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| Aufgabe | | [mm] \bruch {x^7+1}{x^5+x^3} [/mm] |
Hallo erstmals bin neu in diesem Forum
Ich bräuchte eure Hilfe
Es geht um diese rationale Funktion.
Es soll eine Partialbruchzerlegung gemacht werden und anschließend ein Koeffizientenvergleich
Den Partialbruch hab ich
Da
[mm] \ x_1=x_2=x_3= 0 [/mm]
und
[mm] \ x_4=-i [/mm] [mm] \ x_5=i[/mm]
sind
[mm] \bruch{a}{x-i}+\bruch{b}{x+i}+\bruch{c}{x}+\bruch{d}{x}+\bruch{e}{x} [/mm]
[mm] \bruch {x^7+1}{x^5+x^3} = \bruch{a(x+i)x^3+b(x-i)x^3+c(x-i)(x+i)x^2+d(x-i)(x+i)x^2+e(x-i)(x+i)x^2}{x^3(x^2)} [/mm]
[mm] = \bruch{a(x^4+ix^3)+b(x^4+ix^3)+c(x^4+x^2)+d(x^4+x^2)+e(x^4+x^2)}{x^3(x^2)} [/mm]
[mm] = \bruch{x^4(a+b+c+d+e)+x^3(2i)+x^2(c+d+e)}{x^3(x^2)} [/mm]
Wenn ich weiter mache habe ich am Ende nur 2 Gleichungen das ist wahrscheinlich falsch ich müsste ja 5 haben
Ich danke schon ma im Voraus für Antworten und Hilfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo minerva38,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\bruch {x^7+1}{x^5+x^3}[/mm]
> Hallo erstmals bin neu in diesem
> Forum
> Ich bräuchte eure Hilfe
> Es geht um diese rationale Funktion.
> Es soll eine Partialbruchzerlegung gemacht werden und
> anschließend ein Koeffizientenvergleich
>
>
> Den Partialbruch hab ich
> Da
> [mm]\ x_1=x_2=x_3= 0[/mm]
>
> und
>
> [mm]\ x_4=-i[/mm] [mm]\ x_5=i[/mm]
>
> sind
>
> [mm]\bruch{a}{x-i}+\bruch{b}{x+i}+\bruch{c}{x}+\bruch{d}{x}+\bruch{e}{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch {x^7+1}{x^5+x^3} = \bruch{a(x+i)x^3+b(x-i)x^3+c(x-i)(x+i)x^2+d(x-i)(x+i)x^2+e(x-i)(x+i)x^2}{x^3(x^2)}[/mm]
Zuerst ist eine Polynomdivision durchzuführen,
so daß dann da steht:
[mm]\bruch{x^{7}+1}{x^{5}+x^{3}}=p\left(x\right)+\bruch{q\left(x\right)}{x^{5}+x^{3}}[/mm]
Dann kannst Du für den gebrochenrationalen Anteil,
den errechneten Nullstellen machen:
[mm]\bruch{q\left(x\right)}{x^{5}+x^{3}}=\bruch{a}{x-i}+\bruch{b}{x+i}+\bruch{c}{x}+\bruch{d}{x^{2}}+\bruch{e}{x^{3}}[/mm]
Um die komplexe Rechnung zu vermeiden,
wird folgenden Ansatz gemacht:
[mm]\bruch{q\left(x\right)}{x^{5}+x^{3}}=\bruch{Ax+B}{x^{2}+1}+\bruch{c}{x}+\bruch{d}{x^{2}}+\bruch{e}{x^{3}}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{a(x^4+ix^3)+b(x^4+ix^3)+c(x^4+x^2)+d(x^4+x^2)+e(x^4+x^2)}{x^3(x^2)}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{x^4(a+b+c+d+e)+x^3(2i)+x^2(c+d+e)}{x^3(x^2)}[/mm]
>
> Wenn ich weiter mache habe ich am Ende nur 2 Gleichungen
> das ist wahrscheinlich falsch ich müsste ja 5 haben
>
> Ich danke schon ma im Voraus für Antworten und Hilfen
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Mi 24.11.2010 | | Autor: | minerva38 |
Um die komplexe Rechnung zu vermeiden,
wird folgenden Ansatz gemacht:
[mm]\bruch{q\left(x\right)}{x^{5}+x^{3}}=\bruch{Ax+B}{x^{2}+1}+\bruch{c}{x}+\bruch{d}{x^{2}}+\bruch{e}{x^{3}}[/mm]
danke für die schnelle Antwort ich bevorzuge es auch ohne die komplexen Nullstellen zu berechnen aber mein Prof will das wir die Aufgabe bin mit Komplexen Nullstellen lösen. Die komplexen nullstellen machen es schwierig
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durch die Polynomdivison hab ich dann
[mm] x^2-1 [/mm] Rest [mm] \bruch{x^{3}+1}{x^{5}+x^{3}}
[/mm]
wenn ich mit
[mm]=\bruch{a}{x-i}+\bruch{b}{x+i}+\bruch{c}{x}+\bruch{d}{x^{2}}+\bruch{e}{x^{3}}[/mm] weiterrechne bekomm ich am ende dann
[mm]= \bruch{x^7(a+b+c+d+e)+x^6(i-i)+x^5(c+d+e)}{x^3(x^2+1)}[/mm]
wie komm ich hiermit weiter oder ist es falsch ?
