Partialbruchzerlegung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Do 02.04.2009 | | Autor: | mambo |
| Aufgabe | Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 12x + 1}{x^3 + 3x^2 + 4x +12} [/mm] |
Hallo,
ich habe bei der Partialbruchzerlegung ein Problem oder einen grafierenden Rechenfehler drin. Jedenfalls komm ich gerade nicht mehr weiter.
So Aufgabe s.o.
[mm] \bruch{x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 12x + 1}{x^3 + 3x^2 + 4x +12}
[/mm]
1. Polynomdivision Zähler - Nenner
[mm] \bruch{x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 12x + 1}{x^3 + 3x^2 + 4x +12})
[/mm]
Ergebnis: x + [mm] \bruch{1}{x^3 + 3x^2 + 4x +12}
[/mm]
2. Nullstellen Nenner
[mm] (x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] + 4x +12) [mm] x_{1}= [/mm] -3
3. Polynomdivision
[mm] \bruch{x^3 + 3x^2 + 4x +12}{x+3}
[/mm]
Ergebnis:
[mm] x^2 [/mm] + 4
Würden ja jetzt Komplexe Nullstllen rauskommen. nämlich 2i und -2i
Nun bin ich nach folgendem Schema fortgefahren.
[mm] \bruch{x+(x^4+3x^3+4x^2+12x+1)}{(x+3) ((x^2+4)^2)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x+3} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x^2+4} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x^2+4)^2}
[/mm]
das ganze mal den Hauptnenner:
[mm] x+(x^4+3x^3+4x^2+12x+1) [/mm] = [mm] A(x^4+8x^2+16+3) [/mm] + [mm] B(x^3+3x^2+4x+12) [/mm] + C(x+3)
setze ich nun für x Werte ein, z.B. die -3 bekomme ich wunderbar A raus. Zwar in einer echt blöden Zahl was mich stutzen lässt.
Aber was soll ich dann einsetzen für zwei andere Werte?
Oder wo steckt ein Fehler?
Bitte mal um Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Do 02.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Fehler: HN ist nicht [mm] (x+3)*(x^2+4)^2 [/mm] sondern
[mm] (x+3)*(x^2+4)
[/mm]
damit Ansatz: [mm] \bruch{A}{x+3}+\bruch{Bx+C}{x^2+4}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Do 02.04.2009 | | Autor: | mambo |
Ok, wenn ich diesen Ansatz wähle, bekomme ich jetzt für
A = [mm] \bruch-{3}{13}, [/mm] B = [mm] \bruch-{4}{39}, [/mm] C = [mm] \bruch{25}{39}
[/mm]
als X- Wert habe ich genommen, -3, 1 und 0
aber wie soll man nun weitermachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Do 02.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Den von Leduart vorgeschlagenen Ansatz mußt Du für
$ [mm] \bruch{1}{x^3 + 3x^2 + 4x +12} [/mm] $
machen !!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Do 02.04.2009 | | Autor: | mambo |
???
Soll ich jetzt etwa
[mm] \bruch{1}{x^3 + 3x^2 + 4x +12} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x+3}+\bruch{Bx+C}{x^2+4}
[/mm]
berechnen???
weil [mm] (x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] + 4x +12) ist doch gleich [mm] (x+3)*(x^2+4)
[/mm]
im Unterricht haben wir immer den Zähler genommen und dann die funktionen der nullstellen darunter geschrieben. ???
Nun sthe ich gerade richtig auf dem Schlauch
Also wir haben dann immer so gerechnet will ich damit sagen
[mm] x+\bruch{(x^4+3x^3+4x^2+12x+1)}{(x+3) (x^2+4)}=\bruch{A}{x+3}+\bruch{Bx+C}{x^2+4}
[/mm]
aber wenn ich so nicht rechnen soll wie dann???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Do 02.04.2009 | | Autor: | mambo |
Ah... ich glaub ich verstehe...
