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Partialbruchzerlegung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Di 10.05.2011
Autor: Bilmem

Aufgabe
[mm] \bruch{2x-3}{x^2-6x+18} [/mm]

Ich habe die Nullstellen berechnet und bin auf x1= 3+3i und x2=3-3i gekommen.
Wie soll ich nun die Partialburchzerlegung durchführen ?



        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Di 10.05.2011
Autor: fred97


> [mm]\bruch{2x-3}{x^2-6x+18}[/mm]
>  Ich habe die Nullstellen berechnet und bin auf x1= 3+3i
> und x2=3-3i gekommen.
>  Wie soll ich nun die Partialburchzerlegung durchführen ?

Für die reelle PBZ brauchst Du nichts mehr tun. Die lautet:  [mm]\bruch{2x-3}{x^2-6x+18}[/mm]

Für die komplexe PBZ mache den Ansatz:

     [mm]\bruch{2x-3}{x^2-6x+18}= \bruch{A}{x-(3+3i)}+ \bruch{B}{x-(3-3i)}[/mm]  und bestimme A und B.

FRED

>  
>  


Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Di 10.05.2011
Autor: Bilmem

Auf die letzte Zeile bin ich auch schon gekommen, aber mein Versuch ist leider gescheitert.

Ich habe auf beiden Seiten [mm] \* (x^2-6x+18) [/mm] gerechnet und bin dann auf folgendes gekommen :

2x-3 = [mm] \bruch{A(x-6x+18)}{-(3+3i)} [/mm] + [mm] \bruch{B(x-6x+18)}{-(3+3i)} [/mm]

Wobei mir das völlig falsch vorkommt :S

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Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Di 10.05.2011
Autor: kushkush

Hallo,


> letzte Zeile

Es ist:

[mm] $x^{2}-6x+18=(x-(3+3i))(x-(3-3i))$ [/mm]

Du musst rechts noch kürzen und dann Koeffizienten vergleichen!


Gruss

kushkush

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Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Di 10.05.2011
Autor: Bilmem

[mm] x^{2}-6x+18=(x-(3+3i))(x-(3-3i)) [/mm]

Wie kommst du denn auf diese Zeile ? :S

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Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Di 10.05.2011
Autor: kushkush

Hallo,


> wie

das hast du selber ausgerechnet im ersten Post!



Gruss
kushkush

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Partialbruchzerlegung: Nullstellen betrachten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Di 10.05.2011
Autor: Roadrunner

Hallo Bilmem!


Bestimme mal die Lösungen der Gleichung [mm] $x^2-6x+18 [/mm] \ = \ 0$ (z.B. mittels MBp/q-Formel).


Gruß vom
Roadrunner

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Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:57 Di 10.05.2011
Autor: Bilmem

Das habe ich doch schon, ich komme auf

x1= 3+3i
x2= 3-3i

Bezug
                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: was ist unklar?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:05 Di 10.05.2011
Autor: Roadrunner

Hallo Bilmem!


[ok] Und wie lautet nun Deine Frage?

Mit den Nullstellen kennst Du doch auch automatisch die Linearfaktoren des Ausgangsterms.


Gruß vom
Roadrunner

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Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Di 10.05.2011
Autor: Bilmem


> Ich habe auf beiden Seiten [mm]\* (x^2-6x+18)[/mm] gerechnet und bin
> dann auf folgendes gekommen :
>  
> 2x-3 = [mm]\bruch{A(x-6x+18)}{-(3+3i)}[/mm] +
> [mm]\bruch{B(x-6x+18)}{-(3+3i)}[/mm]



Ist das denn so richtig ?


Bezug
                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Di 10.05.2011
Autor: fred97


>
> > Ich habe auf beiden Seiten [mm]\* (x^2-6x+18)[/mm] gerechnet und bin
> > dann auf folgendes gekommen :
>  >  
> > 2x-3 = [mm]\bruch{A(x-6x+18)}{-(3+3i)}[/mm] +
> > [mm]\bruch{B(x-6x+18)}{-(3+3i)}[/mm]

Nein !

