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| Aufgabe | Berechenen Sie die Stammfunktionen der Funktion
[mm] f(x)=\bruch{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+\bruch{1}{x^4-x^3-x+1} [/mm] |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe erstmal den rechten Teil betrachtet und da eine Partialbruchzerlegung durchgeführt:
[mm] \bruch{1}{x^4-x^3-x+1}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{(x-1)^2}+\bruch{Cx+D}{x^2+x+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 1=A(x-1)(x^2+x+1)+B(x^2+x+1)+(Cx+D)(x-1)^2
[/mm]
[mm] \gdw 1=Ax^3-A+Bx^2+Bx+B+Cx^3-2Cx^2+Cx+Dx^2+2Dx+D
[/mm]
[mm] \Rightarrow A=\bruch{-1}{3} B=C=D=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x^4-x^3-x+1}=\bruch{\bruch{-1}{3}}{x-1}+\bruch{\bruch{1}{3}}{(x-1)^2}+\bruch{\bruch{1}{3}x+\bruch{1}{3}}{x^2+x+1}
[/mm]
Und ab hier komme ich irgendwie nicht mehr weiter. Es wäre super, wenn mit jemand weiterhelfen könnte.
Vielen Dank schon mal! Wiebke
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Hallo!
Ok, also ich habe jetzt mal weiter gerechnet.
[mm]\frac{1}{3}\cdot{}\int{\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{x+1}{x^2+x+1}\right) \ dx}[/mm]
[mm] \int{\frac{1}{1-x}dx}=-ln(1-x)
[/mm]
und
[mm] \int{\frac{1}{(x-1)^2}dx}=\int{\frac{1}{z^2}dx} [/mm] mit z=(x-1) und z'=1 [mm] \Rightarrow [/mm] dx=dz
[mm] \Rightarrow \int{\frac{1}{z^2}dz} [/mm] = [mm] \frac{-1}{z} [/mm] = [mm] \frac{-1}{x-1}
[/mm]
bei dem dritten gilt ja:
[mm] \int{\frac{x+1}{x^2+x+1}}=\frac{1}{2}\int{\left(\frac{2x+1}{x^2+x+1}+\frac{1}{x^2+x+1}\right) \ dx}
[/mm]
Klar, das erste ist: [mm] \int{\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx}=ln(x^2+x+1)
[/mm]
Und ich glaube das zweite habe ich auch. Aber ich habe das ohne die Wurzel gemacht und bin ich mir nicht sicher ob ich mich nicht irgendwo vertan habe....
[mm] \int{\frac{1}{x^2+x+1}dx}
[/mm]
[mm] =\int{\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx}
[/mm]
[mm] =\int{\frac{1}{\frac{3}{4}((\frac{2}{\wurzel{3}}x+\frac{1}{\wurzel{3}})^2+1}dx}
[/mm]
[mm] =\frac{4}{3}\cdot \int{\frac{1}{z^2+1}dx} [/mm] mit [mm] z=\frac{2}{\wurzel{3}}x+\frac{1}{\wurzel{3}} [/mm] und [mm] z'=\bruch{2}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{4}{3}\cdot \int{\frac{1}{z^2+1}dx}
[/mm]
= [mm] \frac{4}{3}\cdot \frac{\wurzel{3}}{2} \cdot\int{\frac{1}{z^2+1}dz}
[/mm]
[mm] =\frac{2 \cdot\wurzel{3}}{3}\cdot [/mm] arctan(z)
[mm] =\frac{2 \cdot\wurzel{3}}{3}\cdot arctan(\frac{2}{\wurzel{3}}x+\frac{1}{\wurzel{3}})
[/mm]
Damit habe ich jetzt folgendes Gesamtergebnis:
[mm]\frac{1}{3}\cdot{}\int{\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{x+1}{x^2+x+1}\right) \ dx}[/mm]
[mm] =\frac{1}{3}\cdot [/mm] -ln(-x) [mm] \cdot -\frac{1}{x-1}\cdot \frac{2 \cdot\wurzel{3}}{3}\cdot arctan(\frac{2}{\wurzel{3}}x+\frac{1}{\wurzel{3}})
[/mm]
Aber von der ursprünglichen aufgabe ist das ja eigentlich nur ein Teil.
Denn die Gesamtaufgabe war, zu folgender Funktion die Stammfunktion zu bestimmen:
[mm] f(x)=\frac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+\frac{1}{x^4-x^3-x+1}
[/mm]
Den zweiten Teil habe ich damit dann berechnet. Fehlt also noch der erste mit:
[mm] f(x)=\frac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}
[/mm]
Ich habe versucht diesen Term ebenfalls durch Polynomdivision in Partialbrüche zu zerlegen, aber ich finde einfach keine Nullstelle und eine binomische Formel kann ich leider auch nicht anwenden. Daher weiß ich einfach nicht wie ich bei diesem Term weiter verfahren kann.
Es wäre super wenn mit jemand helfen könnte!!
Liebe Grüße Wiebke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Di 21.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
> Ok, also ich habe jetzt mal weiter gerechnet.
