Partialbruchzerlegung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 So 22.05.2005 | | Autor: | Haeslein |
Hallo,
ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich die komplexe und anschließend eine reelle Partialbruchzerlegung soll. Da das Thema nicht in der Vorlesung behandelt wurde und wir auch die Beweise dazu selbst führen sollen, habe ich selbst nur eine geringe Vorstellung davon, wie ich vorgehen muss.
Auch nach mehreren durchgewälzten Büchern und Suche im Netz habe ich nichts gefunden, was mir wirklich weiter geholfen hätte. Ich suche eigentlich nur nach einer Anleitung des Vorgehens. Denn bis jetzt weiß ich nur, dass ich Nullstellen suchen muss und vielleicht Polynomdivision machen muss.
Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen. Ich brauche zunächst einmal die komplexe PBZ von folgendem Bruch:
[mm] \bruch{2x^4 + x^3 + 5x - 4}{x^5 - x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x -1}
[/mm]
Es wäre schön, wenn mir jemand das Vorgehen beschreiben könnte. Außerdem würde mich interessieren, wie ich dann aus dieser komplexen PBZ die reelle erhalte, ohne eine erneute PBZ durchzuführen.
Anschließend soll ich mit dem Ergebnis der reellen PBZ folgendes Integral berechnen:
[mm] \integral_{ }^{ } {\bruch {x^6 + 3x^4 + ^3 - x^2 + 5x - 5}{x^5 - x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x - 1} dx}
[/mm]
Davon habe ich leider überhaupt keine Ahnung und wäre deshalb sehr dankbar, wenn mir jemand helfen würde.
Für eure Bemühungen vielen Dank!
Jasmin
P.S.: Diese Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 So 22.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Jasmin,
für die komplexe Partialbruchzerlegung musst du erst einmal das Nennerpolynom in Linearfaktoren zerlegen. Das macht man, indem man die (komplexen) Nullstellen des Nennerpolynoms berechnet. Da der Grad in diesem Fall 5 ist, musst du zu erst eine Lösung raten - hier gibt es sogar eine ganze und ganz leichte Lösung. Danach mit Polynomdivision weiter machen. Und "Augen auf!", manchmal kann man auch Binomische Formel entdecken. Wenn du das hast kannst du dich nochmal melden.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 22.05.2005 | | Autor: | Haeslein |
Danke für deine schnelle Reaktion. Die offensichtliche Nullstelle des Nenners ist x=1. Aber wie forme ich den Nenner dann um, um die Polynomdivision zu machen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 So 22.05.2005 | | Autor: | Max |
Ich weiß nicht was du meinst. Benutzt einfach  Polynomdivision. Danach kannst du dir arbeit sparen, wenn du die Binomischen Formeln kennst.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 So 22.05.2005 | | Autor: | Haeslein |
Sorry, hab da gerade nicht weit genug nachgedacht, die Polynomdivision hab ich jetzt gemacht. Demnach erhalte ich für die Nullstelle x=1 als Ergebnis [mm] x^4+2x^2+1. [/mm] Das ist offensichtlich die binom. Formel [mm] (x^2+1)^2.
[/mm]
Also kann ich den Nenner aufspalten in [mm] (x-1)(x^2+1)^2. [/mm] Oder muss ich von diesem Term jetzt noch die restlichen Nullstellen bestimmen?
Was muss ich dann tun?
Freue mich über jegliche Hilfe!
LG
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Hallo,
> Sorry, hab da gerade nicht weit genug nachgedacht, die
> Polynomdivision hab ich jetzt gemacht. Demnach erhalte ich
> für die Nullstelle x=1 als Ergebnis [mm]x^4+2x^2+1.[/mm] Das ist
> offensichtlich die binom. Formel [mm](x^2+1)^2.[/mm]
>
> Also kann ich den Nenner aufspalten in [mm](x-1)(x^2+1)^2.[/mm] Oder
> muss ich von diesem Term jetzt noch die restlichen
> Nullstellen bestimmen?
Den Nenner kannst Du nicht weiter aufspalten.
Zu vor solltest Du eine Polynomdivision machen, da der Grad des Zählerpolynoms größer als der des Nennerpolynoms ist,
Dann ermittelst Du die folgende Darstellung:
[mm]\frac{{p\left( x \right)}}
{{\left( {x\; - \;1} \right)\;\left( {x^2 \; + \;1} \right)^2 }}\; = \;g\left( x \right)\; + \;\frac{A}
{{x\; - \;1}}\; + \;\frac{{Bx\; + \;C}}
{{x^2 \; + \;1}}\; + \;\frac{{Dx\; + \;E}}
{{\left( {x^2 \; + \;1} \right)^2 }}[/mm]
wobei p(x) das Polynom im Zähler, g(x) eine rationale Funktion und A,B,C,D,E die zu ermittelnden Koeffizienten sind.
Die Koeffizienzen A,B,C,D,E ermittelst Du durch Koeffizientenvergleich:
[mm]p(x)\; - \;g(x)\;\left( {x\; - \;1} \right)\;\left( {x^{2} \; + \;1} \right)^{2} \; = \;A\;\left( {x^{2} \; + \;1} \right)^{2} \; + \;\left( {Bx\; + \;C} \right)\;\left( {x\; - \;1} \right)\;\left( {x^{2} \; + \;1} \right)\; + \;\left( {Dx\; + \;E} \right)\;\left( {x\; - \;1} \right)[/mm]
Ausmultiplizieren und die Koeffizienten gleicher Potenzen vergleichen. Das führt auf ein Gleichungssystem, das zu lösen ist.
Gruß
MathePower
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