also ich habe ja nach der Polynomdivision den Bruch
x + [mm] \bruch{1}{x^3 + 3x^2 + 4x +12}
[/mm]
Die erste Nullstelle vom Nenner ist -3
die zwei anderen sind komplex und ich kann von daher [mm] (x^2+4) [/mm] nehmen
Der Ansatz ist nun wie schon weiter oben geschrieben
[mm] \bruch{1}{(x+3) (x^2+4)}= \bruch{A}{x+3}+\bruch{Bx+C}{x^2+4}
[/mm]
wenn ich das nun auf einem Hauptnenner Bringe habe ich
1 = [mm] A(x^2+4) [/mm] + Bx + C (x-3)
Nun setze ich -3, 1 und 0 ein
und komme auf A = [mm] \bruch{1}{13}, [/mm] B = [mm] -\bruch{4}{39} [/mm] , C = [mm] \bruch{3}{13}
[/mm]
kann das jemand bestätigen ???
nur was passiert nun weiter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Do 02.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ah... ich glaub ich verstehe...
>
> also ich habe ja nach der Polynomdivision den Bruch
>
> x + [mm]\bruch{1}{x^3 + 3x^2 + 4x +12}[/mm]
>
> Die erste Nullstelle vom Nenner ist -3
> die zwei anderen sind komplex und ich kann von daher
> [mm](x^2+4)[/mm] nehmen
>
> Der Ansatz ist nun wie schon weiter oben geschrieben
>
> [mm]\bruch{1}{(x+3) (x^2+4)}= \bruch{A}{x+3}+\bruch{Bx+C}{x^2+4}[/mm]
So ist es
>
> wenn ich das nun auf einem Hauptnenner Bringe habe ich
>
> 1 = [mm]A(x^2+4)[/mm] + Bx + C (x-3)
Nein: richtig wäre
$1 = [mm] A(x^2+4) [/mm] + (Bx + C )(x-3)$
FRED
>
> Nun setze ich -3, 1 und 0 ein
>
> und komme auf A = [mm]\bruch{1}{13},[/mm] B = [mm]-\bruch{4}{39}[/mm] , C =
> [mm]\bruch{3}{13}[/mm]
>
> kann das jemand bestätigen ???
> nur was passiert nun weiter
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Do 02.04.2009 | | Autor: | mambo |
ja stimmt, sorry war meine schreibweise.
Richtig heißt es natürlich
1 = [mm] A(x^2+4) [/mm] + (Bx + C )(x-3)
setze ich x = -3 ein habe ich
1 = [mm] A(3^2+4) [/mm] + (3B + C )(-3-3)
1 = 13A + (3B + C )(-6)
1 = 13A + (3B +C) * -6
1 = 13A - 18B -6C
für x = 1
1 = [mm] A(1^2+4) [/mm] + (1B + C )(1-3)
1 = 5A + (1B + C )(-2)
1 = 5A + (1B +C) * -2
1 = 5A - 2B - 2C
für x = 0
1 = [mm] A(0^2+4) [/mm] + (0B + C )(0-3)
1 = 4A + (0B + C )(-3)
1 = 4A + (0B +C) * -3
1 = 4A - 3C
Würde heißen ich hab das nun so:
1 = 13A - 18B -6C
1 = 5A - 2B - 2C
1 = 4A - 3C
aber davon A,B,C ausrechnen ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Do 02.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> ja stimmt, sorry war meine schreibweise.
> Richtig heißt es natürlich
>
> 1 = [mm]A(x^2+4)[/mm] + (Bx + C )(x-3)
Sorry, das hatte ich oben übersehen: es muß
1 = [mm]A(x^2+4)[/mm] + (Bx + C )(x+3)
lauten. also nochmal rechnen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Do 02.04.2009 | | Autor: | mambo |
So, ich weiß nun nicht ob das so richtig ist aber ich habe mal so angefangen
1 = 13A - 18B -6C
1 = 5A - 2B - 2C
1 = 4A - 3C
1 = 4A -3C | -3c
1-3C = 4A | /4
[mm] \bruch{1}{4}-\bruch{3C}{4} [/mm] = A
Das ganze oben wieder eingesetzt
1 = 4 * [mm] \bruch{1}{4}-\bruch{3C}{4} [/mm] -3C
1 = 1 + [mm] \bruch{12C}{4} [/mm] -3 C
1 = 1 + 4C -3C
1 = 1 + 1C
C = C bedeutet für mich 0
A = [mm] \bruch{1}{4}-\bruch{3C}{4}
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{4}-\bruch{3*0}{4}
[/mm]
A= [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
usw. B = [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
aber wie schreibe ich das nun alles richtig hin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Do 02.04.2009 | | Autor: | mambo |
ähm sorry hatte aus versheen nur eine Mitteilung darauß gemacht nun weiß ich nicht ob Ihr bescheid bekommt ..