Es ist

2x-3 = [mm]\bruch{A(x^2-6x+18)}{x-(3+3i)}[/mm] +  [mm]\bruch{B(x^2-6x+18)}{x-(3-3i)}[/mm]

>  
>
>
> Ist das denn so richtig ?
>  


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Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Di 10.05.2011
Autor: Bilmem

Ich versuche die ganze Zeit A und B auszurechnen, aber kriege es iwie nicht hin, was mache ich denn falsch :(

Als nächstes habe ich folgendes gemacht:

-x-9+9i = [mm] Ax^2 [/mm] - 6Ax +18A + [mm] \bruch{Bx^2-6Bx+18B \* (-3i) }{3i} [/mm]





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Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Di 10.05.2011
Autor: fred97


> Ich versuche die ganze Zeit A und B auszurechnen, aber
> kriege es iwie nicht hin, was mache ich denn falsch :(
>  
> Als nächstes habe ich folgendes gemacht:
>  
> -x-9+9i = [mm]Ax^2[/mm] - 6Ax +18A + [mm]\bruch{Bx^2-6Bx+18B \* (-3i) }{3i}[/mm]

Ich weiß nicht , was Du da treibst !

Du hast:

2x-3 = $ [mm] \bruch{A(x^2-6x+18)}{x-(3+3i)} [/mm] $ +  $ [mm] \bruch{B(x^2-6x+18)}{x-(3-3i)} [/mm] $

Jetzt mach doch mal das, was kushkush gesagt hat !!

FRED

>  
>
>
>  


Bezug
                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 Di 10.05.2011
Autor: Bilmem


>  
> Ich weiß nicht , was Du da treibst !
>  

Das weiß ich leider auch nicht :(

>  


> Jetzt mach doch mal das, was kushkush gesagt hat !!
>  
> FRED



Wenn ich das mache, was kushkush mir gesagt hat, komme ich auf


2x-3= Ax-3A+3Ai + Bx-3B-3Bi


Bezug
                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Di 10.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Bilmem,

>
> >
> > Ich weiß nicht , was Du da treibst !
> >
>
> Das weiß ich leider auch nicht :(
> >
>
>
> > Jetzt mach doch mal das, was kushkush gesagt hat !!
> >
> > FRED
>
>
>
> Wenn ich das mache, was kushkush mir gesagt hat, komme ich
> auf
>
>
> 2x-3= Ax-3A+3Ai + Bx-3B-3Bi [ok]

Also [mm]\red{2}x+\blue{(-3)} \ = \ \red{(A+B)}x+\blue{(-3)(A-Ai+B+Bi)}[/mm]

Nun aber ...

Bedenke, [mm]A,B\in\IC[/mm] !!!!


Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Di 10.05.2011
Autor: Bilmem


> > 2x-3= Ax-3A+3Ai + Bx-3B-3Bi [ok]
>  
> Also [mm]\red{2}x+\blue{(-3)} \ = \ \red{(A+B)}x+\blue{(-3)(A-Ai+B+Bi)}[/mm]
>  
> Nun aber ...
>  
> Bedenke, [mm]A,B\in\IC[/mm] !!!!
>  


Wie kommst du auf 2x + (-3) auf der linken Seite ? Wieso muss man jetzt addieren und wie muss ich die Koeffizienten ablesen ?

A+B = 2 ?!?


Bezug
                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Di 10.05.2011
Autor: kushkush

Hallo,

> wie auf 2x+(-3)

$2x+(-3)=2x-3$


> wie muss ich die Koeffizienten ablesen

Das Rote auf der linken Seite muss das Rote auf der Rechten ergeben, genau gleich für das Blaue. Dann kommst du auf ein Gleichungssystem.


> A+B=2

ja

> 2x-3=A(x-3+i) + B(x-3-i)

Alternativ kannst du A und B auch erhalten, wenn du die entgegengesetzte Nullstelle einsetzt in die Gleichung.

Willst du A rausbekommen, setzt du $x=3+3i$ und dann hast du

$2(3+3i)-3=A(3+3i-3+3i) + B(3+3i-3-3i)$
[mm] $\gdw A=\frac{3+6i}{6i}$ [/mm]


analog für B



Gruss
kushkush


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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Di 10.05.2011
Autor: Bilmem

Aber dann müsste man doch 3+3i einsetzen und nicht 3+i oder ?

