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| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie eine komplexe und eine reelle Partialbruchzerlegung von
[mm] \bruch{2x^{5}-4x^{4}+4x^{3}-4x^{2}+4x}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}. [/mm] |
| Aufgabe 2 | Bestimmen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung den Grenzwert der Folge
[mm] (\summe_{n=0}^{N}\bruch{2}{4n^{2}+8n+3})N\in\IN [/mm] |
Das Thema musste ich mir leider selbst erarbeiten und dementsprechend tapp ich im Dunkeln.
Aufgabe 1: Lt. Skript weiss ich das für ein Partialbruch der Polynomgrad des Nenners größer sein muss, als der des Zählers. Da dies nicht der Fall ist, muss ich eine Polynomdivision anwenden.
[mm] (2x^{5}-4x^{4}+4x^{3}-4x^{2}+4x):((x^{2}+1)(x-1)^{2})=2x+\bruch{2x}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}};
[/mm]
[mm] r(x)=f(x)+\bruch{p(x)}{q(x)}.
[/mm]
Aber wie komme ich jetzt weiter? Der erste Term ist mir nicht klar.
[mm] \bruch{2x}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}=\bruch{(Ax+B)?}{(x^{2}+1)?}+\bruch{C}{(x-1)}+\bruch{D}{(x-1)^{2}}?
[/mm]
Wie geht's weiter und wie komme ich von hier in den komplexen Zahlenbereich?
Aufgabe 2: Darf ich das Summenzeichen für den Partialbruch erstmal ignorieren? Ich versteh nicht, wozu Partialbruch, der Grenzwert ist doch eh 0.
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Hallo Beowulf1980,
> Bestimmen Sie eine komplexe und eine reelle
> Partialbruchzerlegung von
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> [mm]\bruch{2x^{5}-4x^{4}+4x^{3}-4x^{2}+4x}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}.[/mm]
> Bestimmen Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung den
> Grenzwert der Folge
> [mm](\summe_{n=0}^{N}\bruch{2}{4n^{2}+8n+3})N\in\IN[/mm]
> Das Thema musste ich mir leider selbst erarbeiten und
> dementsprechend tapp ich im Dunkeln.
>
> Aufgabe 1: Lt. Skript weiss ich das für ein Partialbruch
> der Polynomgrad des Nenners größer sein muss, als der des
> Zählers. Da dies nicht der Fall ist, muss ich eine
> Polynomdivision anwenden. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm](2x^{5}-4x^{4}+4x^{3}-4x^{2}+4x):((x^{2}+1)(x-1)^{2})=2x+\bruch{2x}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}};[/mm]
> [mm]r(x)=f(x)+\bruch{p(x)}{q(x)}.[/mm]
> Aber wie komme ich jetzt weiter? Der erste Term ist mir
> nicht klar.
>
> [mm]\bruch{2x}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}=\bruch{(Ax+B)?}{(x^{2}+1)?}+\bruch{C}{(x-1)}+\bruch{D}{(x-1)^{2}}?[/mm]
Nun, der reelle Ansatz ist mit einer komplexen und einer doppelten reellen NST:
[mm] $\frac{2x}{(x^2+1)\cdot{}(x-1)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}$
[/mm]
Hast du also richtig gemacht
Hier alles schön erweitern (gleichnamig machen), nach Potenzen von x sortieren und einen Koeffizientenvergleich machen mit dem Zähler der linken Seite (also mit $2x$)
Beachte: Hier beim reellen Ansatz sind [mm] $A;B;C;D\in\IR$ [/mm] !!
> Wie geht's weiter und wie komme ich von hier in den
> komplexen Zahlenbereich?
Im Komplexen kannst du [mm] $x^2+1$ [/mm] noch zerlegen in [mm] $(x+i)\cdot{}(x-i)$
[/mm]
Der Ansatz ist entsprechend: (2 einfache komplexe NSTen, eine doppelte reelle)
[mm] $\frac{2x}{(x+i)(x-i)(x-1)^2}=\frac{A}{x+i}+\frac{B}{x-i}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}$
[/mm]
Hier sind [mm] $A,B,C,D\in\IC$ [/mm] - gleiches Prozedere wie oben ...