>
> [mm]\frac{1}{3}\cdot{}\int{\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{x+1}{x^2+x+1}\right) \ dx}[/mm]
>
> [mm]\int{\frac{1}{1-x}dx}=-ln(1-x)[/mm]
> und
> [mm]\int{\frac{1}{(x-1)^2}dx}=\int{\frac{1}{z^2}dx}[/mm] mit
> z=(x-1) und z'=1 [mm]\Rightarrow[/mm] dx=dz
> [mm]\Rightarrow \int{\frac{1}{z^2}dz}[/mm] = [mm]\frac{-1}{z}[/mm] =
> [mm]\frac{-1}{x-1}[/mm]
>
> bei dem dritten gilt ja:
>
> [mm]\int{\frac{x+1}{x^2+x+1}}=\frac{1}{2}\int{\left(\frac{2x+1}{x^2+x+1}+\frac{1}{x^2+x+1}\right) \ dx}[/mm]
>
> Klar, das erste ist:
> [mm]\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx}=ln(x^2+x+1)[/mm]
>
> Und ich glaube das zweite habe ich auch. Aber ich habe das
> ohne die Wurzel gemacht und bin ich mir nicht sicher ob ich
> mich nicht irgendwo vertan habe....
>
> [mm]\int{\frac{1}{x^2+x+1}dx}[/mm]
>
> [mm]=\int{\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx}[/mm]
>
> [mm]=\int{\frac{1}{\frac{3}{4}((\frac{2}{\wurzel{3}}x+\frac{1}{\wurzel{3}})^2+1}dx}[/mm]
>
> [mm]=\frac{4}{3}\cdot \int{\frac{1}{z^2+1}dx}[/mm] mit
> [mm]z=\frac{2}{\wurzel{3}}x+\frac{1}{\wurzel{3}}[/mm] und
> [mm]z'=\bruch{2}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{4}{3}\cdot \int{\frac{1}{z^2+1}dx}[/mm]
>
> = [mm]\frac{4}{3}\cdot \frac{\wurzel{3}}{2} \cdot\int{\frac{1}{z^2+1}dz}[/mm]
>
> [mm]=\frac{2 \cdot\wurzel{3}}{3}\cdot[/mm] arctan(z)
>
> [mm]=\frac{2 \cdot\wurzel{3}}{3}\cdot arctan(\frac{2}{\wurzel{3}}x+\frac{1}{\wurzel{3}})[/mm]
>
> Damit habe ich jetzt folgendes Gesamtergebnis:
>
> [mm]\frac{1}{3}\cdot{}\int{\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{x+1}{x^2+x+1}\right) \ dx}[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{3}\cdot[/mm] -ln(-x) [mm]\cdot -\frac{1}{x-1}\cdot \frac{2 \cdot\wurzel{3}}{3}\cdot arctan(\frac{2}{\wurzel{3}}x+\frac{1}{\wurzel{3}})[/mm]
>
> Aber von der ursprünglichen aufgabe ist das ja eigentlich
> nur ein Teil.
> Denn die Gesamtaufgabe war, zu folgender Funktion die
> Stammfunktion zu bestimmen:
>
> [mm]f(x)=\frac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+\frac{1}{x^4-x^3-x+1}[/mm]
>
> Den zweiten Teil habe ich damit dann berechnet. Fehlt also
> noch der erste mit:
>
> [mm]f(x)=\frac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}[/mm]
>
> Ich habe versucht diesen Term ebenfalls durch
> Polynomdivision in Partialbrüche zu zerlegen, aber ich
> finde einfach keine Nullstelle und eine binomische Formel
> kann ich leider auch nicht anwenden. Daher weiß ich einfach
> nicht wie ich bei diesem Term weiter verfahren kann.
> Es wäre super wenn mit jemand helfen könnte!!
Hallo,
wenn es keine Nullstelle gibt, dann solltest du versuchen, das Polynom 4. Grades als Produkt von 2 Polynomen 2. Grades (die ebenfalls keine reellen Nullstellen haben) darzustellen.
Also:
[mm] x^4+2x^3+3x^2+2x+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(bc+ad)x+bd.
[/mm]
Ein Koeffizientenvergleich liefert
a+c=2
b+d+ac=3
bc+ad=2
bd=1
Das GS ist offensichtlich erfüllt, wenn a=b=c=d=1 gilt.
Also:
[mm] x^4+2x^3+3x^2+2x+1=(x^2+x+1)(x^2+x+1)=(x^2+x+1)^2.
[/mm]
Gruß Abakus
> Liebe Grüße Wiebke
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Hallo, du schreibst, beim dritten gilt ja: du hast [mm] \bruch{1}{2} [/mm] vor das Integral gezogen, dann aber nicht beachtet, weiterhin fehlt dir ein Summand
[mm] \bruch{1}{3}[-ln(1-x)+\bruch{1}{1-x}+\bruch{1}{\wurzel{3}}arctan(\bruch{2x+1}{\wurzel{3}}+\bruch{1}{2}ln(x^{2}+x+1)]
[/mm]
Steffi
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Oh ja stimmt, das hab ich glatt übersehen!
Lg Wiebke
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