Bezug
                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Di 10.05.2011
Autor: kushkush

Hallo


> Dann

ja



Gruss
kushkush

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Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Di 10.05.2011
Autor: Bilmem


> [mm]2(3+3i)-3=A(3+3i-3+3i) + B(3+3i-3-3i)[/mm]
>  [mm]\gdw A=\frac{3+6i}{6i}[/mm]
>  
>


So jetzt habe ich ja A raus und muss das in die Gleichung einsetzen, also

[mm] \bruch{(3+6i)/6i}{(x-(3-3i))} [/mm]

Wie kann ich denn so etwas integrieren ?




Außerdem bekomme ich etwas anderes raus , undzwar:

Ai= 1+1i - [mm] \bruch{3}{6}[/mm]

Bezug
                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Di 10.05.2011
Autor: MathePower

Hallo Bilmem,

> > [mm]2(3+3i)-3=A(3+3i-3+3i) + B(3+3i-3-3i)[/mm]
>  >  [mm]\gdw A=\frac{3+6i}{6i}[/mm]
>  
> >  

> >
>
>
> So jetzt habe ich ja A raus und muss das in die Gleichung
> einsetzen, also
>
> [mm]\bruch{(3+6i)/6i}{(x-(3-3i))}[/mm]
>  
> Wie kann ich denn so etwas integrieren ?
>


Wende die normalen Integrationsregeln an.

Hier mußt Du Dich allerdings mit dem komplexen Logarithmus auseinandersetzen.


>
>
> Außerdem bekomme ich etwas anderes raus , undzwar:
>  
> Ai= 1+1i - [mm]\bruch{3}{6}[/mm]  


Umgeformt nach A ist das doch dasselbe wie oben.


Gruss
MathePower

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Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Di 10.05.2011
Autor: Bilmem

Ist A und [mm] A_i [/mm] das gleiche ? :S

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Di 10.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Ist A und [mm]A_i[/mm] das gleiche ? :S

Ich nehme an, du meinst mit [mm]A_i[/mm] eher [mm]A\cdot{}i[/mm] ??

Das ist natürlich nicht dasselbe wie [mm]A[/mm]!

Wie auch?

Es ist doch [mm]i\neq 1[/mm]

Gruß
schachuzipus


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Di 10.05.2011
Autor: Bilmem

Aber wieso bekomme ich denn

[mm] A_i= 1+1_i [/mm] - [mm] \bruch{3}{6} [/mm] heraus und kushkush etwas anderes ?


Mennoo :(

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Di 10.05.2011
Autor: MathePower

Hallo Bilmem,

> Aber wieso bekomme ich denn
>
> [mm]A_i= 1+1_i[/mm] - [mm]\bruch{3}{6}[/mm] heraus und kushkush etwas anderes
> ?

Das soll doch wohl

[mm]A_i= 1+1\blue{*i}[/mm] - [mm]\bruch{3}{6}[/mm]

heißen.  

Bringe die rechte Seite nun auf den Hauptnenner.


>
> Mennoo :(


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Di 10.05.2011
Autor: Bilmem

[mm] A_i= \bruch{6+6 i}{6} [/mm] - [mm] \bruch{3}{6} [/mm]


Aber wieso werde ich dieses "i" nicht los ?



Ich bekomme

A = [mm] \bruch{1}{2 i } [/mm] + 1

heraus :S

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 Di 10.05.2011
Autor: kushkush

Hallo,


> ich bekomme für A

> [mm] $\frac{3+6i}{6i}$ [/mm]

stimmt

> [mm] 1+\frac{i}{2} [/mm]

das stimmt nicht. Rechne vor!




Gruss
kushkush

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Di 10.05.2011
Autor: Bilmem

6 + 6 [mm] \* [/mm] i - 3 = A (3 + 3 [mm] \* [/mm] i - 3 + 3 [mm] \* [/mm] i ) + B (3 + 3 [mm] \* [/mm] i -3 - 3 [mm] \* [/mm] i)

6 + 6 [mm] \* [/mm] i - 3 = A (6 [mm] \* [/mm] i )

3+ 6 [mm] \* [/mm] i = 6 [mm] \* [/mm] A [mm] \* [/mm] i

[mm] \bruch{3}{i} [/mm] + 6 = 6A

A = 1 - [mm] \bruch{3}{6 \* i} [/mm]

A = 1 - [mm] \bruch{1}{2 \* i } [/mm]


