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Hallo ich habe mal eine kurze Frage. Es geht um folgende gebrochene rationale Fkt.
[mm] \bruch{x^2}{(x^2-2)(x+1)}
[/mm]
Wenn ich die Partialbruchzerlegung durchführe, würde ich das folgendermaßen machen:
[mm] \bruch{x^2}{(x^2-2)(x+1)}=\bruch{Ax+B}{(x^2-2)}+\bruch{C}{(x+1)}
[/mm]
Die Lösung ist allerdings:
[mm] \bruch{x^2}{(x^2-2)(x+1)}=\bruch{A}{(x+\wurzel{2})}+\bruch{B}{(x-\wurzel{2})}+\bruch{C}{(x+1)}
[/mm]
SInd beide Lösungen äquivalent oder ist dann nur die zweite richtig??? Ich habe nämlich zu einem Lösungsansatz zu meiner rechnung solch einen lösungsweg gefunden. Wenn die lösungen also nicht äquivalent sind, was habe ich dann falsch gemacht, bzw. wann darf ich so rechnen, wie ich das gemacht habe???
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Hallo domenigge,
es sollte beides klappen, allerdings versucht man doch bei einer PBZ nach Möglichkeit, in Linearfaktoren aufzuspalten, also gem. dem 2. Ansatz vorzugehen.
Wenn du allerdings bei der Aufspaltung des Nenners so etwas bekommst wie:
[mm] $...=\frac{\text{Zähler}}{(x+1)(x^2+2)}$, [/mm] so kannst du im Reellen [mm] $x^2+2$ [/mm] nicht weiter aufspalten und machst deinen 1. Ansatz
[mm] $...=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+2}$
[/mm]
![[]](/images/popup.gif) Hier auf wikipedia sind die verschiedenen Ansätze aufgelistet
LG
schachuzipus
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Super. Habe ich dann soweit verstanden. Ich kann das ja dann auf folgende AUfgabe anwenden:
Bestimmen sie das folgende Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{2x^3}{x^2-4}dx
[/mm]
zunächst führe ich eine polynomdivision durch. Diese führt mich auf folgendes Ergebnis: [mm] 2x+\bruch{8x}{x^2-4}dx
[/mm]
Bei der Partialbruchzerlegung interessiert mich ja nun im Prinzip nur [mm] \bruch{8x}{x^2-4} [/mm] den Rest füge ich am Ende hinzu. Ich komme demnach auf folgendes:
[mm] \bruch{8x}{x^2-4}=\bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-2} \Rightarrow [/mm] 8x=A(x-2)+B(x+2)
x=-2 in 8x=A(x-2)+B(x+2) [mm] \Rightarrow [/mm] -16=-4A [mm] \Rightarrow [/mm] A=4
x=2 in 8x=A(x-2)+B(x+2) [mm] \Rightarrow [/mm] 16=4B [mm] \Rightarrow [/mm] B=4
und daraus folgt dann letztlich [mm] 2x+\bruch{8x}{x^2-4}=\bruch{4}{x+2}+\bruch{4}{x-2}
[/mm]
Zum Integrieren habe ich mir nun natürlich das falsche FOrum ausgesucht. ABer ich mach trotzdem mal:
[mm] \integral_{0}^{1}(2x+\bruch{4}{x+2}+\bruch{4}{x-2})dx=(x^2+4ln|x+2|+4ln|x-2|)|_0^{1}
[/mm]
Hier habe ich nun noch das Problem mit dem einsetzen und den Betragsstrichen. Ich wäre wirklich dankbar, wenn das jmd. Ausführlich ausrechnen könnte.
Ich danke schonmal im Voraus. Mit Freundlichen Grüßen domenigge135
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Also ich komme jetzt auf etwas ganz komisches:
1+4ln3+4ln1-(4ln2+4ln2) Vielleicht klappts ja mit dem vereinfachen. Kannst du mir das genauer erklären?
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Hallo domenigge135,
> Also ich komme jetzt auf etwas ganz komisches:
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> 1+4ln3+4ln1-(4ln2+4ln2) Vielleicht klappts ja mit dem
> vereinfachen. Kannst du mir das genauer erklären?
Nach den Logarithmusgesetzen gilt:
[mm]\ln\left(a*b\right)=\ln\left(a\right) + \ln\left(b\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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