d.h. noch mal eine frage hier
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Do 02.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich glaube, Du hast übersehen, was ich Dir vor 25 min. geschrieben habe: es muß so lauten:
1 = $ [mm] A(x^2+4) [/mm] $ + (Bx + C )(x+3)
Ich bekomme dann: $A = [mm] \bruch{1}{13}, [/mm] B= [mm] \bruch{-1}{13}, [/mm] C = [mm] \bruch{3}{13}$
[/mm]
Ohne Gewähr.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Do 02.04.2009 | | Autor: | mambo |
ja, das stimmt das habe ich auch raus bekommen .... bin gerade fertig mit rechnen gewesen.
so nun schreibt man das doch noch so hin, würde das ganze dann so aussehen
[mm] \bruch{1}{13}LN(x+3) [/mm] - [mm] (\bruch{1}{13}+\bruch{3}{13}) [/mm] \ [mm] (x^2+4)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Do 02.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> ja, das stimmt das habe ich auch raus bekommen .... bin
> gerade fertig mit rechnen gewesen.
>
> so nun schreibt man das doch noch so hin, würde das ganze
> dann so aussehen
>
> [mm]\bruch{1}{13}LN(x+3)[/mm] - [mm](\bruch{1}{13}+\bruch{3}{13})[/mm] \
> [mm](x^2+4)[/mm]
Das ist mir rätselhaft !!
Wir haben
$ [mm] \bruch{1}{(x+3) (x^2+4)}= \bruch{A}{x+3}+\bruch{Bx+C}{x^2+4}= \bruch{1}{13} (\bruch{1}{x+3}+\bruch{-x+3}{x^2+4})$ [/mm]
Damit ist
$ [mm] \bruch{x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 12x + 1}{x^3 + 3x^2 + 4x +12} [/mm] = x+ [mm] \bruch{1}{13} (\bruch{1}{x+3}+\bruch{-x+3}{x^2+4})$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Do 02.04.2009 | | Autor: | mambo |
Hm.. Ok
A = [mm] \bruch{1}{13}, [/mm] B= [mm] \bruch{-1}{13}, [/mm] C = [mm] \bruch{3}{13}
[/mm]
->
[mm] \bruch{1}{(x+3) (x^2+4)}= \bruch{A}{x+3}+\bruch{Bx+C}{x^2+4}= \bruch{1}{13} (\bruch{1}{x+3}+\bruch{-x+3}{x^2+4})
[/mm]
[mm] \bruch{1}{13} (\bruch{1}{x+3})
[/mm]
verstehe ich noch
aber nicht das + [mm] \bruch{-x+3}{x^2+4}
[/mm]
wie kommt man den da drauf, oder seh ich jetzt den wald vor lauter bäumen nicht mehr
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Do 02.04.2009 | | Autor: | fred97 |
[mm] \bruch{1}{13}(\bruch{1}{x+3}+\bruch{-x+3}{x^2+4}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{13}\bruch{1}{x+3}+\bruch{1}{13}\bruch{-x+3}{x^2+4})
[/mm]
Siehst Du es jetzt ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Do 02.04.2009 | | Autor: | mambo |
ah ja doch ...
vielen lieben dank kann ich jetzt nur sagen.
aber ich denke mal das ich es verstanden habe.
Danke das sie sich zeit genommen haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Do 02.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> ah ja doch ...
>
> vielen lieben dank kann ich jetzt nur sagen.
> aber ich denke mal das ich es verstanden habe.
>
> Danke das sie sich zeit genommen haben.
Keine Ursache
Wir duzen uns in diesem Forum
FRED
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