Die Aufgabe macht mich langsam verrückt :(

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Di 10.05.2011
Autor: kushkush

Hallo,


< rechnung

bis zur 4.ten Zeile hast dus richtig.

so gehts weiter:

[mm] $$6A=\frac{3}{i}+6$ [/mm]
[mm] $\gdw [/mm] A= 1+ [mm] \frac{3}{6i}$ [/mm]

mit [mm] $\frac{1}{i}=-i$ [/mm]

[mm] $\gdw A=1-\frac{i}{2}$ [/mm]



Gruss
kushkush


Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 Di 10.05.2011
Autor: Bilmem


> Hallo,
>  
>
> < rechnung
>  
> bis zur 4.ten Zeile hast dus richtig.
>
> so gehts weiter:
>
> [mm]$$6A=\frac{3}{i}+6$[/mm]
>  [mm]\gdw A= 1+ \frac{3}{6i}[/mm]


Aber woher kommt denn jetzt das "+" her ?

Das muss doch 1- [mm] \bruch{3}{6i} [/mm]  heißen ?!?




Ohh neinn ! Ich habe den Fehler entdeckt, dankeschön :)


Jetzt habe ich aber ein anderes Problem, woher kommt das [mm] \bruch{1}{i} [/mm] = - i ??

Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:17 Di 10.05.2011
Autor: kushkush

Hallo


> woher


mit dem komplex konjugierten des nenners erweitern!




Gruss
kushkush

Bezug
                                                                                                                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:56 Mi 11.05.2011
Autor: Bilmem

Danke kushkush ! :)

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:54 Mi 11.05.2011
Autor: Bilmem

Wie funktioniert es mit dem komplexen Logarithmus ?



Ich will jetzt das :

[mm] \bruch{1-(i/2)}{(x-(3+i)} [/mm]

integrieren, aber habe Problem dabei :(

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:46 Mi 11.05.2011
Autor: leduart

Hallo
willst du das wirklich komplex rechnen oder nicht doch das reelle integral?

Musst du das mit Prtialbruchzerlegung im komplexen machen, oder war das nur deine Idee?
Gruss leduart


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:03 Mi 11.05.2011
Autor: Bilmem

Ich muss ein bestimmtes Integral mittels Partialbruchzerlegung lösen :S

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: fast alles umsonst
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:15 Mi 11.05.2011
Autor: Roadrunner

Hallo Bilmem!


> Ich muss ein bestimmtes Integral mittels Partialbruchzerlegung lösen

Na super, dann hätten wir uns das ganze Theater mit den komplexen Zahlen hier sparen können.

Das passiert, wenn man nur Bruchstücke (wenn überhaupt) der eigentlichen Aufgabenstellung verrät. [motz]


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:25 Mi 11.05.2011
Autor: Bilmem

oh nein :(

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:27 Mi 11.05.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Wie funktioniert es mit dem komplexen Logarithmus ?
>  
>  
> Ich will jetzt das :
>  
> [mm]\bruch{1-(i/2)}{(x-(3+i)}[/mm]
>  
> integrieren, aber habe Problem dabei :(


Hallo Bilmem,

dieser Term hat die Form  [mm] \frac{a}{x-b} [/mm]  mit komplexen
Werten für a und b. Das kann man zunächst einmal
analog betrachten wie mit reellen a und b.
Bei der anschließenden Auswertung muss
man dann den Logarithmus ln(x-3-i) korrekt
interpretieren.
Hast du eine ganz konkrete Aufgabenstellung ?

LG   Al-Chw.


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:33 Mi 11.05.2011
Autor: Bilmem

[mm] \integral_{-5}^{2}{\bruch{x^2-4x+15}{x^2-6x+18}dx} [/mm]



So sah die Aufgabe aus, ich habe denn mittels Polynomdivision folgendes erreicht:

1+ [mm] \bruch{2x-3}{x^2-6x+18} [/mm]

Die Nullstellen: [mm] x_1= [/mm] 3+3i; [mm] x_2= [/mm] 3-3i

Ich soll die Aufgabe mittels Partialbruchzerlegung lösen :(

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:40 Mi 11.05.2011
Autor: fred97


