natürlich auch:
[mm] $(x^3 [/mm] - [mm] 1)^2 [/mm] \ = \ [mm] [(x-1)*(x^2 [/mm] + x + [mm] 1)]^2 [/mm] = [mm] (x-1)^2*(x^2 [/mm] + x + [mm] 1)^2$
[/mm]
Für den Ausdruck [mm] $(x^2 [/mm] + x + 1) = 0$ gibt es in [mm] $\IR$ [/mm] keine Lösung(en).
Damit hättest Du alle möglichen Faktoren für eine Partialbruchzerlegung ermittelt.
Grüße
Loddar
|
|
|
|