>
> Aufgabe 2: Darf ich das Summenzeichen für den Partialbruch
> erstmal ignorieren? Ich versteh nicht, wozu Partialbruch,
> der Grenzwert ist doch eh 0.
Du willst ja den Reihenwert bestimmen:
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2}{4n^2+8n+3}=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{n=0}^{N}\frac{2}{4n^2+8n+3}$
[/mm]
Mache eine PBZ für [mm] $\frac{2}{4n^2+8n+3}$
[/mm]
Faktorisiere dazu den Nenner und gehe wie in a) vor ...
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank für die ausführliche Erläuterung!
Eine Frage noch: [mm] \frac{2}{4n^2+8n+3} \Rightarrow \frac{2}{(1+2n) (3+2n)}; [/mm]
Heisst das jetzt ich muss [mm] \frac{2}{(1+2n) (3+2n)} [/mm] = [mm] \frac{2A}{(1+2n)}+\frac{2B}{(3+2n)} [/mm] rechnen oder bleibt es bei [mm] \frac{A}{(1+2n)}+\frac{B}{(3+2n)}? [/mm] Also muss ich den Koeffizienten von n mit in den Zähler ziehen, oder nicht?
Vielen Dank für die großartige Hilfe!
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Hallo,
[mm] \frac{2}{(1+2n) (3+2n)}=\frac{A}{(1+2n)}+\frac{B}{(3+2n)}
[/mm]
der koeffizientenvergleich gibt dann
für [mm] n^{1}: [/mm] 0=2A+2B
für [mm] n^{0}: [/mm] 2=3A+B
Steffi
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die Frage ist wie forme ich die Summe um?
Die Reihe konvergiert ja und der Grenzwert ist nicht 0, sondern laut dem Rechner:
[mm] \bruch{2(1+N)}{3+2N} [/mm]
da man n -> N laufen lässt und nicht gegen Unendlich.
wie kommt man von $ [mm] \summe_{n=0}^{N}\frac{1}{(1+2n)}+\frac{-1}{(3+2n)} [/mm] $ nach [mm] \bruch{2(1+N)}{3+2N} [/mm] ?
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Hallo Hysterese,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> die Frage ist wie forme ich die Summe um?
>
> Die Reihe konvergiert ja und der Grenzwert ist nicht 0,
> sondern laut dem Rechner:
> [mm]\bruch{2(1+N)}{3+2N}[/mm]
> da man n -> N laufen lässt und nicht gegen Unendlich.
> wie kommt man von
> [mm]\summe_{n=0}^{N}\frac{1}{(1+2n)}+\frac{-1}{(3+2n)}[/mm] nach
> [mm]\bruch{2(1+N)}{3+2N}[/mm] ?
Schreibe Dir die Summe mal auf.
Was stellst Du fest?
Gruss
MathePower
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Moin, Moin )
Ich sehe was, aber ohne direkten Hinweis komme ich nicht weiter.
Die Sumanden habe ich schon mir angeschaut 1-1/3 , 1/3 - 1/5, 1/5 - 1/7
schön, aber was genau ist jetzt der Einsatz?
Der formale Rechenweg ist mir unklar. Ich kann ja nicht einfach raten.
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Hallo Hysterese,
> Moin, Moin )
> Ich sehe was, aber ohne direkten Hinweis komme ich nicht
> weiter.
> Die Sumanden habe ich schon mir angeschaut 1-1/3 , 1/3 -
> 1/5, 1/5 - 1/7
> schön, aber was genau ist jetzt der Einsatz?
> Der formale Rechenweg ist mir unklar. Ich kann ja nicht
> einfach raten.
Nun
[mm]\left(1-\bruch{1}{3}\right)+\left(\bruch{1}{3}-\bruch{1}{5}\right)+\left(\bruch{1}{5}-\bruch{1}{7}\right)[/mm]
[mm]=1+\left(-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{3}\right)+\left(-\bruch{1}{5}+\bruch{1}{5}\right)-\bruch{1}{7}[/mm]
Jetzt erkennst Du, daß sich die Summe aus dem ersten und letzten Glied
der Summe ergibt.
Schreibst Du das jetzt allgemein, so kommst Du auf obige Summe.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Hysterese |
Danke! )
Jetzt sehe ich was los ist. Nett )
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