> [mm]\integral_{-5}^{2}{\bruch{x^2-4x+15}{x^2-6x+18}dx}[/mm]
>  
>
>
> So sah die Aufgabe aus, ich habe denn mittels
> Polynomdivision folgendes erreicht:
>  
> 1+ [mm]\bruch{2x-3}{x^2-6x+18}[/mm]
>  
> Die Nullstellen: [mm]x_1=[/mm] 3+3i; [mm]x_2=[/mm] 3-3i
>  
> Ich soll die Aufgabe mittels Partialbruchzerlegung lösen

Die 1 dürfte keine Probleme machen

Wie Du


[mm]\bruch{2x-3}{x^2-6x+18}[/mm]

int. kannst hab ich Dir hier

                       https://matheraum.de/read?i=792664

gesagt

FRED

> :(


Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:42 Mi 11.05.2011
Autor: Bilmem

Also musste ich A und B gar nicht ausrechnen, mennoo :(



Die Nullstellen auch nicht ? :S

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:00 Mi 11.05.2011
Autor: fred97


> Also musste ich A und B gar nicht ausrechnen, mennoo :(

Nein. Aber was soll das "mennoo" ? Hättest Du gleich die komplette Aufgabenstellung verraten, hätten alle Beteiligten weniger Arbeit gehabt

>  
>
> Die Nullstellen auch nicht ? :S

Das war nicht übeflüssig !  Die Information, dass der Nenner keine reelle Nullstelle hat, ist schon wichtig

FRED

FRED


Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 Mi 11.05.2011
Autor: Bilmem

Entschuldigung :(

Ich habe es jetzt mit deinem Link versucht und komme auf

2 ln [mm] |x^2-6x+18|-arctan(x-3) [/mm]

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 Mi 11.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Entschuldigung :(
>  
> Ich habe es jetzt mit deinem Link versucht und komme auf
>  
> 2 ln [mm]|x^2-6x+18|-arctan(x-3)[/mm]   [notok]

Roadrunner hat dir doch schon alles mundgerecht serviert, du musst nur zubeißen.

Woher kommt die 2 beim [mm] $\ln$ [/mm] ?

Auch beim [mm] $\arctan$-Ausdruck [/mm] hapert's ...

Das x von der zu integrierenden 1 hast du auch vergessen

Greife Roadrunners Umformung auf und rechne nochmal nach

Am Besten rechnest du die dort vorgeschlagene Substitution hier vor!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:37 Mi 11.05.2011
Autor: fred97

Roadrunner hat recht. Was für ein Theater !

Schau mal hier:

http://www.opt.math.tugraz.at/lehre/mat_ingmath/MI-W08/12.2 Integration rationaler Funktionen.pdf

S. 17/18

FRED

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Partialbruchzerlegung: viel weniger komplex
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 Mi 11.05.2011
Autor: Roadrunner

Hallo Bilmem!


So geht es viel weniger komplex (und so viel mehr real bzw. reell):

[mm] $\bruch{2x-3}{x^2-6x+18} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x \ \red{-6+6} \ -3}{x^2-6x+18} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x-6+3}{x^2-6x+18} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x-6}{x^2-6x+18}+\bruch{3}{x^2-6x+18}$ [/mm]

Beim ersten Bruch liegt nunmehr im Zähler die Ableitung des Nenners vor.



Der zweite Bruch lässt sich nun wie folgt umformen:

[mm] $\bruch{3}{x^2-6x+18} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{x^2-6x \ \red{+9-9} \ +18} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{x^2-6x+9+9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{(x-3)^2+9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{9*\left[\bruch{(x-3)^2}{9}+1\right]} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3*\left[\bruch{(x-3)^2}{3^2}+1\right]} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{1}{\left(\bruch{x-3}{3}\right)^2+1}$ [/mm]

Weiter mit der Substitution $u \ := \ [mm] \bruch{x-3}{3}$ [/mm] .


Gruß vom
Roadrunner

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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 Mi 11.05.2011
Autor: Bilmem

Ich habe es anders gemacht

Die Ableitung des Nenners: 2x-6

2x-3 = 2x-4+1= 2(x-2)+1

[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{2x-3}{x^2-6x+18} dx} [/mm] = 2 [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1x-2}{x^2-6x+18} dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2-6x+18} dx} [/mm]

[mm] x^2-6x+18 [/mm] = [mm] (x-3)^2 [/mm] +9

Substitution: y= (x-3), dy=dx

[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2-6x+18} dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{y^2+9} dx} [/mm] = arctany= arctan (x-3)

Was habe ich hier falsch gemacht ?