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Hallo minerva!
Wie kommst Du auf [mm] $x^7$ [/mm] als höchste Potenz im Zähler? Da arbeitest Du aber nicht mit dem Hauptnenner.
Und auch sonst scheint mir der zusammengefasste Zähler nicht zu stimmen. Bitte rechne hier schreittweise vor.
Unter Verwendung des Hauptnenners entsteht im Zähler als höchste Potenz [mm] $x^4$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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ist der Hauptnenner nicht [mm]\ x^3(x+i)(x-i)[/mm]
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Hallo minerva!
Doch, schon! Aber Du scheinst hier dennoch mit ziemlich viel erweitert zu haben.
Oder hast Du gar den Term $x-1_$ wieder in den Bruch eingearbeitet? Das wäre unnötig.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Mi 24.11.2010 | | Autor: | minerva38 |
nein x-1 hab ich net miteingearbeitet trotzdem hab ich 7 als exponenten ich rechne mal nochmal
danke für deine Antwort
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also ich habe jetzt neu gerechnet habe jetzt
[mm] \bruch{a(x+i)x^3+b(x-i)x^3+c(x^2+1)x^2+d(x^2+1)x+e(x^2+1)}{x^3(x-i)(x+i)} [/mm]
ist das bis jetzt richtig ??
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Hallo minerva38,
> also ich habe jetzt neu gerechnet habe jetzt
>
> [mm]\bruch{a(x+i)x^3+b(x-i)x^3+c(x^2+1)x^2+d(x^2+1)x+e(x^2+1)}{x^3(x-i)(x+i)}[/mm]
>
> ist das bis jetzt richtig ??
Ja.
Gruss
MathePower
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a+b+c = 0
ai+bi+d=1
c+e=0
d=0
e=1
hab ich dann für den Koeffizientenvergleich ?
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Hallo minerva38,
>
> a+b+c = 0
> ai+bi+d=1
Diese Gleichung muß doch so lauten:
[mm]ai\red{-}bi+d=1[/mm]
> c+e=0
> d=0
> e=1
>
> hab ich dann für den Koeffizientenvergleich ?
Das sind jetzt alle Gleichungen zur
Bestimmung der Unbekannten a,b,c,d,e.
Gruss
MathePower
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ich hab für
c=1
a=[mm] \bruch{1}{2}+ \bruch{1}{2i} [/mm]
b=[mm] - \bruch{3}{2}- \bruch{1}{2i} [/mm]
hoffe mal hab mich nicht verrechnet
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Hallo minerva38,
> ich hab für
> c=1
> a=[mm] \bruch{1}{2}+ \bruch{1}{2i}[/mm]
> b=[mm] - \bruch{3}{2}- \bruch{1}{2i}[/mm]
>
>
> hoffe mal hab mich nicht verrechnet
>
Leider hast Du Dich da verrechnet.
Gruss
MathePower
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ich hab für
c=-1
a=[mm] \bruch{1}{2}+ \bruch{1}{2i} [/mm]
b=[mm] - \bruch{1}{2}- \bruch{1}{2i} [/mm]
jetzt ?
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Hallo minerva38,
> ich hab für
> c=-1
> a=[mm] \bruch{1}{2}+ \bruch{1}{2i}[/mm]
Hier ist noch ein Vorzeichenfehler drin:
[mm]a= \bruch{1}{2}\blue{-} \bruch{1}{2i}[/mm]
> b=[mm] - \bruch{1}{2}- \bruch{1}{2i}[/mm]
Hier muss es doch lauten.
[mm]b=\bruch{1}{2}+ \bruch{1}{2i}[/mm]
>
> jetzt ?
Der Wert von c stimmt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Mi 24.11.2010 | | Autor: | minerva38 |
dankeschön :)
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