Partialbruchzerlegung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Sa 05.04.2008 | | Autor: | blueeyes |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes unbestimmte Integral:
[mm] \integral\bruch{(x^4-3x^2+5x+4)}{(x^3-3x+2)}dx [/mm] |
Mittels Polynomdivision kam ich auf folgendes:
x+ [mm] \bruch{3x+4}{x^3-3x+2}
[/mm]
ich denke nun dass es das beste wäre nun eine Partialbruchzerlegung durchzuführen,nur wie sehe diese dann aus? Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Sa 05.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da der Nenner bei x=1 ne Nullstelle hat, erst mal (x-1) ausklammern. (Polynomdivision)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Sa 05.04.2008 | | Autor: | blueeyes |
[mm] (x^3-3x+2):(x-1)= x^2+x-2
[/mm]
Ich versuch mich an dieser Zerlegung:
[mm] \bruch{(3x+4)}{(x^3-3x+2)}= \bruch{A}{(x-1)}+\bruch{B}{(x^2+x-2)}
[/mm]
passt das ungefähr? Diese Partialbruchzerlegung hatte ich nämlich nicht so ganz verstanden. Und wenn das so einigermaßen passt, wie geht man dann weiter? Lg
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Hallo blueeyes,
> [mm](x^3-3x+2):(x-1)= x^2+x-2[/mm]
>
> Ich versuch mich an dieser Zerlegung:
>
> [mm]\bruch{(3x+4)}{(x^3-3x+2)}= \bruch{A}{(x-1)}+\bruch{B}{(x^2+x-2)}[/mm]
[mm]x^{2}+x-2[/mm] hat auch reelle Nullstellen, so daß Du das weiter aufsplitten kannst.
Mehr Informationen findest Du hier.
>
> passt das ungefähr? Diese Partialbruchzerlegung hatte ich
> nämlich nicht so ganz verstanden. Und wenn das so
> einigermaßen passt, wie geht man dann weiter? Lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Sa 05.04.2008 | | Autor: | blueeyes |
ich habe also nochmals aufgesplittet:
[mm] \bruch{3x+4}{x^3-3x+2}= \bruch{A}{(x-1)}+ \bruch{B}{(x-1)}+\bruch{C}{(x+2)}
[/mm]
3x+4=A(x+2)+B(x-1)+C(x-1)=(A+B+C)x+(2A-B-C)
kann das einigermaßen hinkommen?
meine frage ist dann noch,wie man in dem beispiel aus dem link mittels einsetzverfahren auf [mm] A_{2}=\bruch{13}{6} [/mm] und [mm] A_{1}=\bruch{11}{6} [/mm] kommt. Lg
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Hallo blueeyes,
> ich habe also nochmals aufgesplittet:
>
> [mm]\bruch{3x+4}{x^3-3x+2}= \bruch{A}{(x-1)}+ \bruch{B}{(x-1)}+\bruch{C}{(x+2)}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Ansatz für ne doppelte NST ist ein anderer - das steht aber auch unter dem obigen link oder alternativ auf wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung
Du hast eine einfache und eine doppelte reelle NST, daher der Ansatz:
[mm] $\frac{3x+4}{x^3-3x+2}=\frac{3x+4}{(x+2)(x-1)^2}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}$
[/mm]
>
> 3x+4=A(x+2)+B(x-1)+C(x-1)=(A+B+C)x+(2A-B-C)
>
> kann das einigermaßen hinkommen?
>
> meine frage ist dann noch,wie man in dem beispiel aus dem
> link mittels einsetzverfahren auf [mm]A_{2}=\bruch{13}{6}[/mm] und
> [mm]A_{1}=\bruch{11}{6}[/mm] kommt. Lg
Löse bsp.weise die 1. Gleichung nach [mm] $A_1$ [/mm] auf und setze das in die 2.Gleichung ein. Damit kannst du [mm] $A_2$ [/mm] berechnen, das du dann in eine der beiden Gleichungen einsetzt und so [mm] $A_1$ [/mm] berechnset.