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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Mi 11.05.2011
Autor: fred97


> Ich habe es anders gemacht
>  
> Die Ableitung des Nenners: 2x-6
>  
> 2x-3 = 2x-4+1= 2(x-2)+1
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{2x-3}{x^2-6x+18} dx}[/mm] = 2
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1x-2}{x^2-6x+18} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2-6x+18} dx}[/mm]
>  
> [mm]x^2-6x+18[/mm] = [mm](x-3)^2[/mm] +9
>  
> Substitution: y= (x-3), dy=dx
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2-6x+18} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{y^2+9} dx}[/mm] = arctany= arctan
> (x-3)
>  
> Was habe ich hier falsch gemacht ?
>  
>  

arctan(y) ist keine Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{y^2+9} [/mm]

FRED

Bezug
                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:41 Mi 11.05.2011
Autor: Bilmem

[mm] \bruch{1}{3} [/mm] arctan müsste die Stammfunktion sein, aber was habe ich denn noch falsch gemacht ?

Bezug
                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Mi 11.05.2011
Autor: kushkush

Hallo,


> stammfunktion müsste sein

nein

> was falsch

das kann man nicht wissen weil du das Integral nicht vorgerechnet hast!

um [mm] $\integral \frac{1}{y^{2}+9} [/mm] dy$ zu bestimmen, verwende die Substitution $y:=3tan(x)$


Gruss
kushkush

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Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Mi 11.05.2011
Autor: Bilmem


>
> Der zweite Bruch lässt sich nun wie folgt umformen:
>  
> [mm]\bruch{3}{x^2-6x+18} \ = \ \bruch{3}{x^2-6x \ \red{+9-9} \ +18} \ = \ \bruch{3}{x^2-6x+9+9} \ = \ \bruch{3}{(x-3)^2+9} \ = \ \bruch{3}{9*\left[\bruch{(x-3)^2}{9}+1\right]} \ = \ \bruch{1}{3*\left[\bruch{(x-3)^2}{3^2}+1\right]} \ = \ \bruch{1}{3}*\bruch{1}{\left(\bruch{x-3}{3}\right)^2+1}[/mm]
>  
> Weiter mit der Substitution [mm]u \ := \ \bruch{x-3}{3}[/mm] .
>  


Ich verstehe nicht, was du nach  \ [mm] \bruch{3}{(x-3)^2+9} [/mm] \  gemacht hast :(

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Bezug
Partialbruchzerlegung: ausgeklammert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Mi 11.05.2011
Autor: Roadrunner

Hallo Bilmem!


> Ich verstehe nicht, was du nach  [mm]\bruch{3}{(x-3)^2+9}[/mm]
> gemacht hast :(

Ich habe im Nenner $9_$ ausgeklammert.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Mi 11.05.2011
Autor: Bilmem

Ich habe das so ausgerechnet, wie du es beschrieben hast und komme auf


[mm] \bruch{1}{3} \* \bruch{1}{(\bruch{x-3}{3})^2 +1} [/mm]


[mm] \bruch{1}{3} \* \bruch{1}{u^2+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \* [/mm] arctan (u) = [mm] \bruch{1}{3} \* [/mm] arctan [mm] (\bruch{x-3}{3})^2 [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: ui-ui-ui-ui ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Mi 11.05.2011
Autor: Roadrunner

Hallo Bilmem!


Sorry, aber das ist einfach nur grausam, was und wie es dasteht ... [eek]


> [mm]\bruch{1}{3} \* \bruch{1}{u^2+1}[/mm]

Da Du hier weder das Integralzeichen noch das Differential $dx_$ mit aufschreibst, geht Dir der entscheidende Faktor beim Substituieren des Differentials verloren.

> = [mm]\bruch{1}{3} \*[/mm] arctan (u)

Und dieses Gleichheitszeichen tut einfach nur weh, da Du behauptest, dass Ausgangsfunktion und Stammfunktion identisch sind (liegt am fehlenden Integralzeichen zuvor).

Wie gesagt: hier fehlt noch ein Faktor.


> = [mm]\bruch{1}{3} \*[/mm] arctan [mm](\bruch{x-3}{3})^2[/mm]  

Und wo hier urplötzlich das Quadrat herkommt, erschließt sich mir leider überhaupt nicht.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Mi 11.05.2011
Autor: Bilmem

[mm] \integral_{ }^{ }{\bruch{1}{3} \* \bruch{1}{(\bruch{x-3}{3})^2 +1} dx} [/mm] = [mm] \integral_{ }^{ }{\bruch{1}{3} \* \bruch{1}{u^2+1} du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \* [/mm] arctan [mm] (\bruch{x-3}{3}) [/mm]



Ist das so besser ?



Bezug
                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Differential ersetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Mi 11.05.2011
Autor: Roadrunner

Hallo!


> Ist das so besser ?

Naja, etwas ... Und wie hast Du $dx_$ durch $du_$ ersetzt?

Schließlich hatte ich ja geschrieben, dass Dir noch ein Faktor fehlt.


Leite Deine vermeintliche Stammfunktion einfach mal ab. Entsteht dann die Ausgangsfunktion?


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Mi 11.05.2011
Autor: Bilmem

Nach [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{3} \* \bruch{1}{u^2+1} du} [/mm]

führe ich doch die Rücksubstitution durch, also :

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{3} \* arctan \bruch{x-3}{3} dx} [/mm]


Wenn ich dann alles zusammenfasse komme ich auf

[mm] \integral_{a}^{b}{ 1x+ ln|x^2-6x+18| +\bruch{1}{3} \* arctan \bruch{x-3}{3} dx} [/mm]



Ich frage mich auch gerade woher ich dieses "1/3" bekommen habe :S

Bezug
                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: ich mag nimmer
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:06 Mi 11.05.2011
Autor: Roadrunner

Hallo Bilmem!


> Nach [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{3} \* \bruch{u^2+1}{4} du}[/mm]

Wo kommt dieser Term her? [aeh]

  
Sorry, aber mir drängt sich gerade der Eindruck auf, dass wir die Mathematik verlassen haben und nunmehr ein heiteres Beruferaten durchführen ...



> Wenn ich dann alles zusammenfasse komme ich auf
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{ 1x+ ln|x^2-6x+18| +\bruch{1}{3} \* arctan \bruch{x-3}{3} dx}[/mm]

Und nochmals meine Frage (abgesehen von der wiederholt falschen Darstellung!): was erhältst Du als Ableitung dieses Terms?


Gruß vom
Roadrunner

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Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Mi 11.05.2011
Autor: Steffi21

Hallo, ich gebe dir noch eine Anwort, ist ja wirklich sehr schwierig mit dir, es ist zu lösen

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x-3}{x^{2}-6x+18} dx} [/mm]

zerlegt in :

(1)
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x-6}{x^{2}-6x+18} dx} [/mm]

(2)
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{3}{x^{2}-6x+18} dx} [/mm]

(1)
die Stammfunktion lautet [mm] ln(|x^{2}-6x+18|)+C [/mm]
im Zähler steht die Ableitung des Nenners

(2)
der Term [mm] \bruch{3}{x^{2}-6x+18} [/mm] wird umgeformt zu [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{1}{(\bruch{x-3}{3})^{2}+1} [/mm]

es ist also zu lösen

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{3}*\bruch{1}{(\bruch{x-3}{3})^{2}+1} dx} [/mm]

[mm] \bruch{1}{3} [/mm] ziehen wir als Faktor vor das Integral

[mm] \bruch{1}{3}\integral_{}^{}{\bruch{1}{(\bruch{x-3}{3})^{2}+1} dx} [/mm]

jetzt kommt die Substitution

[mm] u=:\bruch{x-3}{3} [/mm]

[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{3} [/mm]

dx=3du (der Faktor 3 fehlt dir)

also

[mm] \bruch{1}{3}\integral_{}^{}{\bruch{1}{u^{2}+1}*3du} [/mm]

den faktor 3 ziehen wir auch noch vor das Integral

[mm] \bruch{1}{3}*3\integral_{}^{}{\bruch{1}{u^{2}+1}du} [/mm]

[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{1}{u^{2}+1}du} [/mm]

=arctan(u)+C

Rücksubstitution

[mm] =arctan(\bruch{x-3}{3})+C [/mm]

Steffi




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