Also
(1) [mm] $4=A_2+A_1\Rightarrow \blue{A_1=4-A_2}$
[/mm]
(2) [mm] $-2=5A_2-7A_1\Rightarrow -2=5A_2-7(\blue{4-A_2})$
[/mm]
usw.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Sa 05.04.2008 | | Autor: | blueeyes |
mh,gut...ich versuchs weiter:
3x+4= [mm] A(x-1)^2+B(x+2)+C(x-1)
[/mm]
[mm] Ax^2-2Ax+A+Bx+2B+Cx-C=(Ax+B+C)x+(-2Ax+A+2B-C)
[/mm]
dann: Ax+B+C=3 und -2Ax+A+2B-C=4
Sagt mir bitte wie es richtig heißt,wenns falsch ist,lg.
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Hallo,
das passt noch nicht, der Hauptnenner ist doch [mm] $(x+2)(x-1)^2$
[/mm]
Du musst also die Brüche entsprechend erweitern:
[mm] $\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}=\frac{A\blue{(x-1)^2}}{(x+2)\blue{(x-1)^2}}+\frac{B\blue{(x+2)(x-1)}}{(x-1)\blue{(x+2)(x-1)}}+\frac{C\blue{(x+2)}}{(x-1)^2\blue{(x+2)}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{A(x-1)^2+B(x-1)(x+2)+C(x+2)}{(x+2)(x-1)^2}$
[/mm]
Nun im Zähler alles schön ausmultiplizieren und nach den Potenzen von $x$ sortieren.
Anschließend im Zähler den Koeffizientenvgl. mit $3x+4$ machen,
es soll ja gelten: [mm] $\frac{A(x-1)^2+B(x-1)(x+2)+C(x+2)}{(x+2)(x-1)^2}=\frac{3x+4}{(x+2)(x-1)^2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Sa 05.04.2008 | | Autor: | blueeyes |
=(Ax+Bx-2A+B+C)x+(-A-2B+2)
Ax+Bx-2A+B+C=3
-A-2B+2=4
so?
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Hallo nochmal,
> =(Ax+Bx-2A+B+C)x+(-A-2B+2)
>
> Ax+Bx-2A+B+C=3
> -A-2B+2=4
>
> so?
was hast du denn da gemacht?
Multipliziere doch den Zähler mal aus und sortiere nach den Potenzen von $x$:
[mm] $A(x-1)^2+B(x+2)(x-1)+C(x+2)=Ax^2-2Ax+A+Bx^2+Bx-2B+Cx+2C=\green{(A+B)}x^2+\red{(-2A+B+C)}x+\blue{(A-2B+2C)}$
[/mm]
So, und das soll [mm] $=\green{0}\cdot{}x^2+\red{3}\cdot{}x+\blue{4}$ [/mm] sein.
Nun mal nen Koeffizientenvgl. machen, das gibt dir 3 Gleichungen in den 3 Unbekannten $A, B, C$, sollte also lösbar sein 
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Sa 05.04.2008 | | Autor: | blueeyes |
[mm] A=-\bruch{2}{9} [/mm] ; [mm] B=\bruch{2}{9} [/mm] ; [mm] C=2\bruch{1}{3}
[/mm]
I= [mm] -\bruch{2}{9}\integral\bruch{1}{x+2}dx +\bruch{2}{9}\integral\bruch{1}{x-1}dx +2\bruch{1}{3}\integral\bruch{1}{(x-1)^2}dx
[/mm]
I= [mm] -\bruch{2}{9}ln|x+2|+ \bruch{2}{9}ln|x-1|+ 2\bruch{1}{3}ln|(x-1)^2|+ [/mm] C
aber irgendwas wird wieder nicht hinhauen,weil ja dieses hier am ende rauskommen muss:
[mm] \bruch{1}{18}(9x^2+4log(x-1)-4log(x+2)-\bruch{42}{x-1}-36)
[/mm]
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
